贡献者： addis
未完成：简单介绍什么是 FEDVR，有什么用
1. FEDVR 基底
1现在以一维 FEDVR 为例，把整个区间划分成 $N_e$ 个有限元，第 $i$ 个有限元的区间为 $[x_i,x_{i+1}]$。每个有限元内进一步加入格点，令 $x_{ij}\ (j = 1\dots N)$ 为第 $i$ 有限元的 $N$ 阶 Gauss-Lobatto 数值积分 的 $N$ 个采样点。这样，$x_{j1}=x_j$， $x_{jN}=x_{j+1}$。
现在来定义 FEDVR 基底 $u_{ij}(x)$。令 $a_i$ 是第 $i$ 个 FE 长度的一半，$b_i$ 是第 $i$ 个 FE 的中点坐标，把式 12 中的 $f_n(x)$（$x$ 超出 $[-1,1]$ 时令 $f_n(x) = 0$）记为 $f_n(t)$，并把 $t \in [-1,1]$ 线性依次映射到每个有限元的区间 $x \in [x_i, x_{i+1}]$ 上，有（下文中 $t$ 和 $x$ 都分别使用该定义）
\begin{equation}
x_{ij} = a_i t_j + b_i~,
\end{equation}
\begin{equation}
x = a_i t + b_i \qquad (x_{i1} \leqslant x \leqslant x_{iN})~.
\end{equation}
则基底的定义为
\begin{equation}
u_{ij}(x) = \left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{a_i}} f_j \left(\frac{x-b_i}{a_i} \right) &&( 1 < j < N) \\
& \frac{1}{\sqrt{a_i+a_{i+1}}} \left[f_N \left(\frac{x-b_i}{a_i} \right) + f_1 \left(\frac{x-b_{i+1}}{a_{i+1}} \right) \right]
&&(j = N)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
每个基底都是由一个 $N-1$ 阶多项式（或两个拼接而成）。若使用求和代替积分（存在误差），基底之间满足正交归一关系
\begin{equation}
\int_{x_1}^{x_{N_e+1}} u_{ij}(x) u_{i'j'}(x) \,\mathrm{d}{x} \approx \delta_{ii'} \delta_{jj'}~.
\end{equation}
在总区间的两端我们一般采用函数值为零的边界条件，所以不定义 $u_{11}(x)$ 和 $u_{N_e, N}(x)$。这样，我们最终共有 $N_e(N-1)-1$ 个节点 $x_{ij}$ 和对应的基底 $u_{ij}(x)$。令 $w_{0i}$ 为
式 12 中的 $w_i$，则每个基底在每个节点处的函数值为
\begin{equation}
u_{ij}(x_{i'j'}) = \delta_{ii'}\delta_{jj'}\times \left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{a_i w_{0j}}} &&( 1 < j < N) \\
& \frac{1}{\sqrt{(a_i+a_{i+1}) w_{0N}}} &&(j = N)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
易证，若要对整个区间积分，所需权重为
\begin{equation}
w_{ij} = \frac{1}{u_{ij}^2(x_{ij})} =
\begin{cases}
a_i w_{0j} &(1 < j < N) \\
(a_i + a_{i+1}) w_{0N} &(j = N)~.
\end{cases}
\end{equation}
但如果只需要在某个 FE 区间内做积分，只需用 $w_{ij} = a_i w_{0j}$ 即可。
一个函数 $f(x)$ 用基底展开为
\begin{equation}
\left\langle u_{ij}(x) \middle| f(x) \right\rangle = \int_{x_1}^{x_{N_e+1}} u_{ij}(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \approx \sqrt{w_{ij}} f(x_{ij})~.
