协变导数

             

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 仿射联络(切丛)

   定义联络时,我们讲联络看成是向量场之间的映射,$\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} $ 都是光滑向量场.也就是说,我们着眼于场的整体,而没有关注局部的性质,比如某个点或者某个轨迹上的切向量场如何变化.

   不过,在Christoffel 符号词条中我们看到,在具体图中计算联络时,只用到了几个定义在欧几里得空间的函数,也就是向量场的坐标值函数和 Christoffel 符号.欧几里得空间上函数的求导是可以考虑局部的,也就是我们可以计算一个点上函数的导数,而不必像联络的定义那样要考虑整个场的变换.这就意味着我们有可能局部地计算联络.

1. 协变导数的概念

   考虑一个带联络的 $n$ 维实流形 $(M, \nabla)$.令 $c:I\to M$ 是一个从区间 $[0, 1]$ 到流形 $M$ 上的连续映射,我们称之为一条道路.沿着 $c(t)|_{t\in I}$ 定义一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$.也就是说,各 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 都是 $c(t)$ 处的切向量,但不一定是沿着 $c'(t)$ 方向的1

   比如说,令 $M$ 二维球面 $S^2$,嵌入为三维欧几里得空间中圆心在原点的单位球面.取 $c(t)= \begin{pmatrix}\cos t&\sin t&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $.如果令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)= \begin{pmatrix}0&0& \mathrm{e} ^t\end{pmatrix} $,那么它处处是 $S^2$ 上的切向量,且沿着 $c(t)$ 的各坐标分量都是关于 $t$ 的光滑函数,因此是沿着 $c(t)$ 的光滑向量场,但它和 $c'(t)$ 处处都不平行.

   如果 $M$ 是欧几里得空间,那么我们已经知道该怎么求 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 了,因为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 可以自然地表示成坐标形式,我们对每个坐标求导就可以了.具体来说,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=x^i(t)\partial_i$,那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\dot{x}^i(t)\partial_i$.

   欧几里得空间中,沿给定道路求导的过程满足以下性质:

  1. $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性2
  2. 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$,则
    \begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f \end{equation}
  3. 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分,且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数,那么有
    \begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } \end{equation}

   式 2 很重要,它意味着至少在欧几里得空间中,沿着道路对切向量求导,可以由联络(方向导数)导出.顺着这个思想,我们可以尝试将沿道路求导的概念拓展到任意的流形 $M$ 上.

切向量场从局部拓展到整体

   在 $M$ 上局部区域定义的光滑切向量场,比如道路 $c(t)$ 上的 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$,能不能拓展到整个流形 $M$ 呢?也就是说,是否存在一个 $M$ 上的光滑切向量场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$,使得 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)}$ 呢?

   答案是肯定的.这是因为任意 $n$ 维实流形 $M$,都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 上.换句话说,存在一个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数 $f$,使得 $\mathbb{R}^{2n}$ 的子流形 $\{p\in\mathbb{R}^{2n}|f(p)=0\}$,和 $M$ 微分同胚(或者说就是 $M$ 本身).使用 $\mathbb{R}^{2n}$ 天然的坐标,可以把任何切向量场表示成 $\mathbb{R}^{2n}$ 上光滑函数的组合3.我们总可以把局部的光滑函数拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑函数,从而把局部的光滑切向量场拓展为整个 $\mathbb{R}^{2n}$ 上的光滑切向量场.对这个拓展的切场取在 $M$ 上的限制,再投影到 $M$ 上,即得到在 $M$ 上的拓展.

未完成:投影是为了得到 $M$ 上的切向量.

例 1 切向量的整体拓展

   令 $M$ 为三维欧几里得空间中的单位球 $M=\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} |x^2+y^2+z^2=0\}$.在 $M$ 的 “赤道”$\{ \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} |x^2+y^2=1, z=0\}$ 上定义了一个光滑切向量场:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{V}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} \end{equation}

   在 $\mathbb{R}^3$ 上定义

\begin{equation} \widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y&x&0\end{pmatrix} \end{equation}

   那么显然 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 是 $\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }$ 的限制.

   但是对于单位球 $M$ 上的各点 $p= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,$\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }(p)$ 却不一定是 $T_pM$ 中的切向量.这时候我们就需要投影:

\begin{equation} \widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }=\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }-\widehat{ \boldsymbol{\mathbf{V}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{N}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,是单位球在 $p$ 处的单位法向量.

   这样就能保证 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_p$ 一定是 $T_pM$ 的元素了.自此,我们就得到了 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $ 在整个 $M$ 上的拓展:$\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }|_{M}$.

协变导数

   继续之前的讨论,令 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 是沿着 $c(t)$ 的光滑切向量场.将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$,$c'(t)$ 拓展为 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $.

