爱因斯坦场方程

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　引力的弱场近似，尘埃云的能动张量，曲率张量场

　　本节规定度量张量的号差是 $- 2$ 。号差不同会导致 $g^{μ ν} T_{μ ν} = \pm T_{00}$ （式 10 ）中正负号的选择不同，进而导致式 16 和式 17 的正负号选择不同。

1. 爱因斯坦张量

　　我们直接介绍一个有用的性质，在稍后猜测爱因斯坦场方程的时候我们自然会讨论到它的用处。

定义 1　Ricci 标量曲率

　　给定流形上的 Ricci 曲率场 $R_{i j}$ ，则有光滑函数 $R = g^{i j} R_{i j}$ ，称之为流形上的标量曲率（scalar curvature）。

　　考虑黎曼曲率张量的第二 Bianchi 恒等式式 20 ：

\begin{matrix} (1) & \nabla_{λ} R_{μ ν ρ σ} + \nabla_{ρ} R_{μ ν σ λ} + \nabla_{σ} R_{μ ν λ ρ} = 0 . \end{matrix}

　　等式两端同时乘以 $g^{ν σ} g^{μ λ}$ 后，再考虑到联络对度量的相容性¹，得

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} 0 & = g^{ν σ} g^{μ λ} (\nabla_{λ} R_{μ ν ρ σ} + \nabla_{ρ} R_{μ ν σ λ} + \nabla_{σ} R_{μ ν λ ρ}) \\ = g^{ν σ} (\nabla^{μ} R_{μ ν ρ σ} - \nabla_{ρ} R_{μ ν λ σ} g^{μ λ} + \nabla_{σ} R_{μ ν λ ρ} g^{μ λ}) \\ = g^{ν σ} (\nabla^{μ} R_{ν μ σ ρ} - \nabla_{ρ} R_{ν σ} + \nabla_{σ} R_{ν ρ}) \\ = \nabla^{μ} R_{ν μ σ ρ} g^{ν σ} - \nabla_{ρ} R_{ν σ} g^{ν σ} + \nabla_{σ} R_{ν ρ} g^{ν σ} \\ = \nabla^{μ} R_{μ ρ} - \nabla_{ρ} R + \nabla^{ν} R_{ν ρ} \\ = 2 \nabla^{μ} R_{μ ρ} - \nabla_{ρ} R . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此

\begin{matrix} (3) & \nabla^{μ} R_{μ ρ} = \frac{1}{2} \nabla_{ρ} R . \end{matrix}

　　这么一来，如果我们定义一个张量

\begin{matrix} (4) & G_{μ ν} = R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} . \end{matrix}

那么式 3 就可以写为

\begin{matrix} (5) & \nabla^{μ} G_{μ ν} = 0 . \end{matrix}

　　这个张量 $G_{μ ν}$ 就被称为爱因斯坦张量（Einstein tensor），由于度量和 Ricci 张量的对称性，它也是对称的。式 5 就是我们稍后要用到的有用性质。

2. 爱因斯坦场方程

　　引力的弱场近似一节中，我们看到了作为平直时空的微小扰动，带曲率时空中的测地线确实能描述稳定、低速、弱场近似下的引力效应。我们现在希望利用这个原则，将它推广到任意情况下的时空中去。

　　曲率是引力的体现，而引力是由物质产生的。牛顿引力论中描述物质的引力效应使用的是物质的质量，在牛顿理论中这是时空中的一个光滑函数。从狭义相对论中我们就知道，描述物质分布时统一的、无视坐标系选择的量，应该是四动量和能动张量。那么我们在推测场方程的时候，应该用四动量还是能动张量呢？四动量是 $(1, 0)$ 型张量，能动张量是 $(0, 2)$ 型的，前者的类型是无法和任何曲率张量匹配的。因此我们选择用能动张量来描述物质分布。

　　初步的猜测是，将 Ricci 张量和能动张量匹配，得到如下场方程：

\begin{matrix} (6) & R_{μ ν} = K T_{μ ν} . \end{matrix}

其中

R_{μ ν}

是 Ricci 张量场，

T_{μ ν}

是物质分布的能动张量场，

K

是常数。

　　但这个式子有个问题，它不满足四动量守恒假设。四动量守恒假设体现为 $\nabla^{μ} T_{μ ν} = 0$ ，而如果式 6 要满足四动量守恒，就只有 $K = 0$ 一种情况，整个式子就毫无意义了。因此，我们根据式 5 做一点小小的修正，得到：

\begin{matrix} (7) & G_{μ ν} = K T_{μ ν} . \end{matrix}

这就是我们所猜想的，曲率依赖于物质分布的方式。

计算常数 $K$

　　最后一步就是要得到这个常数 $K$ 。思路很简单：计算 $K$ 的目的是确定引力如何受物质影响，那么我们就从牛顿引力论中引力产生的规律入手。

　　取稳定、低速、弱场近似，有牛顿引力方程：

\begin{matrix} (8) & \nabla^{2} Φ = 4 π G ρ . \end{matrix}

其中

G

是牛顿万有引力常数，

ρ

是物质质量密度在牛顿时空中的分布，是个光滑函数。

　　考虑到 $h_{00} = - 2 Φ$ ， $T_{00} = ρ$ ，式 8 意味着

\begin{matrix} (9) & \nabla^{2} h_{00} = - 8 π G T_{00} . \end{matrix}

　　如果我们能用 $h_{00}$ 计算出 $R_{00}$ ，那么再结合式 9 就可以确定 $K$ 了。由于曲率张量可以用 Christoffel 符号计算出来，而 Christoffel 符号可以由度量张量计算出来，因此我们按以下式 11 到式 15 的思路进行。

