素域

                     

贡献者： 零穹; Giacomo

1. 素域

　　 当 $p$ 为素数的时候，我们把 ${\mathbb{Z}}_p$ 称为素域（或者质域），记做 ${\mathbb{F}}_p$。

　　 证明： 若 $p$ 不是素数，则由素数定义，存在整数 $1<r,s<p$, 使得 $rs=p$，于是 $\bar{r}\bar{s}=\bar{p}=\bar{0}$（见同余性质 2），这就是说 ${\mathbb{Z}}_p$ 中有零因子（定义 1 ）$\bar{r},\bar{s}$。由于域不可能有零因子，所以 $p$ 非素数时 ${\mathbb{Z}}_p$ 不是域，由逆否命题的正确性，${\mathbb{Z}}_p$ 是域则 $p$ 是素数。

　　 其次，假设 $p$ 是素数，由于 ${\mathbb{Z}}_p$ 是有单位元的交换环（定理 1 ），证明其是域只需证明其上非零元都有逆元。

　　 任意 $s\not\equiv 0(p)$，当 $k=1,\cdots ,p-1$ 时，有 $ks\not\equiv 0(p)$。事实上，设 $s\in \bar{r},r\in 1,\cdots ,p-1$，则 $\bar{k}\bar{s}=\bar{k}\bar{r}$（见同余性质 2），由于任一整数都可写成同一组两两不等的素数方幂的乘积，并考虑到 $k,r<p$, 那么：

其中 $p_1,\cdots ,p_n$ 是小于 $p$ 的素数，而 $p$ 整除 $kr$ 意味着 $p$ 是 $kr$ 的因数，这相当于 $kr$ 的素数分解式中包含数 $p$ 的分解式（相当于分解式中各素数因子幂次都要大于因数对应素数的幂次）。然而 $kr$ 的分解式中 $p$ 的幂次为 0，这意味着 $p$ 不是 $kr$ 的因数，即 $ks\not\equiv 0(p)$。

　　 考查元素

其中 $\bar{s}\ne \bar{0}$ 由上面所述，它们都不为 0。容易证得其中任意两元素都不相等，否则 $\overline{ks}=\overline{ls},k<l$，则 $\overline{(}l-k)=\bar{0}$，这是不可能的。于是除了顺序之外，序列（式 3 ）和序列 重合。注意元素个数相同意味着集合间存在双射，对于这里，映射 构成这样的双射，于是可以找到整数 $1\le s^{\prime }\le p-1$，使得 $\overline{s{s}^{\prime }}=\bar{1}$，$\overline{s^{\prime }s}$ 由 $f^{-1}(\bar{1})$ 给出，即 $\overline{s^{\prime }}$ 是 $\bar{s}$ 的逆元。于是 ${\mathbb{Z}}_p$ 是个域。

　　 证毕！

2. 应用：费马小定理的证明

　　 费马小定理是法国律师费马于 1636 年发现的，其由欧拉在 1736 年出版的名为 “一些与素数有关的定理的证明” 的论文集中第一次给出证明。其描述如下

　　 翻译成自然语言，就是说若整数 $m$ 不能被素数 $p$ 整除，则 $p$ 除 $m^{p-1}$ 余数为 1。

　　 值得注意的是，费马小定理是更一般的欧拉定理（链接）的特殊情形。

　　 证明：

　　 由子节 1 中的式 3 和式 4 集合的相等性知

两边全体元素相乘： 由引理 1 ，${\mathbb{Z}}_p$ 是个域，域是个无零因子环，其满足消去律（链接），于是乘积 ${\mathrm{\Pi }}_{k=1}^{p-1}\bar{k}\ne \bar{0}$(由于每个 $\overline{k}\ne 0$，如果该式不成立，意味着零因子的存在，而这是不可能的)可消去，得到 翻译成同余的语言，即得式 6 。

　　 证毕！