包络线

贡献者：零穹; addis

预备知识　偏导数

　　曲线族的包络是这样一条曲线，在这曲线上的每一点，都有曲线族中一条曲线与它相切。即是说，在这曲线上的每一点，这曲线与曲线族中通过这点的曲线有公切线。称这条曲线为曲线族的包络线。

　　若曲线族为

\begin{matrix} (1) & F (x, y, C) = 0, \end{matrix}

其中

C

为任意常数（参数）。则它的包络线上的任一点

M (x, y)

必须同时满足方程组

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} F (x, y, C) = 0 \\ F_{C}^{'} (x, y, C) = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

1. 证明

　　首先确定曲线族式 1 的切线斜率，对等式式 1 求微商，并注意 $y$ 是 $x$ 的函数， $c$ 是任意常数，就得到

\begin{matrix} (3) & F_{x}^{'} + F_{y}^{'} \frac{d y}{d x} = 0, \end{matrix}

由此

\begin{matrix} (4) & \frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}} . \end{matrix}

　　设包络线方程为

\begin{matrix} (5) & R (x, y) = 0, \end{matrix}

由于包络线上任一点

M (x, y)

同时在曲线族中的一曲线上，所以包络线方程式 5 可写为

\begin{matrix} (6) & R (x, y) = F (x, y, C) . \end{matrix}

由此可确定

C

是

x

与

y

的什么函数。于是我们可以找到形如式 1 的曲线族的包络线方程，只不过这里

C

不是常数，而是

x

与

y

的未知函数。式 6 求微分，注意

c

已经不是常数，得到

\begin{matrix} (7) & F_{x}^{'} d x + F_{y}^{'} d y + F_{C}^{'} d C = 0 . \end{matrix}

　　由条件，包络线切线的斜率 $\frac{d y}{d x}$ ，应当与曲线族式 1 中过这切点的曲线的切线斜率相同，即式 7 给出的 $d y / d x$ 应当与式 4 的表达式相同。比较可知

\begin{matrix} (8) & F_{C}^{'} d C = 0 . \end{matrix}

　　 $d C$ 给出 $C$ 是常数，得到的是曲线族中的曲线，而不是包络，为得到包络，应有

\begin{matrix} (9) & F_{C}^{'} = 0 . \end{matrix}

由这方程确定出

C

是

(x, y)

的一个函数。把这个用

x

和

y

表达的

C

代入到式 1 中，就得到包络的方程式 5 ，就是说，曲线族的包络线可由两个方程组式 2 确定。

　　沿着包络线移动时，它与族中各条不同曲线相切，而每条曲线是由常数 $C$ 的一个值所确定的，如此就建立了，求包络线的方程时，也用式 1 的形状，而把 $C$ 算作变量的概念。

例 1　曲线的法线族的包络

　　给定一曲线 $L$

\begin{matrix} (10) & y = f (x), \end{matrix}

这曲线的法线族就有方程

\begin{matrix} (11) & Y - y = - \frac{1}{y^{'}} (X - x) o r (X - x) + y^{'} (Y - y) = 0, \end{matrix}

这里，

(X, Y)

是法线的变动坐标，

(x, y)

是曲线

L

上的点，并且

y

是

x

的函数。如此，曲线上的动点的横坐标

x

在法线族的方程式 11 中就有参变量的作用。试求该法线族（以曲线

L

上点横坐标

x

为参变量）的包络线。

　　由式 2 ，得到法线族包络线满足的方程组

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} (X - x) + y^{'} (Y - y) = 0 \\ - 1 + y^{″} (Y - y) - y^{' 2} = 0, \end{aligned} \end{matrix}

　　由这两个方程消去参变量 $x$ ，就得到一个联系 $Y$ 与 $X$ 的方程，这便是法线族的包络的方程。或者，由式 12 解出 $X$ 与 $Y$ ，通过参变量 $x$ 来表达，便得到包络线的参数方程：

\begin{matrix} (13) & X = x - \frac{y^{'} (1 + y^{' 2})}{y^{″}}, Y = y + \frac{1 + y^{' 2}}{y^{″}} . \end{matrix}

　　若已知曲线 $L$ 的参数方程，则由

\begin{matrix} (14) & y^{'} = \frac{d y}{d x}, y^{″} = \frac{d \frac{d y}{d x}}{d x} = \frac{d^{2} y d x - d^{2} x d y}{d x^{3}} . \end{matrix}

式 14 代入式 13 ，便得包络线的参数方程

\begin{matrix} (15) & X = x - \frac{d y (d x^{2} + d y^{2})}{d^{2} y d x - d^{2} x d y}, Y = y + \frac{d x (d x^{2} + d y^{2})}{d^{2} y d x - d^{2} x d y} . \end{matrix}

　　曲线的法线族的包络线也称为曲线的渐曲线，而曲线也称为它的渐曲线的渐伸线。

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包络线

1. 证明

例 1 曲线的法线族的包络

例 1　曲线的法线族的包络