\end{equation}
把所有基底按对应的 $x_{ij}$ 从小到大排序。$f(x)$ 的展开系数就可以记为一个列矢量。
2. 二阶导数矩阵（动能矩阵）
注意由于同一个 FE 内的基底并不怎么正交（$N=6$ 时内积的相对误差甚至可达 10%！更高的 $N=18$ 时也有 3%），主要是求出矩阵后，用数值验证的方法验证是否精确即可（对低阶多项式，精确到机器精度，即使相邻三个 FE 长度都不等）。
虽然不是所有的 $u_i$ 基底都处处二阶可导，但我们可以假设它们所表示的波函数 $\psi(x) = \sum_k c_k u_k(x)$ 处处二阶可导。求导后，系数为（由于 $u_i, u_j$ 不正交，所以我们在第一个等号中特意避开积分，但由于被积多项式阶数足够低，可以用积分精确代替求和，进而便于使用分部积分。这样求出来的结果和直接计算第一个等号后的求和是完全一样的）
\begin{equation}
c_i^{(2)} = \frac{1}{u_i(x_i)} \left. \left( \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \sum_k c_k u_k \,\mathrm{d}{x} \right) \right\rvert _{x=x_i} = \int_{-\infty}^{+\infty} {u_i} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \sum_k c_k u_k \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
所以为了避免处理有限元的边界，我们可以在积分中直接忽略所有的边界点（忽略有限个点不会影响积分值）。
\begin{equation}
c_i^{(2)} = \sum_k c_k \int u_i u''_k \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
此时求和中的每个积分范围可以缩小到一个或两个有限元内，此时不可以使用 bridge 的全局权重。
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{ij} &= \int u_i u''_k \,\mathrm{d}{x} \\
&= \left. u_i(x) u'_j(x) \right\rvert _{x_1}^{x_2} - \int u'_i u'_j \,\mathrm{d}{x} \qquad (u_i \text{ non-bridge})~.
\end{aligned} \end{equation}
由直觉可得，第一项可以抵消。可以看出 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} ^{(2)}$ 是实对称矩阵。由于被积多项式的阶数只有 $2(N-2)$（小于 $2N-3$），这个积分可以精确地用求和表示，而且只有同一个 FE 里面的 $u_i(x), u_j(x)$ 才能使积分不为零（bridge function 属于两个 FE），所以就得到了几乎是 block diagonalized 的矩阵，只是每一个 block 左上角和右下角的一个矩阵元与其他 block 重叠。
那如何计算基底函数的导数呢？可以通过计算拉格朗日插值多项式的导数得到
\begin{equation}
\begin{aligned}&f_i'(t_j) =\frac{1}{\sqrt{w_{0i}}} \times\\
& \left\{\begin{aligned}
&\frac{t_j-t_1}{t_i-t_1} \frac{t_j-t_2}{t_i-t_2} \dots \frac{1}{t_i-t_j} \dots \frac{t_j-t_{i-1}}{t_i-t_{i-1}}\frac{t_j-t_{i+1}}{t_i-t_{i+1}} \dots \frac{t_j-t_N}{t_i-t_N} &&(i \ne j) \\
& \frac{1}{t_i-t_1} + \dots + \frac{1}{t_i-t_{i-1}} + \frac{1}{t_i-t_{i+1}} + \dots \frac{1}{t_i-t_N} &&(i = j)
\end{aligned}\right. \\ \\
& (i,j=1,\dots,N)~.
\end{aligned} \end{equation}
代入得
式 3 求导得
\begin{equation}
u'_{ij}(x_{ij'}) = \frac{1}{a_i^{3/2}} f'_j \left(t_{j'} \right) \qquad ( 1 < j < N)~,
\end{equation}
\begin{equation}
u'_{iN}(x_{i j'}) = \frac{1}{a_i\sqrt{a_i+a_{i+1}}} f'_N \left(t_{j'} \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
u'_{iN}(x_{i+1, j'}) = \frac{1}{a_{i+1}\sqrt{a_i+a_{i+1}}} f'_1 \left(t_{j'} \right) ~.
