素域

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 1 剩余类环,整环,域

1. 素域

引理 1 

   剩余类环 Zp 是个域(定义 2 ),当且仅当 p 是素数。

   当 p 为素数的时候,我们把 Zp 称为素域(或者质域),记做 Fp

   证明:p 不是素数,则由素数定义,存在整数 1<r,s<p, 使得 rs=p,于是 rs=p=0(见同余性质 2),这就是说 Zp 中有零因子(定义 1 r,s。由于域不可能有零因子,所以 p 非素数时 Zp 不是域,由逆否命题的正确性,Zp 是域则 p 是素数。

   其次,假设 p 是素数,由于 Zp 是有单位元的交换环(定理 1 ),证明其是域只需证明其上非零元都有逆元。

   任意 s0(p),当 k=1,,p1 时,有 ks0(p)。事实上,设 sr,r1,,p1,则 ks=kr(见同余性质 2),由于任一整数都可写成同一组两两不等的素数方幂的乘积,并考虑到 k,r<p, 那么:

(1)k=p1α1p2α2pnαnp0,r=p1β1p2β2pnβnp0,ks=p1α1+β1p2α2+β2pnαn+βnp0 ,
其中 p1,,pn 是小于 p 的素数,而
(2)p=p10p20pn0p .
p 整除 kr 意味着 pkr 的因数,这相当于 kr 的素数分解式中包含数 p 的分解式(相当于分解式中各素数因子幂次都要大于因数对应素数的幂次)。然而 kr 的分解式中 p 的幂次为 0,这意味着 p 不是 kr 的因数,即 ks0(p)

   考查元素

(3)s,2s,,(p1)s ,
其中 s0 由上面所述,它们都不为 0。容易证得其中任意两元素都不相等,否则 ks=ls,k<l,则 (lk)=0,这是不可能的。于是除了顺序之外,序列(式 3 )和序列
(4)1,2,,p1 
重合。注意元素个数相同意味着集合间存在双射,对于这里,映射
(5)f:nsn,n{1,,p1} 
构成这样的双射,于是可以找到整数 1sp1,使得 ss=1ssf1(1) 给出,即 ss 的逆元。于是 Zp 是个域。

   证毕!

2. 应用:费马小定理的证明

预备知识 2 费马小定理与欧拉定理

   费马小定理是法国律师费马于 1636 年发现的,其由欧拉在 1736 年出版的名为 “一些与素数有关的定理的证明” 的论文集中第一次给出证明。其描述如下

定理 1 费马小定理

   若 p 是素数,m 是一个不能被 p 整除的整数,则有同余式(定义 1 )

(6)mp11(p) .

   翻译成自然语言,就是说若整数 m 不能被素数 p 整除,则 pmp1 余数为 1。

   值得注意的是,费马小定理是更一般的欧拉定理(链接)的特殊情形。

   证明:

   由子节 1 中的式 3 式 4 集合的相等性知

(7){m,2m,,(p1)m}={1,2,,p1} .
两边全体元素相乘:
(8)(Πk=1p1k)mp1=Πk=1p1k .
引理 1 Zp 是个域,域是个无零因子环,其满足消去律(链接),于是乘积 Πk=1p1k0(由于每个 k¯0,如果该式不成立,意味着零因子的存在,而这是不可能的)可消去,得到
(9)mp1=1 .
翻译成同余的语言,即得式 6

   证毕!


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