   $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 是可以计算出来的.考虑到欧几里得空间中沿道路求导的第 3 条性质,也就是和方向导数(联络)的相容性,我们可以沿着 $c(t)$ 定义一个算子 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$,使得:

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} }\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }|_{c(t)} \end{equation}

   我们称如上定义的 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 沿着道路 $c(t)$ 的协变导数(covariant derivative)

   欧几里得空间上沿着 $c(t)$ 求 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 的方向导数,就是协变导数的一个特例.一般的协变导数,和这个特例一样,有三个性质:

  1. $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 对 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 满足 $\mathbb{R}-$ 线性性4
  2. 任取 $M=$ 上的光滑函数 $f$,则
    \begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \left(f \boldsymbol{\mathbf{X}} \right) =f\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} + \boldsymbol{\mathbf{X}} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }f \end{equation}
  3. 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 是 $\mathbb{R}^n$ 上光滑切向量场 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }$ 的一部分,且记 $D$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的方向导数,那么有
    \begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} =D_{c'(t)}\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } \end{equation}

   在 Loring W. Tu 的课本Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes [7] 的第 13.1 节,导出协变导数的思路是先给出以上三个性质,然后证明存在且唯一存在满足这三条性质的算子,将其定义为 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }$.如果你使用 GTM 275 作为参考书,请注意这里思路的差别.

2. 协变导数的计算

   取 $M$ 上的一个局部坐标系5$\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\}$.给定沿着 $c(t)$ 的一个光滑切向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} =x^i(t) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,其中各 $x^i(t)$ 是区间 $I$ 上的光滑函数.将光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 拓展为光滑切场 $\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$,光滑函数 $x^i$ 拓展为光滑函数 $\widetilde{x}^i$6.此时再将 $c'(t)$ 拓展为整个 $M$ 上的光滑切场 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} =T^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$.

   则按定义有:

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t) &= \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \left(\widetilde{x}^i \widetilde { \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} \\ &=\widetilde{x}^i\nabla_{T^j\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right) |_{c(t)} + ( \boldsymbol{\mathbf{T}} \widetilde{x^i})\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i|_{c(t)}\\ &=T^j\widetilde{x}^i\nabla_{\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_j}\left(\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i\right)|_{c(t)}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \end{aligned} \end{equation}

   按照 GTM 275 中式(13.1)的写法,有

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i+{x}^i(t)\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{T}} } \boldsymbol{\mathbf{e}} _i \end{equation}

   和式 9 是一样的.

   将式 9 Christoffel 符号的概念结合,我们还可以进一步写出给定图中协变导数的计算公式:

\begin{equation} \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)=T^jx^i\Gamma^k_{ji}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^k(t)}{ \,\mathrm{d}{t} } \end{equation}
注意式 11 只写了坐标,省略了 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$.

   这样,只要知道了一个图中的 Christoffel 符号,就可以用式 11 在这个图中计算出协变导数了.

3. 与度量的相容性

   相关概念参见黎曼联络

定理 1 

   给定黎曼流形$M$ 上的一条道路 $c(t)$,沿着道路有两个光滑切场 ${ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t)$ 和 ${ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t)$.那么内积 $g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))$ 就是 $c(t)$ 上的光滑函数,因此可以直接对 $t$ 求导.

   此时我们有:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))=g(\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), { \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t))+g({ \boldsymbol{\mathbf{X}} }(t), \frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }{ \boldsymbol{\mathbf{Y}} }(t)) \end{equation}

   这是由 “度量相容性(见定义 3 的第二条)” 推论得出的.


1. ^ 当然,我们可以把 $ \operatorname {Im}c(t)$ 本身看成一个一维的流形,那么此时 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就不是其切向量.我们可以考虑在这个一维流形上的一个二维向量丛,这样 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 就是这个丛上的一个截面.
2. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$,那么任取实数 $a, b$,都有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $.
3. ^ 比如三维欧几里得空间中的切向量场,可以表示为三个光滑函数的组合,每个光滑函数是一个坐标分量.
4. ^ 即如果在道路上定义了两个向量场 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} (t)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{Y}} (t)$,那么任取实数 $a, b$,都有 $\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} }( \boldsymbol{\mathbf{a \boldsymbol{\mathbf{X}} +b \boldsymbol{\mathbf{Y}} }} )=a\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{X}} +b\frac{D}{ \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{Y}} $.
5. ^ $M$ 上并非总有整体坐标系,比如说单位球面上就不可能存在处处非零的光滑切向量场,进而任何一组光滑切向量场都会有零点,进而任何一组光滑切场都不可能是整体坐标系.但是局部是可以的,因为流形是局部同胚于欧几里得空间的,取欧几里得空间里的坐标系,映射回流形上就可以.
6. ^ 即将 $ \boldsymbol{\mathbf{X}} $ 拓展为 $\widetilde{x}^i\widetilde{ \boldsymbol{\mathbf{e}} }_i$.


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