二阶常系数非齐次微分方程

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预备知识　二阶常系数齐次微分方程

　　在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 $f (x)$ ，就得到了二阶常系数非齐次微分方程

\begin{matrix} (1) & y^{″} + b y^{'} + c y = f (x) . \end{matrix}

这就是二阶常系数非齐次微分方程。其解为

\begin{matrix} (2) & y (x) = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} d x + y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} d x, \end{matrix}

其中

W

可以写成二阶行列式

\begin{matrix} (3) & W = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{matrix} | = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2}, \end{matrix}

其中

y_{1}, y_{2}, W, f

都是

x

的函数，后面的括号和自变量被省略。

y_{1} (x)

和

y_{2} (x)

是对应齐次方程

\begin{matrix} (4) & y^{″} + b y^{'} + c y = 0 \end{matrix}

的两个线性无关的解。

应用

　　简谐振子受迫运动，轨道方程比耐公式。

1. 推导

　　下面介绍的方法叫常数变易法，其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解

　　设通解的形式为

\begin{matrix} (5) & y = v_{1} y_{1} + v_{2} y_{2}, \end{matrix}

其中，

v_{i}

也是关于

x

的函数。对该式两边求导，得

\begin{matrix} (6) & y^{'} = v_{1}^{'} y_{1} + v_{2}^{'} y_{2} + v_{1} y_{1}^{'} + v_{2} y_{2}^{'} . \end{matrix}

为了接下来计算方便，我们规定

v_{1}

，

v_{2}

满足关系¹

\begin{matrix} (7) & v_{1}^{'} y_{1} + v_{2}^{'} y_{2} = 0 . \end{matrix}

把式 7 代入式 6 ，得到

\begin{matrix} (8) & y^{'} = v_{1} y_{1}^{'} + v_{2} y_{2}^{'} . \end{matrix}

继续对求导，得到

\begin{matrix} (9) & y^{″} = v_{1}^{'} y_{1}^{'} + v_{2}^{'} y_{2}^{'} + v_{1} y_{1}^{″} + v_{2} y_{2}^{″} . \end{matrix}

把式 5 式 8 式 9 代回原方程式 1 得

\begin{matrix} (10) & (v_{1}^{'} y_{1}^{'} + v_{2}^{'} y_{2}^{'} + v_{1} y_{1}^{″} + v_{2} y_{2}^{″}) + b (v_{1} y_{1}^{'} + v_{2} y_{2}^{'}) + c (v_{1} y_{1} + v_{2} y_{2}) = f, \end{matrix}

化简，得

\begin{matrix} (11) & (v_{1}^{'} y_{1}^{'} + v_{2}^{'} y_{2}^{'}) + v_{1} (y_{1}^{″} + b y_{1}^{'} + c y_{1}) + v_{2} (y_{2}^{″} + b y_{2}^{'} + c y_{2}) = f . \end{matrix}

由于

y_{1}

和

y_{2}

都是式 4 的解，式（9）化为

\begin{matrix} (12) & v_{1}^{'} y_{1}^{'} + v_{2}^{'} y_{2}^{'} = f . \end{matrix}

总结一下，刚刚的推导说明，和在（5）的假设条件下，只要满足（10）即可满足（1）式。联立（5）和（10）式，得到关于

v_{1}^{'}

和

v_{2}^{'}

的方程组

\begin{matrix} (13) & {\begin{cases} y_{1} v_{1}^{'} + y_{2} v_{2}^{'} = 0 \\ y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} = f, \end{cases} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (14) & {\begin{cases} v_{1}^{'} = - y_{2} f / W \\ v_{2}^{'} = y_{1} f / W, \end{cases} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (15) & W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'} = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{matrix} | . \end{matrix}

对（13）的两条式子积分，即可得到

\begin{matrix} (16) & v_{1} = - \int \frac{y_{2} f}{W} d x + C_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & v_{2} = \int \frac{y_{1} f}{W} d x + C_{2} . \end{matrix}

式 16 式 17 代入式 5 ，得方程式 1 的解为

\begin{matrix} (18) & y (x) = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} d x + y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} d x . \end{matrix}

由于上式满足线性微分方程解的结构，所这已经是通解了。但是必须注意，根据常数变易法，我们只能在没有零点的区间内找到方程式 1 的通解。

1. ^ 这么规定会不会丢失一部分解呢？或许会，但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ ，根据线性微分方程解的结构（见同济大学的《高等数学》），只需要找到式 1 的任意一个解，就可以找到它的通解。

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