　　在稳定、低速、弱场近似下， $T_{00} = ρ$ ，而 $h_{00} = - 2 Φ$ ²。度量张量为 $g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}$ ，其中 $h_{μ ν} ≪ 1$ 。考虑到低速近似下，流体压强很小，因此

\begin{matrix} (10) & g^{μ ν} T_{μ ν} := T = g^{00} T_{00} = T_{00} . \end{matrix}

　　特别要注意，稳定假设： $\partial_{0} h_{μ ν} = 0$ 。

　　根据式 8 ，誊抄如下：

\begin{matrix} (11) & Γ_{i j}^{r} = \frac{1}{2} g^{k r} (\partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j}) . \end{matrix}

稳定、低速、弱场近似下的 Christoffel 符号为：

\begin{matrix} (12) & Γ_{i j}^{r} = \frac{1}{2} η^{k r} (\partial_{i} h_{j k} + \partial_{j} h_{k i} - \partial_{k} h_{i j}) . \end{matrix}

再代入曲率张量场中的式 13 ，誊抄如下：

\begin{matrix} (13) & R_{j k} = R_{k j} = \partial_{i} Γ_{j k}^{i} - \partial_{j} Γ_{i k}^{i} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{i} - Γ_{i k}^{s} Γ_{j s}^{i} . \end{matrix}

由于

h_{μ ν}

很小，我们忽略掉高阶项

Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{i} - Γ_{i k}^{s} Γ_{j s}^{i}

，得：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} R_{μ ν} = & \partial_{λ} Γ_{μ ν}^{λ} - \partial_{μ} Γ_{λ ν}^{λ} \\ = & \frac{1}{2} η^{λ α} [\partial_{λ} (\partial_{μ} h_{ν α} + \partial_{ν} h_{α μ} - \partial_{α} h_{μ ν}) \\ - \partial_{μ} (\partial_{λ} h_{ν α} + \partial_{ν} h_{α λ} - \partial_{α} h_{λ ν})] . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} R_{00} = & \frac{1}{2} η^{λ α} [\partial_{λ} (\partial_{0} h_{0 α} + \partial_{0} h_{α 0} - \partial_{α} h_{00}) \\ - \partial_{0} (\partial_{λ} h_{0 α} + \partial_{0} h_{α λ} - \partial_{α} h_{λ 0})] \\ = & - \frac{1}{2} η^{λ α} \partial_{λ} \partial_{α} h_{00} \\ = & - \frac{1}{2} \nabla^{2} h_{00} \\ = & 4 π G ρ \\ = & 4 π G T_{00} . \end{aligned} \end{matrix}

　　注意，这里的 $\nabla^{2}$ 是三维空间中的 Labpace 算子，没有时间项，因为稳定假设。

　　到这里还差一步，我们得出的是 $R_{00}$ 和 $T_{00}$ 的关系，但是方程中使用的是 $G_{μ ν} = R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν}$ 。由于 $R = g^{μ ν} R_{μ ν}$ ，所以我们可以通过两边都乘以 $g^{μ ν}$ 来处理，这时候就要用到 $g^{μ ν} T_{μ ν} = T_{00}$ 的假设了。

　　 $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = K T_{μ ν}$ 两边同乘以 $g^{μ ν}$ ³，得到 $R = - K T$ 。因此，我们有： $R_{00} + \frac{1}{2} K T g_{00} = K T_{00}$ 。

　　整理得：

\begin{matrix} (16) & R_{00} = \frac{1}{2} K T_{00} . \end{matrix}

　　联立式 15 和式 16 ，我们得到 $K = 8 π G$ 。

最终的场方程

　　由以上讨论，计算出了 $K$ 以后，我们终于可以把爱因斯坦场方程写下来了：

\begin{matrix} (17) & R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = 8 π G T_{μ ν} . \end{matrix}

3. 关于符号习惯的讨论

　　如果选用 $+ 2$ 的号差，那么式 10 应为

\begin{matrix} (18) & g^{μ ν} T_{μ ν} := T = g^{00} T_{00} = - T_{00} . \end{matrix}

从而式 16 应为

\begin{matrix} (19) & R_{00} = - \frac{1}{2} K T_{00} . \end{matrix}

于是得到

K = - 9 π G

，于是爱因斯坦场方程式 17 应为

\begin{matrix} (20) & R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = - 8 π G T_{μ ν} . \end{matrix}

　　另外，现在 Wikipedia 的文章Einstein Field Equations中默认的场方程形式和式 17 一致，但其符号习惯有两点与本文不同：度规张量使用 $+ 2$ 号差，而 Ricci 张量的定义式与曲率张量场中差了一个负号，负负得正了。

1. ^ 即 $\nabla_{a} g_{i j} = 0$ 。
2. ^ 见引力的弱场近似最后的讨论。
3. ^ 其中 $g^{μ ν} g_{μ ν} = 1^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2} = 4$ 。

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