贡献者： 零穹; addis
曲线族的包络是这样一条曲线，在这曲线上的每一点，都有曲线族中一条曲线与它相切。即是说，在这曲线上的每一点，这曲线与曲线族中通过这点的曲线有公切线。称这条曲线为曲线族的包络线。
若曲线族为
\begin{equation}
F(x,y,C)=0~,
\end{equation}
其中 $C$ 为任意常数（参数）。则它的包络线上的任一点 $M(x,y)$ 必须同时满足方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&F(x,y,C)=0\\
&F'_C(x,y,C)=0~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
1. 证明
首先确定曲线族式 1 的切线斜率，对等式式 1 求微商，并注意 $y$ 是 $x$ 的函数，$c$ 是任意常数，就得到
\begin{equation}
F'_x+F'_y \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =0~,
\end{equation}
由此
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =-\frac{F'_x}{F'_y}~.
\end{equation}
设包络线方程为
\begin{equation}
R(x,y)=0~,
\end{equation}
由于包络线上任一点 $M(x,y)$ 同时在曲线族中的一曲线上，所以包络线方程
式 5 可写为
\begin{equation}
R(x,y)=F(x,y,C)~.
\end{equation}
由此可确定 $C$ 是 $x$ 与 $y$ 的什么函数。于是我们可以找到形如
式 1 的曲线族的包络线方程，只不过这里 $C$ 不是常数，而是 $x$ 与 $y$ 的未知函数。
式 6 求微分，注意 $c$ 已经不是常数，得到
\begin{equation}
F'_x \,\mathrm{d}{x} +F'_y \,\mathrm{d}{y} +F'_C \,\mathrm{d}{C} =0~.
\end{equation}
由条件，包络线切线的斜率 $ \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} $，应当与曲线族式 1 中过这切点的曲线的切线斜率相同，即式 7 给出的 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $ 应当与式 4 的表达式相同。比较可知
\begin{equation}
F'_C \,\mathrm{d}{C} =0~.
\end{equation}
$ \,\mathrm{d}{C} $ 给出 $C$ 是常数，得到的是曲线族中的曲线，而不是包络，为得到包络
，应有
\begin{equation}
F'_C=0~.
\end{equation}
由这方程确定出 $C$ 是 $(x,y)$ 的一个函数。把这个用 $x$ 和 $y$ 表达的 $C$ 代入到
式 1 中，就得到包络的方程
式 5 ，就是说，曲线族的包络线可由两个方程组
式 2 确定。
沿着包络线移动时，它与族中各条不同曲线相切，而每条曲线是由常数 $C$ 的一个值所确定的，如此就建立了，求包络线的方程时，也用式 1 的形状，而把 $C$ 算作变量的概念。
例 1 曲线的法线族的包络
给定一曲线 $L$
\begin{equation}
y=f(x)~,
\end{equation}
这曲线的法线族就有方程
\begin{equation}
Y-y=-\frac{1}{y'} \left(X-x \right) \quad or\quad \left(X-x \right) +y' \left(Y-y \right) =0~,
\end{equation}
这里，$(X,Y)$ 是法线的变动坐标，$(x,y)$ 是曲线 $L$ 上的点，并且 $y$ 是 $x$ 的函数。如此，曲线上的动点的横坐标 $x$ 在法线族的方程
式 11 中就有参变量的作用。试求该法线族（以曲线 $L$ 上点横坐标 $x$ 为参变量）的包络线。
由式 2 ，得到法线族包络线满足的方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\quad \left(X-x \right) +y' \left(Y-y \right) =0\\
&-1+y''(Y-y)-y'^2=0~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
由这两个方程消去参变量 $x$，就得到一个联系 $Y$ 与 $X$ 的方程，这便是法线族的包络的方程。或者，由式 12 解出 $X$ 与 $Y$，通过参变量 $x$ 来表达，便得到包络线的参数方程：
\begin{equation}
X=x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''}~,\qquad Y=y+\frac{1+y'^2}{y''}~.
\end{equation}
若已知曲线 $L$ 的参数方程，则由
\begin{equation}
y'= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ~,\qquad y''= \frac{\mathrm{d}{ \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} }}{\mathrm{d}{x}} =\frac{ \,\mathrm{d}{^2} y \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{^2} x \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x^3} }~.
\end{equation}
代入
式 13 ，便得包络线的参数方程
\begin{equation}
X=x-\frac{ \,\mathrm{d}{y} ( \,\mathrm{d}{x} ^2+ \,\mathrm{d}{y} ^2)}{ \,\mathrm{d}{^2y \,\mathrm{d}{x} } - \,\mathrm{d}{^2x} \,\mathrm{d}{y} }~,
\qquad Y=y+\frac{ \,\mathrm{d}{x} ( \,\mathrm{d}{x} ^2+ \,\mathrm{d}{y} ^2)}{ \,\mathrm{d}{^2y} \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{^2x} \,\mathrm{d}{y} }~.
\end{equation}
曲线的法线族的包络线也称为曲线的渐曲线，而曲线也称为它的渐曲线的渐伸线。
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