判别曲线法求一阶隐式常微分方程的奇解

贡献者： int256

　　 一般的一阶隐式常微分方程，往往可能会出现对于一阶隐式常微分方程的存在唯一性定理的判定中，条件 $(3)$ 的不满足。也就是可能出现 $F(x,y,y^{\prime }),F_y^{\prime }(x,y,y^{\prime }),F_{y^{\prime }}^{\prime }(x,y,y^{\prime })$ 连续，但在某处 $F(x,y,y^{\prime })=0$ 的情况。在这一点处解的唯一性可能不成立，从而 $F(x,y,y^{\prime })=0$ 可能有奇解产生。

　　 由奇解性质可以知道，奇解就是由通解构成的曲线族的包络线，由包络线的求法引出了求一阶隐式常微分方程的奇解的以下两种求法。

1. $p$-判别曲线法

　　 $p$-判别曲线法的思路是直接求包络线，再检验包络线是否是原方程的解。

　　 显然，若原方程有奇解，则一定包含在方程组 式 2 所确定的 $p$-判别曲线中，但 $p$-判别曲线不一定是原方程的解。求解出 $p$-判别曲线后应当做以下两个检验：

• 检验某条 $p$-判别曲线是否是原方程的解；
• 检验这条曲线上的各点，是否至少有原方程的另一条积分曲线相切。

　　 若两项都成立，那么这条 $p$-判别曲线就是原方程的奇解。两项中任意一项不成立都将使得这条 $p$-判别曲线不是原方程的奇解。

2. $c$-判别曲线法

　　 $c$-判别曲线法的思路是先求出通解的曲线族，再求这曲线族的包络。

　　 下面给出曲线族 $V(x,y,c)=0$ 的包络必然是 $\mathrm{\Gamma }$ 中的一条的简单证明： 可以将 $\mathrm{\Gamma }$ 上的点 $(x,y)$ 视为单参数曲线族 $V(x,y,c)=0$ 中某条以 $c$ 为参数的曲线上的点，从而 $\mathrm{\Gamma }$ 为一条以 $c$ 为参数的曲线，即其具有下列参数形式：

　　 证明：对于 $\mathrm{\Gamma }$ 上的点 $(x(c),y(c))$，则根据定义满足