爱因斯坦场方程

             

预备知识 引力的弱场近似,尘埃云的能动张量

1. 爱因斯坦张量

   我们直接介绍一个有用的性质,在稍后猜测爱因斯坦场方程的时候我们自然会讨论到它的用处.

定义 1 Ricci 标量曲率

   给定流形上的 Ricci 曲率场 $R_{ij}$,则有光滑函数 $R=g^{ij}R_{ij}$,称之为流形上的标量曲率(scalar curvature)

   考虑黎曼曲率张量的第二 Bianchi 恒等式式 18

\begin{equation} \nabla_\lambda R_{\mu\nu\rho\sigma}+\nabla_\rho R_{\mu\nu\sigma\lambda}+\nabla_\sigma R_{\mu\nu\lambda\rho}=0 \end{equation}

   等式两端同时乘以 $g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}$ 后,考虑到联络对度量的相容性1,得到2

\begin{equation} \begin{aligned} 0&=g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}(\nabla_\lambda R_{\mu\nu\rho\sigma}+\nabla_\rho R_{\mu\nu\sigma\lambda}+\nabla_\sigma R_{\mu\nu\lambda\rho})\\ &=\nabla^\mu R_{\mu\rho}-\nabla_\rho R+\nabla^{\nu}R_{\nu\rho} \end{aligned} \end{equation}

   也就是说

\begin{equation} \nabla^\mu R_{\rho\mu}=\frac{1}{2}\nabla_\rho R \end{equation}

   这么一来,如果我们定义一个张量

\begin{equation} G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} \end{equation}
那么式 3 就可以写为
\begin{equation} \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0 \end{equation}

   这个张量 $G_{\mu\nu}$ 就被称为爱因斯坦张量(Einstein tensor),由于度量和 Ricci 张量的对称性,它也是对称的.式 5 就是我们稍后要用到的有用性质.

2. 爱因斯坦场方程

   引力的弱场近似一节中,我们看到了作为平直时空的微小扰动,带曲率时空中的测地线确实能描述稳定、低速、弱场近似下的引力效应.我们现在希望利用这个原则,将它推广到任意情况下的时空中去.

   曲率是引力的体现,而引力是由物质产生的.牛顿引力论中描述物质的引力效应使用的是物质的质量,在牛顿理论中这是时空中的一个光滑函数.问题是,从狭义相对论中我们就知道,描述物质分布时统一的、无视坐标系选择的量,应该是四动量和能动张量.那么我们在推测场方程的时候,应该用四动量还是能动张量呢?四动量是 $(1, 0)$ 型张量,能动张量是 $(0, 2)$ 型的,前者的类型是无法和任何曲率张量匹配的.因此我们选择用能动张量来描述物质分布.

   初步的猜测是,将 Ricci 张量和能动张量匹配,得到如下场方程:

\begin{equation} R_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu} \end{equation}
其中 $R_{\mu\nu}$ 是 Ricci 张量场,$T_{\mu\nu}$ 是物质分布的能动张量场,$K$ 是常数.

   但这个式子有个问题,它不满足四动量守恒假设.四动量守恒假设体现为 $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$,而如果式 6 要满足四动量守恒,就只有 $K=0$ 一种情况,整个式子就毫无意义了.因此,我们根据式 5 做一点小小的修正,得到:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu} \end{equation}
这就是我们所猜想的,曲率依赖于物质分布的方式.

计算常数 $K$

   最后一步就是要得到这个常数 $K$.思路很简单:计算 $K$ 的目的是确定引力如何受物质影响,那么我们就从牛顿引力论中引力产生的规律入手.

   取稳定、低速、弱场近似,有牛顿引力方程:

\begin{equation} \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \end{equation}
其中 $G$ 是牛顿万有引力常数,$\rho$ 是物质质量密度在牛顿时空中的分布,是个光滑函数.

