模

定义 1　左模

　　 给定一个幺环 $(R, \times, +)$ 和一个阿贝尔群 $(M, +)$，将 $R$ 中的每个元素都定义为 $M$ 上的一个变换，其中对于 $r\in R, m\in M$，记 $rm\in M$ 为 $r$ 对 $m$ 进行变换的结果。

　　 如果所定义的变换满足：

1. 对于任意 $r_i\in R, m\in M$，有：$r_2(r_1m)=(r_2\times r_1)m$；
2. 对于任意 $r_i\in R, m\in M$，有：$r_2m+r_1m=(r_2+r_1)m$；
3. 对于任意 $r\in R, m_i\in M$，有：$r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2$；
4. 对于 $R$ 的乘法单位元 $1_R$ 和任意 $m\in M$，有：$1_Rm=m$。

　　 那么我们说环 $R$ 和群 $M$ 配合给定的变换定义，构成一个左$R$-模（left $R$-modeule），记为 $_RM$。

定义 2　子模

　　 令 $_RM$ 是 $R$ 上的一个左模，$N$ 是 $M$ 的一个子集，且对于任意 $r\in R$ 和 $n\in N$ 有 $rn\in N$，那么 $N$ 可以继承 $_RM$ 上的作用，构成一个左 $R$-模，记为 $_RN$。称 $_RN$ 为 $_RM$ 的子模（submodule）。

定义 3　模同态

　　 设 $_RM$ 和 $_RN$ 都是左 $R$-模，且有群同态 $f:M\to N$，使得对于任何 $r, s\in R$ 和 $m\in M, n\in N$，有 $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$，那么说 $f$ 是一个 $R$-模同态（module）¹。

定义 4　线性空间

　　 域上的模，称为线性空间（linear space）。

定义 5　有限生成模

　　 令 $_RM$ 是 $R$ 上的一个左模，如果存在 $M$ 的有限子集 $\{m_1, \cdots, m_n\}$，使得 $M=\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_nm_n|r_i\in R\}$，则称 $_RM$ 是有限生成（finitely generated）的，子集 $\{m_1, \cdots, m_n\}$ 称为其一个生成组。

　　 特别地，有限生成组只包含一个元素的模，称为一个循环模（cyclic module）。

定义 6　自由模

　　 令 $R$ 为一个环，集合 $M=\{(r_1, r_2, \cdots, r_n)|r_i\in R\}$。在 $M$ 上定义加法运算为 $(r_1, \cdots, r_n)+(s_1, \cdots, s_n)=(r_1+s_1, \cdots, r_n+s_n)$，使 $M$ 构成一个阿贝尔群。如果再定义左数乘为 $r(r_1, \cdots, r_n)=(r\times r_1, \cdots, r\times r_n)$，那么称这样得到的模为一个自由$R$-模（free $R$-module）。