包络和奇解

             

贡献者: JierPeter

预备知识 包络线,一阶隐式常微分方程

1. 包络

定义 1 包络

   在 $x-y$ 平面上,定义一族曲线 $\{\Phi_c\}$,其中 $c$ 是一个连续参数.每条曲线 $\Phi_c$ 的表达式为 $f(x, y, c)=0$.

   如果存在一条曲线 $\Phi$,它本身不是任何一条 $\Phi_c$,但是在 $\Phi$ 的每一点处都有一条 $\Phi_c$ 和它相切,那么我们就称 $\Phi$ 是曲线族 $\{\Phi_c\}$ 的包络(envolope)

例 1 包络的例子

   考虑曲线族 $\{\Phi_c\}$,其中 $\Phi_c$ 的表达式为

\begin{equation} -\frac{1}{5}x^2+cx+5c^2-y=0 \end{equation}

   令曲线 $\Phi$ 的表达式为

\begin{equation} -\frac{1}{4}x^2-y=0 \end{equation}

   则容易验证,$\Phi$ 是 $\{\Phi_c\}$ 的包络.

   这个例子正是一阶隐式常微分方程中的式 14 式 15

   关于包络的详细讨论请参见预备知识包络线

2. 奇解

定义 2 微分方程的奇解

   如果微分方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=f(x, y)$ 有一个解 $F(x, y)=0$,在这个解的每一个点上都至少还有另外一个不同的解,那么称 $F(x, y)$ 是该方程的奇解(singular solution)

   由定义可知,奇解对应的曲线,就是一族解的包络线.这是因为奇解的每个点上都有的那个不同的解,一定和奇解相切,因为它们都满足同一个微分方程.同时容易看到,奇解是处处不满足解的唯一性定理的.

   为了求微分方程的奇解,我们可以先求出其通解,把通解视为一族曲线,求出它们的包络线,则该包络线就是一个奇解.当然,如果通解曲线族没有包络线,这样的奇解就不存在.求包络线的方式参见预备知识包络线

例 2 

   求方程

\begin{equation} (\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} })^2+y^2-1=0 \end{equation}
的奇解.

   将式 3 化为

\begin{equation} \frac{1}{\pm\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   积分后解得

\begin{equation} y=\pm \sin\left(x+c\right) \end{equation}

   令 $F(x, y, c)=\pm \sin\left(x+c\right) -y$,则 $F_c(x, y, c)=\pm \cos\left(x+c\right) $ 包络线的判别方程为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \pm \sin\left(x+c\right) -y=0\\ \pm \cos\left(x+c\right) =0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   联立式 6 中两等式,得

\begin{equation} y=\pm 1 \end{equation}

   则式 7 就是曲线族式 5 的包络线.

   将式 7 代回式 3 ,发现它也是其解.这就是一个奇解.

   另一种判别方式如下所述:对于微分方程 $F(x, y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$,写出方程组

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} F(x, y, c)=0\\ F_c(x, y, c)=0 \end{aligned}\right. \end{equation}
则从式 8 中消去 $c$ 所得的曲线 $M(x, y)=0$ 就有可能是该微分方程的奇解.至于它是不是奇解,还需要代回原方程进行验证.
未完成:这个判别式是来自于一个存在与唯一性定理的,原理是违反唯一性定理要求从而存在奇解.需要有相关定理的词条.

例 3 

   方程

\begin{equation} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+2x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }-y=0 \end{equation}
有奇解吗?

   如果我们解方程的话,得到其参数形式的通解1

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \begin{aligned} v^2x+\frac{2}{3}v^3&=C\\ v^2+2xv&=y \end{aligned} \end{aligned}\right. \end{equation}
很难把它表示成显式的解,从而不好求包络线.

   但是,我们可以用式 8 ,将 $F(x, y, c)=c^2+2xc-y$ 代进去即可得到满足判别式的曲线:

\begin{equation} y=-x^2 \end{equation}

   把式 11 代回式 9 验证,发现并不是一个解,从而不是奇解.而奇解必须满足判别式,因此该方程没有奇解.


1. ^例 1


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利