   考虑到 $h_{00}=-2\Phi$,$T_{00}=\rho$,式 8 意味着

\begin{equation} \nabla^2h_{00}=-8\pi G T_{00} \end{equation}

   如果我们能用 $h_{00}$ 计算出 $R_{00}$,那么再结合式 9 就可以确定 $K$ 了.由于曲率张量可以用 Christoffel 符号计算出来,而 Christoffel 符号可以由度量张量计算出来,因此我们按以下式 10 式 14 的思路进行.

   在稳定、低速、弱场近似下,$T_{00}=\rho$,而 $h_{00}=-2\Phi$3.度量张量为 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$,其中 $h_{\mu\nu}\ll 1$.考虑到低速近似下,流体压强很小,因此 $g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}:=T=g^{00}T_{00}=-T_{00}$.特别要注意,稳定假设:$\partial_0h_{\mu\nu}=0$.

   根据式 8 ,誊抄如下:

\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}) \end{equation}
稳定、低速、弱场近似下的 Christoffel 符号为:
\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}\eta^{kr}(\partial_ih_{jk}+\partial_jh_{ki}-\partial_kh_{ij}) \end{equation}
再代入曲率张量场中的式 13 ,誊抄如下:
\begin{equation} R_{jk}=R_{kj}=\partial_i\Gamma^i_{jk}-\partial_j\Gamma^{i}_{ik}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^i_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^i_{js} \end{equation}
由于 $h_{\mu\nu}$ 很小,我们忽略掉高阶项 $\Gamma^s_{jk}\Gamma^i_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^i_{js}$,得:
\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu\nu}=&\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}\\ =&\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}[\partial_\lambda(\partial_\mu h_{\nu \alpha}+\partial_\nu h_{\alpha\mu}-\partial_\alpha h_{\mu\nu})\\ &-\partial_\mu(\partial_\lambda h_{\nu\alpha}+\partial_\nu h_{\alpha\lambda}-\partial_\alpha h_{\lambda\nu})]\\ \end{aligned} \end{equation}

   因此

\begin{equation} \begin{aligned} R_{00}=&\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}[\partial_\lambda(\partial_0 h_{0 \alpha}+\partial_0 h_{\alpha0}-\partial_\alpha h_{00})\\ &-\partial_0(\partial_\lambda h_{0\alpha}+\partial_0 h_{\alpha\lambda}-\partial_\alpha h_{\lambda0})]\\ =&-\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}\partial_\lambda\partial_\alpha h_{00}\\ =&-\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\\ =&4\pi G\rho\\ =&4\pi GT_{00} \end{aligned} \end{equation}

   注意,这里的 $\nabla^2$ 是三维空间中的 Labpace 算子,没有时间项,因为稳定假设.

   到这里还差一步,我们得出的是 $R_{00}$ 和 $T_{00}$ 的关系,但是方程中使用的是 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$.由于 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$,所以我们可以通过两边都乘以 $g^{\mu\nu}$ 来处理,这时候就要用到 $g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=T_{00}$ 的假设了.

   $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu}$ 两边同乘以 $g^{\mu\nu}$4,得到 $R=-KT$.因此,我们有:$R_{00}+\frac{1}{2}KTg_{00}=KT_{00}$.

   整理得:

\begin{equation} R_{00}=\frac{1}{2}KT_{00} \end{equation}

   联立式 14 式 15 ,我们得到 $K=8\pi G$.

最终的场方程

   由以上讨论,计算出了 $K$ 以后,我们终于可以把爱因斯坦场方程写下来了:

\begin{equation} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu} \end{equation}


1. ^ 即 $\nabla_ag_{ij}=0$.
2. ^ 注意负号的来源:$g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}R_{\mu\nu\sigma\lambda}=-g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}R_{\nu\mu\sigma\lambda}=-g^{\mu\lambda}R_{\mu\lambda}=R$
3. ^引力的弱场近似最后的讨论.
4. ^ 其中 $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=(-1)^2+1^2+1^2+1^2=4$.

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