一阶隐式常微分方程

             

贡献者: JierPeter

预备知识 一阶常微分方程解法:常数变易法,一阶常微分方程解法:恰当方程

   我们之前讨论的常微分方程都是显式写出导函数表达式的,即 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=F(x, y)$ 的形式.很多时候,一阶微分方程常被写为 $F(x, y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的形式,如果这样的方程可以被改写为显式的形式,那么我们就可以尝试用预备知识中介绍过的方法来解方程;但如果难以改写或者解出来的形式极为复杂,那我们也可以尝试换元的方法.

   本节介绍四种一阶隐式方程和它们的换元方法.

1. 第一种

   第一个要讨论的是形如

\begin{equation} y=f(t, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} }) \end{equation}
的方程.这里自变量用的是通常代表时间的 $t$,为的是提示该怎么换元——如果 $y$ 是位移,那 $ \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{t} $ 就是速度,这就是我们要的变换.

   令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} }$,则原方程变为 $y=f(t, v)$.在方程两边同时对 $t$ 求导,得到

\begin{equation} v=\frac{\partial f(t, v)}{\partial t}+\frac{\partial f(t, v)}{\partial v}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{t} } \end{equation}

   式 2 就是一个关于 $t, v$ 的一阶微分方程,用我们之前讨论过的方法就可以解出,再将解出的 $v$ 代回式 1 即可得到原方程的通解.

例 1 

  

   考虑方程

\begin{equation} y= \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+2x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,代入式 3 ,并两端对 $x$ 求导,则式 3 化为
\begin{equation} v=2v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2v+2x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}
整理一下,得
\begin{equation} v \,\mathrm{d}{x} +(2v+2x) \,\mathrm{d}{v} =0 \end{equation}
这不是一个恰当方程1,不过我们可以给它添加一个积分因子 $f(v)= \mathrm{e} ^{\int 1/v \,\mathrm{d}{v} }=v$,把它变成一个恰当方程
\begin{equation} v^2 \,\mathrm{d}{x} +(2v^2+2xv) \,\mathrm{d}{v} =0 \end{equation}

   令 $u(x, v)=v^2x+\frac{2}{3}v^3$,那么 $ \,\mathrm{d}{u} =v^2 \,\mathrm{d}{x} +(2v^2+2xv) \,\mathrm{d}{v} $.

   因此,式 3 的通解为 $u=C$,即

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \begin{aligned} v^2x+\frac{2}{3}v^3&=C\\ v^2+2xv&=y \end{aligned} \end{aligned}\right. \end{equation}

例 2 

   考虑方程

\begin{equation} 5 \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+5x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+x^2=y \end{equation}
令 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $,两边对 $x$ 求导,则原方程化为
\begin{equation} 10v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+5v+5x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2x=v \end{equation}
整理得
\begin{equation} 10v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+5x\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+4v+2x=0 \end{equation}

   式 10 还可以进一步整理为

\begin{equation} (\frac{5}{2}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+1)(4v+2x)=0 \end{equation}

   由 $\frac{5}{2}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{x} }+1=0$ 得通解

\begin{equation} v=-\frac{2}{5}x+C \end{equation}
代入 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 和式 8 就得到原方程的第一个通解
\begin{equation} y=-\frac{1}{5}x^2+C_1x+5C_1^2 \end{equation}
其中 $C_1$ 是积分常数.

   但这个方程还有一个特解:取 $4v+2x=0$,再代入 $v= \,\mathrm{d}{y} / \,\mathrm{d}{x} $ 和式 8 ,得到

\begin{equation} y=-\frac{1}{4}x^2 \end{equation}

   因此,式 13 式 14 都是式 8 的通解.

   例 2 较为复杂,我们在这里做一点补充.

   整个例 2 的求解思路,是首先作变量代换,去解式 9 ,其结果就是式 12 和 $4p+2=0$.但这是式 9 的解,由于求导会把一些常数项消掉,式 9 的解会比变量代换前的式 8 多一些,我们还是得代回式 8 看看该怎么约束.

   实际上在解答过程中,式 13 是先写为 $y=-\frac{1}{5}x^2+C_1x+C_2$ 的,有两个待定常数.这是式 9 的解.我们把它代回式 8 ,计算后发现 $C_2=5C_1^2$,因此最终写成了式 13 的形式.

   如果把式 13 式 14 的图像画出来,我们会发现,式 14 内切于每一条式 13 式 14 被称为一个奇解,其图像也被称为包络线包络和奇解

  

未完成:引用包络线、奇解等相关词条.
未完成:添加展示包络线的 gif.

2. 第二种

   第二个是形如

\begin{equation} x=f(y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }) \end{equation}
的方程.

   同样令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,代入式 15 并两边同时对 $y$ 求导,得到

\begin{equation} \frac{1}{v}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{y} } \end{equation}

   整理一下得

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial v} \,\mathrm{d}{v} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{1}{v} \right) \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   我们就可以尝试用之前的办法来解.

