引力的弱场近似

             

预备知识 测地线

   广义相对论的革命性创见在于将引力解释为时空的几何效应.广义相对论将引力视为非力作用,并假设不受力的物质的运动轨迹是测地线,其参数取该物质的本征时间.从测地线一节中的式 3 可知,非平坦的度量在给定图中可能有非零的 Christoffel 符号,使得测地线方程的解不再是这个图中的一条匀速直线,这就启发了我们,如果把时空看成是流形,那么引力可能通过影响联络来造成表面上的 “扭转” 物质轨迹.当然,由于曲率是由联络来定义的,也可以说是引力改变了时空的曲率.

   以上只是定性说法,那么我们是否真的可以用这种方法来描述引力作用呢?由于牛顿的引力论在低速、弱场且静态的情况下已经被实验反复证实,我们可以从此下手,在低速弱场静态近似下尝试解一个质点的测地线方程,看能不能回归到牛顿的引力方程上1

   在接下来的讨论中,对于真指标,用希腊字母表示在 $\{0, 1, 2, 3\}$ 中遍历指标,用拉丁字母表示在 $\{1, 2, 3\}$ 中遍历指标.也就是说,拉丁字母特指空间分量.

1. 近似假设

   低速近似意味着,在所讨论的参考系里,质点的四速度非常接近 $ \begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix} $,也就是说,其轨迹的三个空间坐标$x^i$ 满足下式:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^i\ll \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0\approx 1 \end{equation}

   弱场近似意味着,引力的作用非常微弱,也就是说对度量的影响很小.记 $\eta_{\mu\nu}$ 为该参考系中的 Minkowski 度规,那么引力作用下的度规就是 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$,其中 $ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \ll 1$.考虑到度规的指标升降法则要求 $g^{ai}g_{bi}=\delta^a_b$,结合 $ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \ll 1$,可以计算出 $g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$2

   静态近似意味着,引力场不随时间变化,因此 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }g_{\mu\nu}=0$.用另一种记号来写的话,就是 $\partial_0g_{\mu\nu}=0$.

2. 推导测地线方程

   假设质点的坐标为 $x^\mu$,它们是自身固有时间的函数,也是给定参考系(图)中的时间的函数.当然,$x^0$ 就是参考系中的时间参数本身.

   参考测地线一节可知,测地线方程为式 3

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu+(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^a)(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^b)\Gamma^\mu_{ab}=0 \end{equation}

   注意这里求导用的参数是固有时间 $\tau$,因为我们的假设就是 “质点的轨迹为按固有时间为参数的测地线”.

   由低速近似的式 1 ,我们可以把测地线方程简化为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu+(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\Gamma^\mu_{00}=0 \end{equation}

   也就是说,我们只需要关注 $\Gamma^\mu_{00}$ 的表达.

   由Christoffel 符号词条中的式 8 可得

\begin{equation} \Gamma^\mu_{00}=\frac{1}{2}g^{k\mu}(\partial_0g_{0k}+\partial_0g_{0k}-\partial_{k}g_{00}) \end{equation}

   结合弱场近似 $\partial_0g_{\mu\nu}\approx\partial_0\eta_{\mu\nu}$,上式化简为

\begin{equation} \Gamma^\mu_{00}=-\frac{1}{2}g^{k\mu}\partial_{k}g_{00}\approx-\frac{1}{2}\eta^{k\mu}\partial_{k}h_{00} \end{equation}

   将式 5 代回测地线方程式 3 ,得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu\approx\frac{1}{2}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\eta^{k\mu}\partial_{k}h_{00} \end{equation}

   考虑 $\mu=0$ 项,结合静态近似,再考虑到 $\eta_{\mu\nu}$ 的坐标,则式 6 化为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^0\approx\frac{1}{2}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\eta^{k0}\partial_{k}h_{00}=0 \end{equation}

   因此 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0$ 是一个常数.

   我们将式 6 进行移项,得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x^i\approx\frac{1}{2}\eta^{ki}\partial_kh_{00} \end{equation}

   由于 $\eta^{ij}=\delta^{ij}$3式 8 进一步化简为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} }x^i\approx\frac{1}{2}\partial^ih_{00} \end{equation}

   这就是低速弱场静态近似下,质点的测地线方程.

3. 与牛顿引力论比较

   牛顿引力论认为引力是由分布在时空中的一个光滑函数 $\Phi$ 决定的,这个函数就称为引力势.引力对质点的作用被体现为以下式子:

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x^i=-\partial^i\Phi \end{equation}

   比较式 9 式 10 可知,只需要令 $h_{00}=-2\Phi$,以上结果在低速、弱场、静态的情况下就可以近似回归到牛顿引力论上.这意味着 $h^{\mu\nu}$ 的其它部分并不影响近似结果,是冗余的自由度.


1. ^ 思路取自 Carroll 的广义相对论讲义 [8],第 4 章Gravitation中的讨论.
2. ^ 你可以尝试验证:$(\eta_{ai}+h_{ai})(\eta^{bi}-h^{bi})=\eta_{ai}\eta^{bi}+h_{ai}\eta^{bi}-h^{bi}\eta_{ai}-h_{ai}h^{bi}$,其中右边的中间两项由度量的对称性以及 $h^{ab}=h_{ij}\eta^{ia}\eta^{jb}$,可以抵消掉,于是只剩下 $\delta^b_a-h_{ai}h^{bi}$ 项,后者是更高阶的小量,弱场近似下就被忽略了.
3. ^ 注意这里用的是拉丁字母,也就是限制在空间坐标上,那么 $\eta_{ij}$ 就是通常的欧几里得度量.

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