曲率张量场

             

预备知识 仿射联络(切丛)

   本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个配备了仿射联络 $\nabla$ 的流形 $M$.

1. 黎曼曲率张量

   我们在这里重新誊写一遍仿射联络(切丛)中定义的曲率映射.

定义 1 曲率

   定义 $R:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to \operatorname {End}(\mathfrak{X}(M))$ 为:对于任意 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$,有 $R(X, Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X, Y]}$,称该映射为 $(M, \nabla)$ 的曲率(curvature)

   为什么要这么定义曲率呢?平坦流形和弯曲流形有一个关键的区别,那就是平行移动是否依赖路径.平坦的时空中,对一个向量进行平行移动,不管它沿着什么路径走,只要回到原点,它就和出发时是同一个向量;但是不平坦的流形上,如仿射联络(切丛)中地球表面的例子,平行移动后回到原点时是哪个向量,取决于走的是什么道路.

   本质上,平坦流形上的路径无关性,来自偏微分算子的交换性,即 $\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i=0$.那么当平行移动取决于路径时,人们自然想到通过 $\nabla_i\nabla_j-\nabla_j\nabla_i$ 的值来研究路径是如何影响平行移动的.由于我们希望讨论的是流形上的张量,而不是局限于给定图上的函数排列,因此又额外加了一项 $\nabla_{[X, Y]}$,把它凑成一个张量场.

   整体来看,曲率就是把两个光滑向量场映射为一个光滑向量场.我们接下来就证明,这样构造的量确实是一个张量场.

定理 1 曲率的线性性

   令 $f, g, h$ 为 $M$ 上的光滑函数,$X, Y, Z$ 为 $M$ 上的光滑向量场.则我们有:$R(fX, gY)hZ=fgh\cdot R(X, Y)Z$.

   证明

   由于 $\nabla_{fX}=f\nabla_X$,且 $[fX, gY]=fg[X, Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X$

   故有

\begin{equation} \begin{aligned} &\nabla_{fX}\nabla_{gY}-\nabla_{gY}\nabla_{fX}-\nabla_{[fX, gY]}\\=&f\nabla_X(g\nabla_Y)-g\nabla_Y(f\nabla_X)-fg\nabla_{[X, Y]}-\nabla_{f(Xg)Y-g(Yf)X}\\ \\=&fg\nabla_X\nabla_Y+f(Xg)\nabla_Y-gf\nabla_Y\nabla_X-g(Yf)\nabla_X\\&-fg\nabla_{[X, Y]}-f(Xg)\nabla_Y+g(Yf)\nabla_X\\ =&fg\nabla_X\nabla_Y-gf\nabla_Y\nabla_X-fg\nabla_{[X, Y]}\\ =&fg(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X, Y]}) \end{aligned} \end{equation}
这就证明了 $R(fX, gY)=fgR(X, Y)$.接下来证明 $R(X, Y)hZ=hR(X, Y)Z$.

   考虑到

\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_X\nabla_Y(hZ)&=\nabla_X(h\nabla_YZ+(Yh)Z)\\ &=h\nabla_X\nabla_YZ+(Xh)\nabla_YZ+(Yh)\nabla_XZ+(XYh)Z \end{aligned} \end{equation}

   故

\begin{equation} \begin{aligned} (\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X)hZ=& h\nabla_X\nabla_YZ-h\nabla_Y\nabla_XZ+\\&(Xh)\nabla_YZ-(Yh)\nabla_XZ+\\&(Yh)\nabla_XZ-(Xh)\nabla_YZ+\\&(XYh)z-(YXh)z\\ =& h(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X)Z+([X, Y]h)Z \end{aligned} \end{equation}

   于是最后有

\begin{equation} \begin{aligned} &(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X, Y]})hZ\\ &=h(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X)Z+([X, Y]h)Z-h\nabla_{[X, Y]}Z-([X, Y]h)Z\\ &=h(\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X, Y]})Z \end{aligned} \end{equation}

   从而得证 $R(X, Y)hZ=hR(X, Y)Z$.

