亥姆霍兹分解 2

             

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预备知识 矢量分析总结

   在矢量分析中,三维空间中的亥姆霍兹分解(Helmholtz decomposition) 可在给定边界条件的情况下,将一个矢量场唯一地分解为无旋场和无散场的和.它在流体力学和电磁学中皆有应用.

1. 全空间的亥姆霍兹分解(傅里叶形式)

   设 $F(x)$ 是三维空间 $\mathbb{R}^3$ 上的光滑矢量场,满足 $$ \int_{\mathbb{R}^3}|F(x)|^2dx<\infty. $$ 则它的傅里叶变换 $\hat F$ 是良好定义的.由此可定义一个标量函数 $$ \begin{aligned} \Phi(x) &=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{i\xi\cdot\hat F(\xi)}{|\xi|^2}e^{i\xi\cdot x}d\xi\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot F(y)}{|x-y|}dy\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{(x-y)\cdot F(y)}{|x-y|}dy. \end{aligned} $$ 和一个矢量场 $$ \begin{aligned} A(x) &=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{i\xi\times\hat F(\xi)}{|\xi|^2}e^{i\xi\cdot x}d\xi\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\times F(y)}{|x-y|}dy\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{(x-y)\times F(y)}{|x-y|}dy. \end{aligned} $$ 则有 $$ F=-\nabla\Phi+\nabla\times A. $$ 这就是矢量场 $F$ 的亥姆霍兹分解.

2. 区域的亥姆霍兹分解(强形式)

3. 区域的亥姆霍兹分解(弱形式)

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