预备知识 环,矢量空间

   模是对线性空间的一种推广,相当于要求进行数乘时所用的 “数” 不再是一个域的元素,而只要求是一个环.也就是说,线性空间是模的一种,但模不一定是线性空间.

定义 1 左模

   给定一个环 $(R, \times)$ 和一个阿贝尔群 $(M, +)$,将 $R$ 中的每个元素都定义为 $M$ 上的一个变换,其中对于 $r\in R, m\in M$,记 $rm\in M$ 为 $r$ 对 $m$ 进行变换的结果.

   如果所定义的变换满足:

  1. 对于任意 $r_i\in R, m\in M$,有:$r_2(r_1m)=(r_2\times r_1)m$;
  2. 对于任意 $r_i\in R, m\in M$,有:$r_2m+r_1m=(r_2+r_1)m$;
  3. 对于任意 $r\in R, m_i\in M$,有:$r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2$;
  4. 对于 $R$ 的乘法单位元 $1_R$ 和任意 $m\in M$,有:$1_Rm=m$.

   那么我们说环 $R$ 和群 $M$ 配合给定的变换定义,构成一个$R$-模(left $R$-modeule),记为 $_RM$.

   类似地,也可以定义 $r_i$ 从右边作用于 $m_i$,所得的结构就是$R$-模(right $R$-modeule),记为 $M_R$.

   线性空间的数乘并没有左右的区分,而模的 “数乘”,即以上定义的变换,是有的.这是因为域的乘法必然是交换的,而环的则不一定,导致 $r_1mr_2$ 的定义不明确.但是如果 $R$ 是交换环,那么我们就可以良好地定义 $r_1mr_2=(r_1\times r_2)m=(r_2\times r_1)m=m(r_1\times r_2)=m(r_2\times r_1)$.对于交换环 $R$ 的模,左模和右模是一样的,统称为 $R$-模.

定义 2 线性空间

   域上的模,称为线性空间(linear space)

   我们在线性代数中已经熟悉了线性空间的概念.一般的模有很多和线性空间相似的性质.

1. 模的分类

定义 3 有限生成模

   令 $_RM$ 是 $R$ 上的一个左模,如果存在 $M$ 的有限子集 $\{m_1, \cdots, m_n\}$,使得 $M=\{r_1m_1+r_2m_2+\cdots+r_nm_n|r_i\in R\}$,则称 $_RM$ 是有限生成(finitely generated)的,子集 $\{m_1, \cdots, m_n\}$ 称为其一个生成组

   特别地,有限生成组只包含一个元素的模,称为一个循环模(cyclic module)

定义 4 自由模

   令 $R$ 为一个环,集合 $M=\{(r_1, r_2, \cdots, r_n)|r_i\in R\}$.在 $M$ 上定义加法运算为 $(r_1, \cdots, r_n)+(s_1, \cdots, s_n)=(r_1+s_1, \cdots, r_n+s_n)$,使 $M$ 构成一个阿贝尔群.如果再定义左数乘为 $r(r_1, \cdots, r_n)=(r\times r_1, \cdots, r\times r_n)$,那么称这样的到的模为一个自由$R$-模(free $R$-module)

2. 模的例子

例 1 

   线性空间都是模.

例 2 

   给定一个超越数 $x$,则 $x$ 的全体整系数多项式构成一个 $\mathbb{Z}$-模.

例 3 流形上的光滑向量场

   一个流形 $M$ 上的全体光滑函数构成一个环 $C^{\infty}(M)$.光滑函数乘到光滑向量场上的运算作为左乘,则 $\mathfrak{X}(M)$ 构成一个左 $C^{\infty}$-模.

   详细讨论见流形上的代数结构

3. 子模

   令 $_RM$ 是 $R$ 上的一个左模,$N$ 是 $M$ 的一个子集,且对于任意 $r\in R$ 和 $n\in N$ 有 $rn\in N$,那么 $N$ 可以继承 $_RM$ 上的作用,构成一个左 $R$-模,记为 $_RN$.称 $_RN$ 为 $_RM$ 的子模(submodule)

4. 同态

   设 $_RM$ 和 $_RN$ 都是左 $R$-模,且有群同态 $f:M\to N$,使得对于任何 $r, s\in R$ 和 $m\in M, n\in N$,有 $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$,那么说 $f$ 是一个 $R$-模同态(module)

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