   证毕

   定理 1 意味着,曲率是一个 $M$ 上光滑向量场的线性映射,也就是说,是一个张量场.又因为曲率将三个向量场映射为一个向量场,我们可以在给定图中将曲率映射表示为一组光滑函数 $R^r_{kij}$1,使得 $R(f^i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i, g^j \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j)h^k \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k=(R^r_{kij}f^ig^jh^k) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _r$.从证明过程中也可以看到,补充的 $\nabla_{[X, Y]}$ 的必要性.

   如果用抽象指标,将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^i, y^j, z^k$,那么 $R(X, Y)Z=R^r_{kij}x^iy^jz^k$.

曲率张量场的坐标

   在给定图中,联络 $\nabla$ 由 Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$ 完全刻画,那么我们应该也能用 Christoffel 符号计算出曲率张量场的坐标.记住,$\Gamma$ 中每个元素的类型是 $M$ 上的光滑向量场.

\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}\partial_k&=\nabla_{\partial_i}(\Gamma^s_{jk}\partial_s)\\ &=(\partial_i\Gamma^s_{jk})\partial_s+\Gamma^s_{jk}\Gamma^r_{is}\partial_r\\ &=(\partial_i\Gamma^r_{jk}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^r_{is})\partial_r \end{aligned} \end{equation}

   考虑到偏微分的交换性,$[\partial_i, \partial_j]=0$,因此

\begin{equation} \begin{aligned} &(\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}-\nabla_{\partial_j}\nabla_{\partial_i})\partial_k\\ =&(\partial_i\Gamma^r_{jk}-\partial_j\Gamma^{r}_{ik}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^r_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^r_{js})\partial_r \end{aligned} \end{equation}

   由定义,$R(f^i\partial_i, g^j\partial_j)h^k\partial_k=(R^r_{kij}f^ig^jh^k)\partial_r$,故有

\begin{equation} R^r_{kij}=\partial_i\Gamma^r_{jk}-\partial_j\Gamma^{r}_{ik}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^r_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^r_{js} \end{equation}

指标下降后的坐标

   黎曼曲率张量场经常被用在进行内积的场合中,比如高斯绝妙定理就可以表示为 $K= < R( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2>$.带上内积运算后,我们也可以把它认为是一个 “将四个向量场映射为一个光滑函数” 的张量,也就是说,指标下降一下:

\begin{equation} R_{rkij}=g_{ar}R^a_{kij} \end{equation}

   由于式中出现了 $g_{ar}$,再用式 7 那样纯粹用 Christoffel 符号来描述其坐标已经不方便了,因此我们还得把 Christoffel 符号展开来,用 $g_{ab}$ 表示.

   以下是详细展开过程,但是式 10 式 11 都只是中间步骤,请读者酌情选择跳过或跟一遍.最终结果是式 12

   引用式 8 ,誊抄如下:

\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}) \end{equation}

   代入式 7 得:

\begin{equation} \begin{aligned} 2R^r_{kij}=&\partial_i(g_{rt}\partial_jg_{ka}+g_{rt}\partial_kg_{aj}-g_{rt}\partial_ag_{jk})-\\ &\partial_j(g_{rt}\partial_ig_{ka}+g_{rt}\partial_kg_{ai}-g_{rt}\partial_ag_{ik})+\\ &g^{as}(\partial_jg_{ka}+\partial_kg_{aj}-\partial_ag_{jk})g^{br}(\partial_ig_{sb}+\partial_sg_{bi}-\partial_bg_{is})-\\ &g^{as}(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})g^{br}(\partial_jg_{sb}+\partial_sg_{bj}-\partial_bg_{js})\\ =&(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+g_{rt}\partial_i\partial_jg_{ka}+\\ &(\partial_ig_{rt})(\partial_kg_{aj})+g_{rt}\partial_i\partial_kg_{aj}-\\ &(\partial_ig_{rt})(\partial_ag_{jk})-g_{rt}\partial_i\partial_ag_{jk}-\\%First line above, expanded &(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})-g_{rt}\partial_j\partial_ig_{ka}-\\ &(\partial_jg_{rt})(\partial_kg_{ai})-g_{rt}\partial_j\partial_kg_{ai}+\\ &(\partial_jg_{rt})(\partial_ag_{ik})+g_{rt}\partial_j\partial_ag_{ik}+\\%Second line above &g^{as}g^{br}(\partial_jg_{ka}+\partial_kg_{aj}-\partial_ag_{jk})(\partial_ig_{sb}+\partial_sg_{bi}-\partial_bg_{is})-\\ &g^{as}g^{br}(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})(\partial_jg_{sb}+\partial_sg_{bj}-\partial_bg_{js}) \end{aligned} \end{equation}

