素域

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 1 剩余类环,整环,域

1. 素域

引理 1 

   剩余类环 $\mathbb Z_p$ 是个域(定义 2 ),当且仅当 $p$ 是素数。

   当 $p$ 为素数的时候,我们把 $\mathbb Z_p$ 称为素域(或者质域),记做 $\mathbb F_p$。

   证明: 若 $p$ 不是素数,则由素数定义,存在整数 $1< r,s< p$, 使得 $rs=p$,于是 $\overline r\overline s=\overline p=\overline 0$(见同余性质 2),这就是说 $\mathbb Z_p$ 中有零因子(定义 1 )$\overline r,\overline s$。由于域不可能有零因子,所以 $p$ 非素数时 $\mathbb Z_p$ 不是域,由逆否命题的正确性,$\mathbb Z_p$ 是域则 $p$ 是素数。

   其次,假设 $p$ 是素数,由于 $\mathbb Z_p$ 是有单位元的交换环(定理 1 ),证明其是域只需证明其上非零元都有逆元。

   任意 $s\not\equiv 0(p)$,当 $k=1,\cdots,p-1$ 时,有 $ks\not\equiv 0(p)$。事实上,设 $s\in\overline r, r\in{1,\cdots,p-1}$,则 $\overline k\overline s=\overline k\overline r$(见同余性质 2),由于任一整数都可写成同一组两两不等的素数方幂的乘积,并考虑到 $k,r< p$, 那么:

\begin{equation} k=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}p^0, \quad r=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_n^{\beta_n}p^0,\quad ks=p_1^{\alpha_1+\beta_1}p_2^{\alpha_2+\beta_2}\cdots p_n^{\alpha_n+\beta_n}p^0~, \end{equation}
其中 $p_1,\cdots,p_n$ 是小于 $p$ 的素数,而
\begin{equation} p=p_1^0p_2^0\cdots p_n^{0}p~. \end{equation}
$p$ 整除 $kr$ 意味着 $p$ 是 $kr$ 的因数,这相当于 $kr$ 的素数分解式中包含数 $p$ 的分解式(相当于分解式中各素数因子幂次都要大于因数对应素数的幂次)。然而 $kr$ 的分解式中 $p$ 的幂次为 0,这意味着 $p$ 不是 $kr$ 的因数,即 $ks\not\equiv 0(p)$。

   考查元素

\begin{equation} \overline s,\overline{2s},\cdots,\overline{(p-1)s}~, \end{equation}
其中 $\overline s\not=\overline 0$ 由上面所述,它们都不为 0。容易证得其中任意两元素都不相等,否则 $\overline{ks}=\overline{ls},\;k< l$,则 $\overline(l-k)=\overline 0$,这是不可能的。于是除了顺序之外,序列(式 3 )和序列
\begin{equation} \overline 1,\overline 2,\cdots,\overline{p-1}~ \end{equation}
重合。注意元素个数相同意味着集合间存在双射,对于这里,映射
\begin{equation} f:\overline{ns}\mapsto \overline n,\quad n\in\{1,\cdots,p-1\}~ \end{equation}
构成这样的双射,于是可以找到整数 $1\leq s'\leq p-1$,使得 $\overline{ss'}=\overline 1$,$\overline{s's}$ 由 $f^{-1}(\overline 1)$ 给出,即 $\overline{s'}$ 是 $\overline s$ 的逆元。于是 $\mathbb Z_p$ 是个域。

   证毕!

2. 应用:费马小定理的证明

预备知识 2 费马小定理与欧拉定理

   费马小定理是法国律师费马于 1636 年发现的,其由欧拉在 1736 年出版的名为 “一些与素数有关的定理的证明” 的论文集中第一次给出证明。其描述如下

定理 1 费马小定理

   若 $p$ 是素数,$m$ 是一个不能被 $p$ 整除的整数,则有同余式(定义 1 )

\begin{equation} m^{p-1}\equiv 1(p)~. \end{equation}

   翻译成自然语言,就是说若整数 $m$ 不能被素数 $p$ 整除,则 $p$ 除 $m^{p-1}$ 余数为 1。

   值得注意的是,费马小定理是更一般的欧拉定理(链接)的特殊情形。

   证明:

   由子节 1 中的式 3 式 4 集合的相等性知

\begin{equation} \{\overline m,\overline{2m},\cdots,\overline{(p-1)m}\}=\{\overline 1,\overline 2,\cdots,\overline{p-1}\}~. \end{equation}
两边全体元素相乘:
\begin{equation} \left(\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k \right) \overline{m}^{p-1}=\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k~. \end{equation}
引理 1 ,$\mathbb Z_p$ 是个域,域是个无零因子环,其满足消去律(链接),于是乘积 $\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k\neq\overline0$(由于每个 $\bar k\neq0$,如果该式不成立,意味着零因子的存在,而这是不可能的)可消去,得到
\begin{equation} \overline m^{p-1}=\overline 1~. \end{equation}
翻译成同余的语言,即得式 6

   证毕!


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