\end{equation}
注意 $u'_{iN}$ 在 $x_{iN}$ 处不连续无定义，左右导数分别为 $u'_{iN}(x_{iN})$ 和 $u'_{iN}(x_{i+1, 1})$。
现在就可以求二阶导数的矩阵元了
\begin{equation}
D^{(2)}_{(im), (in)} =
\left\{\begin{aligned}
&-\int_{x_{i1}}^{x_{i+1,N}} u'_{im}(x) u'_{in}(x) \,\mathrm{d}{x} && (m=n=N)\\
&-\int_{x_{i1}}^{x_{iN}} u'_{im}(x) u'_{in}(x) \,\mathrm{d}{x} && (\text{otherwise})~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
但注意对 bridge function 的积分不宜直接用全局 weight，还是要在每个 FE 内部分别求和。
先看不含 bridge function 的矩阵元：
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{(im), (in)} &= -\frac{1}{a_i^2} \sum_k w_{0k} f'_m(t_k) f'_n(t_k)
\qquad (1 < m \leqslant n < N)~.
\end{aligned} \end{equation}
再看含 bridge function 的矩阵元：
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{(im), (iN)} &= \frac{-1}{a_i^{3/2} \sqrt{a_i + a_{i+1}}} \sum_k w_{0k} f'_m(t_k) f'_N(t_k)
\qquad (1 < m < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{(iN), (iN)} &= \frac{-1}{(a_i + a_{i+1})} \sum_k w_{0k} \left[\frac{1}{a_i} f'_N(t_k)^2 + \frac{1}{a_{i+1}} f'_1(t_k)^2 \right] ~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{(iN), (i+1,n)} &= \frac{-1}{a_{i+1}^{3/2} \sqrt{a_i + a_{i+1}}} \sum_k w_{0k} f'_1(t_k) f'_n(t_k)
\qquad (1 < n < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D^{(2)}_{(iN), (i+1,N)} &= \frac{-1}{a_{i+1}\sqrt{(a_i + a_{i+1})(a_{i+1}+a_{i+2})}} \sum_k w_{0k} f'_1(t_k) f'_N(t_k)~.
\end{aligned} \end{equation}
3. 一阶导数矩阵
经数值验证，有
\begin{equation}
f'_i(x_i) = 0~.
\end{equation}
所以下面可以发现 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 的对角元皆为零。对低阶多项式，$ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 对多项式求导结果精确到机器精度（即使相邻两个 FE 长度不等）。
和二阶导数同理，一阶导数的矩阵元为（积分范围挖去 $x_{iN}$）
\begin{equation}
D^{(1)}_{(im), (in)} =
\frac{u'_{in}(x_{im})}{u_{im}(x_{im})} =
\left\{\begin{aligned}
&\int_{x_{i1}}^{x_{i+1,N}} u_{im}(x) u'_{in}(x) \,\mathrm{d}{x} && (m=n=N)\\
&\int_{x_{i1}}^{x_{iN}} u_{im}(x) u'_{in}(x) \,\mathrm{d}{x} && (\text{otherwise})~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
先看不含 bridge function 的矩阵元：
\begin{equation} \begin{aligned}
D_{(im), (in)} &= \frac{\sqrt{w_{0m}}}{a_i} f'_n(t_m)
\qquad (1 < m \leqslant n < N)~.
\end{aligned} \end{equation}
再看含 bridge function 的矩阵元：
\begin{equation} \begin{aligned}
D_{(im), (iN)} &= \sqrt\frac{{w_{0m}}}{{a_i}(a_i + a_{i+1})} f'_N(t_m)
\qquad (1 < m < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D_{(iN), (iN)} &= 0~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D_{(iN), (i+1,n)} &= \sqrt\frac{{w_{01}}}{(a_i + a_{i+1}){a_{i+1}}} f'_n(t_1)
\qquad (1 < n < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
D_{(iN), (i+1,N)} &= \sqrt{\frac{{w_{01}}}{{(a_i + a_{i+1})(a_{i+1}+a_{i+2})}}} f'_N(t_1)~.
\end{aligned} \end{equation}
1. ^ 参考 Aihua Liu 的博士论文 (KSU, 2015)。
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