   最后两行尚未展开,就已经这么长了,这也是为什么我们不用度量张量来表示黎曼张量,而是用 Christoffel 符号的原因.进行指标下降后,我们得到:

\begin{equation} \begin{aligned} 2R_{tkij}=&2g_{rt}R^r_{kij}\\ =&g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+\delta^a_t\partial_i\partial_jg_{ka}+\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_kg_{aj})+\delta^a_t\partial_i\partial_kg_{aj}-\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_ag_{jk})-\delta^a_t\partial_i\partial_ag_{jk}-\\%First line above, expanded &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})-\delta^a_t\partial_j\partial_ig_{ka}-\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_kg_{ai})-\delta^a_t\partial_j\partial_kg_{ai}+\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ag_{ik})+\delta^a_t\partial_j\partial_ag_{ik}+\\%Second line above &g^{as}\delta^b_t(\partial_jg_{ka}+\partial_kg_{aj}-\partial_ag_{jk})(\partial_ig_{sb}+\partial_sg_{bi}-\partial_bg_{is})-\\ &g^{as}\delta^b_t(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})(\partial_jg_{sb}+\partial_sg_{bj}-\partial_bg_{js})\\ =&g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+\partial_i\partial_jg_{kt}+\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_kg_{aj})+\partial_i\partial_kg_{tj}-\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_ag_{jk})-\partial_i\partial_tg_{jk}-\\%First line above, expanded &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})-\partial_j\partial_ig_{kt}-\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_kg_{ai})-\partial_j\partial_kg_{ti}+\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ag_{ik})+\partial_j\partial_tg_{ik}+\\%Second line above &g^{as}(\partial_jg_{ka}+\partial_kg_{aj}-\partial_ag_{jk})(\partial_ig_{st}+\partial_sg_{ti}-\partial_tg_{is})-\\ &g^{as}(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})(\partial_jg_{st}+\partial_sg_{tj}-\partial_tg_{js})\\ =&g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_kg_{aj})+\partial_i\partial_kg_{tj}-\\ &g_{rt}(\partial_ig_{rt})(\partial_ag_{jk})-\partial_i\partial_tg_{kj}-\\%First line above, expanded &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})-\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_kg_{ai})-\partial_j\partial_kg_{ti}+\\ &g_{rt}(\partial_jg_{rt})(\partial_ag_{ik})+\partial_j\partial_tg_{ki}+\\%Second line above &g^{sa}(\partial_ig_{at}+\partial_ag_{ti}-\partial_tg_{ia})(\partial_jg_{ks}+\partial_kg_{sj}-\partial_sg_{jk})-\\ &g^{as}(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})(\partial_jg_{st}+\partial_sg_{tj}-\partial_tg_{js})\\ \end{aligned} \end{equation}

   其中第二个等号是直接把 $g_{rt}$ 乘到展开式中,并按升降法则将 $g_{rt}g_{rt}$ 和 $g_{rt}g^{br}$ 分别写为 $\delta^a_t$ 和 $\delta^b_t$;第三个等号是消去 $\delta^i_j$ 项,进行下标替换;第四个等号删去了互相抵消的两项,按照 $g_{ab}$ 的对称性调整了几个下标的位置,并将倒数第二项的 $s$ 和 $a$ 两个赝指标地位对换、两个括号顺序对换.

   但是等等!还没完,我们还能进一步简化.我把这一步单独摘出来,是为了不让原式过于臃肿.这步简化是什么呢?考虑到 $g_{rt}g_{rt}=\delta^a_t$,且 $\partial_i\delta^a_t=0$,因此应用 Leibniz 律可得 $g_{rt}\partial_ig_{rt}=-g_{rt}\partial_ig_{rt}$.把这一点代入式 11 ,即可得如下简化:

