素域
贡献者: 零穹; Giacomo
1. 素域
当 为素数的时候,我们把 称为素域(或者质域),记做 。
证明:
若 不是素数,则由素数定义,存在整数 , 使得 ,于是 (见同余性质 2),这就是说 中有零因子(定义 1 )。由于域不可能有零因子,所以 非素数时 不是域,由逆否命题的正确性, 是域则 是素数。
其次,假设 是素数,由于 是有单位元的交换环(定理 1 ),证明其是域只需证明其上非零元都有逆元。
任意 ,当 时,有 。事实上,设 ,则 (见同余性质 2),由于任一整数都可写成同一组两两不等的素数方幂的乘积,并考虑到 , 那么:
其中 是小于 的素数,而
整除 意味着 是 的因数,这相当于 的素数分解式中包含数 的分解式(相当于分解式中各素数因子幂次都要大于因数对应素数的幂次)。然而 的分解式中 的幂次为 0,这意味着 不是 的因数,即 。
考查元素
其中 由上面所述,它们都不为 0。容易证得其中任意两元素都不相等,否则 ,则 ,这是不可能的。于是除了顺序之外,序列(
式 3 )和序列
重合。注意元素个数相同意味着集合间存在双射,对于这里,映射
构成这样的双射,于是可以找到整数 ,使得 , 由 给出,即 是 的逆元。于是 是个域。
证毕!
2. 应用:费马小定理的证明
费马小定理是法国律师费马于 1636 年发现的,其由欧拉在 1736 年出版的名为 “一些与素数有关的定理的证明” 的论文集中第一次给出证明。其描述如下
定理 1 费马小定理
若 是素数, 是一个不能被 整除的整数,则有同余式(定义 1 )
翻译成自然语言,就是说若整数 不能被素数 整除,则 除 余数为 1。
值得注意的是,费马小定理是更一般的欧拉定理(链接)的特殊情形。
证明:
由子节 1 中的式 3 和式 4 集合的相等性知
两边全体元素相乘:
由
引理 1 , 是个域,域是个无零因子环,其满足消去律(链接),于是乘积 (由于每个 ,如果该式不成立,意味着零因子的存在,而这是不可能的)可消去,得到
翻译成同余的语言,即得
式 6 。
证毕!
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