贡献者： addis
未完成：简单介绍什么是 FEDVR，有什么用
1. FEDVR 基底
1现在以一维 FEDVR 为例，把整个区间划分成 $N_e$ 个有限元，第 $i$ 个有限元的区间为 $[x_i,x_{i+1}]$。每个有限元内进一步加入格点，令 $x_{ij}\ (j = 1\dots N)$ 为第 $i$ 有限元的 $N$ 阶 Gauss-Lobatto 数值积分 的 $N$ 个采样点。这样，$x_{j1}=x_j$， $x_{jN}=x_{j+1}$。
现在来定义 FEDVR 基底 $u_{ij}(x)$。令 $a_i$ 是第 $i$ 个 FE 长度的一半，$b_i$ 是第 $i$ 个 FE 的中点坐标，把式 12 中的 $f_n(x)$（$x$ 超出 $[-1,1]$ 时令 $f_n(x) = 0$）记为 $f_n(t)$，并把 $t \in [-1,1]$ 线性依次映射到每个有限元的区间 $x \in [x_i, x_{i+1}]$ 上，有
\begin{equation}
x_{ij} = a_i t_j + b_i~,
\end{equation}
\begin{equation}
x = a_i t + b_i \qquad (x_{i1} \leqslant x \leqslant x_{iN})~.
\end{equation}
则基底的定义为
\begin{equation}
u_{ij}(x) = \left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{a_i}} f_j \left(\frac{x-b_i}{a_i} \right) \qquad &&( 1 < j < N) \\
& \frac{1}{\sqrt{a_i+a_{i+1}}} \left[f_N \left(\frac{x-b_i}{a_i} \right) + f_1 \left(\frac{x-b_{i+1}}{a_{i+1}} \right) \right]
\quad &&(j = N)
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
易证正交归一关系
\begin{equation}
\int_{x_1}^{x_{N_e+1}} u_{ij}(x) u_{i'j'}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{ii'} \delta_{jj'}~.
\end{equation}
在总区间的两端我们一般采用函数值为零的边界条件，所以不定义 $u_{11}(x)$ 和 $u_{N_e, N}(x)$。这样，我们最终共有 $N_e(N-1)-1$ 个节点 $x_{ij}$ 和对应的基底 $u_{ij}(x)$。令 $w_{0i}$ 为
式 12 中的 $w_i$，则每个基底在每个节点处的函数值为
\begin{equation}
u_{ij}(x_{i'j'}) = \delta_{ii'}\delta_{jj'}\times \left\{\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{a_i w_{0j}}} \qquad &&( 1 < j < N) \\
& \frac{1}{\sqrt{(a_i+a_{i+1}) w_{0N}}} \qquad &&(j = N)
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
易证，若要对整个区间积分，所需权重为
\begin{equation}
w_{ij} = \frac{1}{u_{ij}^2(x_{ij})} =
\begin{cases}
a_i w_{0j} &(1 < j < N) \\
(a_i + a_{i+1}) w_{0N} &(j = N)
\end{cases}~.
\end{equation}
但如果只需要在某个 FE 区间内做积分，只需用 $w_{ij} = a_i w_{0j}$ 即可。
一个函数 $f(x)$ 用基底展开为
\begin{equation}
\left\langle u_{ij}(x) \middle| f(x) \right\rangle = \int_{x_1}^{x_{N_e+1}} u_{ij}(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \approx \sqrt{w_{ij}} f(x_{ij})~.
\end{equation}
把所有基底按对应的 $x_{ij}$ 从小到大排序。$f(x)$ 的展开系数就可以记为一个列矢量。
2. 动能算符
使用分部积分可以把动能矩阵元表示为两个基底的导函数的内积2
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{ij} &= -\frac12 \left\langle u_i \middle| \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \middle| u_j \right\rangle = -\frac12 \int u_i(x) u_j''(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= -\frac12 \left. u_i(x) u'_j(x) \right\rvert _{x_1}^{x_2} + \frac12 \int u'_i(x) u_j'(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac12 \left\langle u'_i(x) \middle| u_j'(x) \right\rangle ~.