\begin{equation} \begin{aligned} 2R_{tkij}=&2g_{rt}R^r_{kij}\\ =&g^{ar}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+\\ &g^{ar}(\partial_ig_{rt})(\partial_kg_{aj})+\partial_i\partial_kg_{tj}-\\ &g^{ar}(\partial_ig_{rt})(\partial_ag_{jk})-\partial_i\partial_tg_{kj}-\\%First line above, expanded &g^{ar}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})-\\ &g^{ar}(\partial_jg_{rt})(\partial_kg_{ai})-\partial_j\partial_kg_{ti}+\\ &g^{ar}(\partial_jg_{rt})(\partial_ag_{ik})+\partial_j\partial_tg_{ki}+\\%Second line above &g^{sa}(\partial_ig_{at}+\partial_ag_{ti}-\partial_tg_{ia})(\partial_jg_{ks}+\partial_kg_{sj}-\partial_sg_{jk})-\\ &g^{as}(\partial_ig_{ka}+\partial_kg_{ai}-\partial_ag_{ik})(\partial_jg_{st}+\partial_sg_{tj}-\partial_tg_{js})\\ \end{aligned} \end{equation}

   简化到这一步,我们就已经可以清晰地看到黎曼张量的对称性了.这些对称性会在本节稍后的小节中集中讨论.

2. Ricci 张量场

   如果我们固定 $Y, Z$,那么 $R(X, Y)Z$ 可以看成是 $X$ 的一个 $C^{\infty}$-线性映射;更准确地说,对于任意 $p\in M$,$R(X, Y)Z$ 都是 $X_p$ 的一个 $\mathbb{R}$-线性映射.为了方便,我们记 $T_{Y, Z}$ 是这样的线性映射:$T_{Y, Z}(X)=R(X, Y)Z$.那么 $ \operatorname {trace}T_{Y, Z}$ 就是 $M$ 上的一个光滑函数.这样一来,我们又相当于得到了一个将 $Y$ 和 $Z$ 映射为一个光滑函数的张量场.

   用抽象指标,将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^i, y^j, z^k$,那么 $T_{Y, Z}(X)=R^r_{kij}y^jz^kx^i$,因此 $T_{Y, Z}=R^r_{kij}y^jz^k$.于是,$ \operatorname {trace}T_{Y, Z}=R^i_{kij}y^jz^k$2

   而因为我们想把 $ \operatorname {trace}T_{Y, Z}$ 看成是 $Y, Z$ 的映射,因此最终得到一个张量场 $R^i_{kij}$,它把两个光滑向量场映射为一个光滑函数.这个张量场,就是所谓的Ricci 曲率

定义 2 Ricci 曲率

   已知曲率张量场 $R^r_{kij}$,则定义张量场 $R_{kj}=R^i_{kij}$,称之为Ricci 曲率(Ricci curvature)或者Ricci 张量场(Ricci tensor field)

   黎曼曲率张量 $R^r_{kij}$ 涉及的向量场太多,而 Ricci 场通过对其进行缩并,得到了一个更简单的张量场,它同样可以很好地描绘流形的性质,同时是爱因斯坦场方程的核心结构.

   我们上面已经计算过了黎曼曲率 $R^r_{kij}$ 的坐标表达,只需要进行指标替换就可以得到 Ricci 张量场的坐标:

\begin{equation} R_{kj}=\partial_i\Gamma^i_{jk}-\partial_j\Gamma^{i}_{ik}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^i_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^i_{js} \end{equation}

   结合式 8

\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}) \end{equation}
还可以根据度量场 $g_{ij}$ 计算出 Ricci 曲率场,写起来非常长,在此从略.

3. 曲率张量场的性质

定理 2 反对称性

   对于任意 $X, Y\in\mathfrak{X}(M)$,有 $R(X, Y)=-R(Y, X)$.

   这一点由黎曼曲率张量的定义直接可得.用抽象指标表示,就是 $R^i_{cab}=-R^i_{cba}$,再两边乘以一个 $g_{di}$,得到 $R_{dcab}=-R_{dcba}$.

定理 3 度量反对称性

   对于任意 $X, Y, U, V\in\mathfrak{X}(M)$,有 $ < R(X, Y)U, V > =- < R(X, Y)V, U>$.

   用抽象指标表示,就是 $R^i_{cab}g_{id}=-R^i_{dab}g_{ic}$,或者写为 $R_{dcab}=-R_{cdab}$.我们根据式 12 ,交换其中的 $t$ 和 $k$ 指标,就可以证明这一点.

