一阶隐式常微分方程的存在唯一性定理

贡献者： int256

1. 一阶隐式常微分方程的存在唯一性定理

　　 对于一阶隐式常微分方程 $F(x,y,y^{\prime })=0$，函数 $F$ 满足：

1. 在 $(x_0,y_0,y_0^{\prime })$ 的某个邻域内连续，且关于 $y$、$y^{\prime }$ 有连续的一阶偏导数；
2. $F(x_0,y_0,y_0^{\prime })=0$；
3. $F_{y^{\prime }}^{\prime }(x_0,y_0,y_0^{\prime })\ne 0$。

　　 那么，$F(x,y,y^{\prime })=0$ 存在唯一的满足 $y(x_0)=y_0,y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }$ 的、定义在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上的函数，其中 $h$ 为一个充分小的正数。

2. 证明

　　 由隐函数定理，这方程为一确定了一个定义在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域 $S$ 上的隐函数 $y^{\prime }=f(x,y)$，满足 $$F(x,y,f(x,y))\equiv 0,y_0^{\prime }=f(x_0,y_0),$$ 同时，$f(x,y)$ 在 $S$ 内连续，$f_y^{\prime }$ 在 $S$ 内连续。其中 $$f_y^{\prime }(x,y)=-\frac{F_y^{\prime }(x,y,y^{\prime })}{F_{y^{\prime }}^{\prime }(x,y,y^{\prime })}.$$

　　 接下来引入一个皮卡定理的推论：

　　 由这个推论，方程 $y^{\prime }=f(x,y)$ 存在唯一的满足 $y(x_0)=y_0$ 的解： $$y=g(x),x\in [x_0-h,x_0+h].$$ 即 $g^{\prime }(x)=f(x,g(x)),g(x_0)=y_0$。 将其带入 $F$ 有： $$F(x,g(x),g^{\prime }(x))\equiv F(x,g(x),f(x,g(x)))\equiv 0,$$ 而 $g^{\prime }(x_0)=f(x_0,g(x_0))=f(x_0,y_0)=y_0^{\prime }$，故 $$y=g(x),x\in [x_0-h,x_0+h],$$ 为唯一解，即证。