\end{aligned} \end{equation}
可以看出 $ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 是实对称矩阵。这个积分可以精确地用求和表示，而且只有同一个 FE 里面的 $u_i(x), u_j(x)$ 才能使积分不为零（bridge function 属于两个 FE），所以就得到了几乎是 block diagonalized 的矩阵，只是每一个 block 左上角和右下角的一个矩阵元与其他 block 重叠。
那如何计算基底函数的导数呢？可以通过计算勒让德插值多项式的导数得到
\begin{equation} \begin{aligned}
&f_i'(t_j) =\frac{1}{\sqrt{w_{0i}}} \times\\
& \left\{\begin{aligned}
&\frac{t_j-t_1}{t_i-t_1} \frac{t_j-t_2}{t_i-t_2} \dots \frac{1}{t_i-t_j} \dots \frac{t_j-t_{i-1}}{t_i-t_{i-1}}\frac{t_j-t_{i+1}}{t_i-t_{i+1}} \dots \frac{t_j-t_N}{t_i-t_N} \qquad &&(i \ne j) \\
& \frac{1}{t_i-t_1} + \dots + \frac{1}{t_i-t_{i-1}} + \frac{1}{t_i-t_{i+1}} + \dots \frac{1}{t_i-t_N} \quad &&(i = j)
\end{aligned}\right. \end{aligned} ~.\end{equation}
代入得
\begin{equation}
u'_{ij}(x_{ij'}) = \frac{1}{a_i^{3/2}} f'_j \left(t_{j'} \right) \qquad ( 1 < j < N)~,
\end{equation}
\begin{equation}
u'_{iN}(x_{i j'}) = \frac{1}{a_i\sqrt{a_i+a_{i+1}}} f'_N \left(t_{j'} \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
u'_{iN}(x_{i+1, j'}) = \frac{1}{a_{i+1}\sqrt{a_i+a_{i+1}}} f'_1 \left(t_{j'} \right) ~.
\end{equation}
注意 $u'_{iN}$ 在 $x_{iN}$ 处的左右导数不相等。
现在就可以求动能矩阵的矩阵元了（由于是对称矩阵，我们只列出半边），先看不含 bridge function 的矩阵元
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{(im), (in)} &= \frac12 \int_{x_{i1}}^{x_{iN}} u'_{im}(x) u'_{in}(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac12 \sum_k a_i w_{0k} u'_{im}(x_{ik}) u'_{in}(x_{ik}) \\
&= \frac{1}{2a_i^2} \sum_k w_{0k} f'_m(t_k) f'_n(t_k)
\qquad (1 < m \leqslant n < N)~.
\end{aligned} \end{equation}
再看含 bridge function 的矩阵元
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{(im), (iN)} &= \frac12 \int_{x_{i1}}^{x_{iN}} u'_{im}(x) u'_{iN}(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2a_i^{3/2} \sqrt{a_i + a_{i+1}}} \sum_k w_{0k} f'_m(t_k) f'_N(t_k)
\qquad (1 < m < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{(iN), (iN)} &= \frac12 \int_{x_{i1}}^{x_{iN}} u'_{iN}(x)^2 \,\mathrm{d}{x} + \frac12 \int_{x_{i+1,1}}^{x_{i+1,N}} u'_{i+1,1}(x)^2 \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2(a_i + a_{i+1})} \sum_k w_{0k} \left[\frac{1}{a_i} f'_N(t_k)^2 + \frac{1}{a_{i+1}} f'_1(t_k)^2 \right] ~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{(iN), (i+1,n)} &= \frac12 \int_{x_{i+1,1}}^{x_{i+1,N}} u'_{i,N}(x) u'_{i+1,n}(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2 a_{i+1}^{3/2} \sqrt{a_i + a_{i+1}}} \sum_k w_{0k} f'_1(t_k) f'_n(t_k)
\qquad (1 < n < N)~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned}
K_{(iN), (i+1,N)} &= \frac12 \int_{x_{i+1,1}}^{x_{i+1,N}} u'_{i,N}(x) u'_{i+1,N}(x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{2a_{i+1}\sqrt{(a_i + a_{i+1})(a_{i+1}+a_{i+2})}} \sum_k w_{0k} f'_1(t_k) f'_N(t_k)~.
\end{aligned} \end{equation}
3. 势能矩阵
\begin{equation}
V_{\alpha\beta} = \int_{x_1}^{x_{N_e+1}} u_n^j (x) u_{n'}^{j'} (x) V(x) \,\mathrm{d}{x} = \end{equation}
未完成：未完成
1. ^ 参考 Aihua Liu 的博士论文 (KSU, 2015)。
2. ^ 未完成：这么说不严谨！ 因为并不是所有基底都是光滑的，分部积分的常数项也未必能消掉。
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