定理 4 交换对称性

\begin{equation} R_{tkij}=R_{ijtk} \end{equation}

   同样,在式 12 中交换 $ij$ 和 $tk$ 指标即可证明.

定理 5 第一 Bianchi 恒等式(代数)

\begin{equation} R_{tkij}+R_{tijk}+R_{tjki}=0 \end{equation}

   这次我们根据式 7 ,注意到把等号右边分成两组,分别进行下标 $ijk$ 的轮换,即可证明 $R^r_{kij}+R^r_{ijk}+R^r_{jki}=0$,两边乘以一个 $g_{rt}$ 即得证.

定理 6 第二 Bianchi 恒等式(微分)

\begin{equation} \partial_aR_{tkij}+\partial_iR_{tkja}+\partial_jR_{tkai}=0 \end{equation}

   用式 7 可以证明上标版本的恒等式 $\partial_aR_{kij}^r+\partial_iR_{kja}^r+\partial_jR_{kai}^r=0$,把 $g_{rt}$ 乘进去,展开3,再把式 15 式 16 代进去,即可得证.

   以上五条定理,就是黎曼张量最重要的五条对称性,我们将下标修改成顺眼的形式,集中总结如下:

定理 7 黎曼曲率张量的对称性

   设 $R_{abcd}$ 是流形 $(M, \nabla)$ 上的黎曼曲率张量(全下标形式)在任意图中的坐标表达,即 $ < R(x^a\partial_a, y^b\partial_b)v^c\partial_c, w^d\partial_d > =x^ay^bv^cw^dR_{abcd}$,那么我们有如下对称性:

  1. $R_{abcd}=-R_{abdc}$;
  2. $R_{abcd}=-R_{bacd}$;
  3. $R_{abcd}=R_{cdab}$;
  4. $R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0$;
  5. $\partial_eR_{abcd}+\partial_cR_{abde}+\partial_dR_{abec}=0$.

   定理中强调了是在任意的图中都成立,因此也可以直接推广为张量的抽象指标形式.特别地,偏微分算子直接推广为图的坐标方向的联络,于是第二 Bianchi 恒等式变为:

\begin{equation} \nabla_eR_{abcd}+\nabla_cR_{abde}+\nabla_dR_{abec}=0 \end{equation}

   由于 Ricci 张量定义为黎曼张量的缩并:$R_{ij}=R^a_{iaj}=R_{aibj}g^{ab}$,因此可以直接继承黎曼张量的对称性:

定理 8 Ricci 曲率张量的对称性

   $R_{ij}=R_{ji}$.

符号上的拓展

   对于任何嵌套矩阵 $T_{i_1i_2\cdots i_n}$,定义

\begin{equation} T_{[i_1i_2\cdots i_n]}=\frac{1}{n}\sum\limits_{\sigma\in S_n} \operatorname {sgn}(\sigma)T_{i_{\sigma(1)}i_{\sigma(2)}\cdots i_{\sigma(n)}} \end{equation}
具体到 $n=3$ 的情况,就是 $T_{[abc]}=\frac{1}{3}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{cba}-T_{bac})$.

   这样,我们还可以把第一 Bianchi 恒等式表示为 $R_{a[bcd]}=0$,而把第二 Bianchi 恒等式表示为4$\nabla_{[e}R_{cd]ab}=0$.


1. ^ 注意下标的位置,$h^k$ 对应的下标在第一个.
2. ^ 注意,就是把上指标 $r$ 换成了 $i$,因为对于矩阵(或者抽象指标表示的线性变换)$a^i_j$,其的定义就是 $ \operatorname {trace}a^i_j=a^i_i$.
3. ^ 就是说,$\partial_aR_{tkij}=\partial_a(g_{rt}R^{r}_{kij})=g_{rt}\partial_aR^r_{kij}+R^r_{kij}\partial_ag_{rt}$.
4. ^ 借用对称性 $R_{abcd}=R_{cdab}$,并将 $\nabla_eR_{cdab}$ 认为是一个整体 $T_{ecbad}$,这样 $\nabla_{[e}R_{cd]ab}=T_{[ecb]ad}$.

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