例 3 

   考虑方程

\begin{equation} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+2y=0 \end{equation}

   令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,代入式 18 ,整理得

\begin{equation} x=\frac{-v^2-2y}{v}=-v-\frac{2y}{v} \end{equation}

   两边关于 $y$ 求导,整理得(或者直接把式 19 代入式 17 得)

\begin{equation} \left(-1+\frac{2y}{v^2} \right) \,\mathrm{d}{v} + \left(-\frac{3}{v} \right) \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   按照在一阶常微分方程解法:恰当方程中讨论的方法,式 20 有一个积分因子 $h(v)=v^{1/3}$,从而将式 20 化为

\begin{equation} \left(-v^{1/3}+\frac{2y}{v^{5/3}} \right) \,\mathrm{d}{v} + \left(-\frac{3}{v^{2/3}} \right) \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(-\frac{3}{4}v^{4/3}-\frac{3y}{v^{2/3}} \right) =0 \end{equation}
也即2
\begin{equation} -\frac{1}{4}v^{4/3}-\frac{y}{v^{2/3}}=C \end{equation}

   整理得

\begin{equation} y=-\frac{1}{4}v^2-Cv^{2/3} \end{equation}

   利用 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,再代回式 18 ,得到

\begin{equation} x=-\frac{1}{2}v+Kv^{-1/3} \end{equation}
其中 $K=2C$ 是常数.

   式 24 式 25 就是以 $v$ 为参数的式 18 的通解.

3. 第三种

   形如 $F(x, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的方程.

   同样令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,我们发现 $F(x, v)=0$ 是 $Oxv$ 平面上的一条曲线.用参数 $t$ 来表示这条曲线:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x=\varphi(t)\\ v=\phi(t) \end{aligned}\right. \end{equation}

   那么 $x$ 相当于已经解出来了,接下来只需要考虑 $y$ 怎么用参数 $t$ 表示.

   由于 $v \,\mathrm{d}{x} = \,\mathrm{d}{y} $ 恒成立,代入式 26 后可得

\begin{equation} \phi(t)\varphi'(t) \,\mathrm{d}{t} = \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
\begin{equation} y=\int \phi(t)\varphi'(t) \,\mathrm{d}{t} +C \end{equation}

   这样,式 26 式 28 结合,就能得到参数形式的解.

例 4 

   考虑方程

\begin{equation} x^2- \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^3+x\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=0 \end{equation}
令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 得
\begin{equation} x^2-v^3+xv=0 \end{equation}
设 $v=tx$,那么式 30 化为
\begin{equation} -t^3x^3+(1-t)x^2=0 \end{equation}
\begin{equation} x^2 \left(t^3x+t-1 \right) =0 \end{equation}

   由式 30 可知 $x$ 不恒为 $0$,因此式 32 可以用参数 $t$ 解出 $x$:

\begin{equation} x=\frac{1-t}{t^3} \end{equation}

   又因为

\begin{equation} v=tx=\frac{1-t}{t^2} \end{equation}
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{2t-3}{t^4} \end{equation}

   故

\begin{equation} y=\int \frac{1-t}{t^2}\cdot\frac{2t-3}{t^4} \,\mathrm{d}{t} =\frac{40t^2-75t+36}{60t^5}+C \end{equation}

   这样,式 33 式 36 就构成一组参数解.

4. 第四种

   形如 $F(y, \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} })=0$ 的方程.

   解法类似第三种.令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,将 $F(y, v)=0$ 写成参数曲线的形式:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} y=\varphi(t)\\ v=\phi(t) \end{aligned}\right. \end{equation}

   那么由 $ \,\mathrm{d}{x} =\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{v}$,可知

\begin{equation} x=\int \frac{\varphi'(t)}{\phi(t)} \,\mathrm{d}{t} +C \end{equation}

   这样,式 37 式 38 就构成一组参数解.

例 5 

   考虑方程

\begin{equation} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2-y\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+y^3=0 \end{equation}

   令 $v=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$,式 39 化为

\begin{equation} v^2-vy+y^3=0 \end{equation}

   令 $y=tv$,那么式 40 化为

\begin{equation} t^3v^3+(1-t)v^2=0 \end{equation}

   由式 40 ,$v$ 不恒为 $0$,因此式 41 等价于

\begin{equation} v=\frac{t-1}{t^3} \end{equation}

   于是

\begin{equation} y=tv=\frac{t-1}{t^2} \end{equation}

   由于 $ \,\mathrm{d}{x} =\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{v}$,故

\begin{equation} \begin{aligned} x &=\int \frac{1}{v} \,\mathrm{d}{v} +C\\ &=\int \frac{t^3}{t-1}\cdot\frac{2-t}{t^3} \,\mathrm{d}{t} +C\\ &=\ln \left\lvert t-1 \right\rvert -t+C \end{aligned} \end{equation}

   式 43 式 44 就构成一组参数解.


1. ^ $\frac{\frac{\partial (2v+2x)}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial v}}{v}=\frac{1}{v}$ 是 $v$ 的函数,因此我们可以为它找到一个积分因子 $f(v)$.
2. ^ 注意这一步跳步了,约掉了一个 $3$.


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