包络线

             

预备知识 偏导数

   曲线族的包络是这样一条曲线,在这曲线上的每一点,都有曲线族中一条曲线与它相切.即是说,在这曲线上的每一点,这曲线与曲线族中通过这点的曲线有公切线.称这条曲线为曲线族的包络线

   若曲线族为

\begin{equation} F(x,y,C)=0 \end{equation}
其中 $C$ 为任意常数(参数).则它的包络线上的任一点 $M(x,y)$ 必须同时满足方程组
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &F(x,y,C)=0\\ &F_C(x,y,C)=0 \end{aligned}\right. \end{equation}

1. 证明

   首先确定曲线族式 1 的切线斜率,对等式式 1 求微商,并注意 $y$ 是 $x$ 的函数,$c$ 是任意常数,就得到

\begin{equation} F_x+F_y \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =0 \end{equation}
由此
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =-\frac{F_x}{F_y} \end{equation}

   设包络线方程为

\begin{equation} R(x,y)=0 \end{equation}
由于包络线上任一点 $M(x,y)$ 同时在曲线族中的一曲线上,所以包络线方程式 5 可写为
\begin{equation} R(x,y)=F(x,y,C) \end{equation}
由此可确定 $C$ 是 $x$ 与 $y$ 的什么函数.于是我们可以找到形如式 1 的曲线族的包络线方程,只不过这里 $C$ 不是常数,而是 $x$ 与 $y$ 的未知函数.式 6 求微分,注意 $c$ 已经不是常数,得到
\begin{equation} F_x \,\mathrm{d}{x} +F_y \,\mathrm{d}{y} +F_C \,\mathrm{d}{C} =0 \end{equation}

   由条件,包络线切线的斜率 $ \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} $,应当与曲线族式 1 中过这切点的曲线的切线斜率相同,即式 7 给出的 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $ 应当与式 4 的表达式相同.比较可知

\begin{equation} F_C \,\mathrm{d}{C} =0 \end{equation}

   $ \,\mathrm{d}{C} $ 给出 $C$ 是常数,得到的是曲线族中的曲线,而不是包络,为得到包络 ,应有

\begin{equation} F_C=0 \end{equation}
由这方程确定出 $C$ 是 $(x,y)$ 的一个函数.把这个用 $x$ 和 $y$ 表达的 $C$ 代入到式 1 中,就得到包络的方程式 5 ,就是说,曲线族的包络线可由两个方程组式 2 确定.

   沿着包络线移动时,它与族中各条不同曲线相切,而每条曲线是由常数 $C$ 的一个值所确定的,如此就建立了,求包络线的方程时,也用式 1 的形状,而把 $C$ 算作变量的概念.

例 1 曲线的法线族的包络

   给定一曲线 $L$

\begin{equation} y=f(x) \end{equation}
这曲线的法线族就有方程
\begin{equation} Y-y=-\frac{1}{y'} \left(X-x \right) \quad or\quad \left(X-x \right) +y' \left(Y-y \right) =0 \end{equation}
这里,$(X,Y)$ 是法线的变动坐标,$(x,y)$ 是曲线 $L$ 上的点,并且 $y$ 是 $x$ 的函数.如此,曲线上的动点的横坐标 $x$ 在法线族的方程式 11 中就有参变量的作用.试求该法线族(以曲线 $L$ 上点横坐标 $x$ 为参变量)的包络线.

   由式 2 ,得到法线族包络线满足的方程组

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\quad \left(X-x \right) +y' \left(Y-y \right) =0\\ &-1+y''(Y-y)-y'^2=0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   由这两个方程消去参变量 $x$,就得到一个联系 $Y$ 与 $X$ 的方程,这便是法线族的包络的方程.或者,由式 12 解出 $X$ 与 $Y$,通过参变量 $x$ 来表达,便得到包络线的参数方程:

\begin{equation} X=x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''}\qquad Y=y+\frac{1+y'^2}{y''} \end{equation}

   若已知曲线 $L$ 的参数方程,则由

\begin{equation} y'= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \qquad y''= \frac{\mathrm{d}{ \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} }}{\mathrm{d}{x}} =\frac{ \,\mathrm{d}{^2} y \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{^2} x \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x^3} } \end{equation}
式 14 代入式 13 ,便得包络线的参数方程
\begin{equation} X=x-\frac{ \,\mathrm{d}{y} ( \,\mathrm{d}{x} ^2+ \,\mathrm{d}{y} ^2)}{ \,\mathrm{d}{^2y \,\mathrm{d}{x} } - \,\mathrm{d}{^2x} \,\mathrm{d}{y} } \qquad Y=y+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ( \,\mathrm{d}{x} ^2+ \,\mathrm{d}{y} ^2)}{ \,\mathrm{d}{^2y} \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{^2x} \,\mathrm{d}{y} } \end{equation}

   曲线的法线族的包络线也称为曲线的渐曲线,而曲线也称为它的渐曲线的渐伸线

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