亥姆霍兹分解 2

贡献者： addis; DTSIo

　　 在矢量分析中，三维空间中的亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition） 可在给定边界条件的情况下，将一个矢量场唯一地分解为无旋场和无散场的和。它在流体力学和电磁学中皆有应用。

1. 全空间的亥姆霍兹分解（傅里叶形式）

　　 设 $F(x)$ 是三维空间 ${\mathbb{R}}^3$ 上的光滑矢量场，满足 $${\int }_{{\mathbb{R}}^3}|F(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }.$$ 则它的傅里叶变换 $\hat{F}$ 是良好定义的。由此可定义一个标量函数 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{i\xi \cdot \hat{F}(\xi )}{|\xi {|}^2}{e}^{i\xi \cdot x}d\xi \\ & =\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{{\mathrm{\nabla }}_y\cdot F(y)}{|x-y|}dy\\ & =-\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{(x-y)\cdot F(y)}{|x-y|}dy.\end{array}$$ 和一个矢量场 $$\begin{array}{rl}A(x)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{i\xi \times \hat{F}(\xi )}{|\xi {|}^2}{e}^{i\xi \cdot x}d\xi \\ & =\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{{\mathrm{\nabla }}_y\times F(y)}{|x-y|}dy\\ & =-\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{(x-y)\times F(y)}{|x-y|}dy.\end{array}$$ 则有 $$F=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }+\mathrm{\nabla }\times A.$$ 这就是矢量场 $F$ 的亥姆霍兹分解。

2. 区域的亥姆霍兹分解（强形式）

3. 区域的亥姆霍兹分解（弱形式）