曲率张量场

贡献者： JierPeter; addis

　　 本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个配备了仿射联络 $\nabla$ 的流形 $M$。

1. 黎曼曲率张量

　　 我们在这里重新誊写一遍仿射联络（切丛）中定义的曲率映射。

　　 为什么要这么定义曲率呢？平坦流形和弯曲流形有一个关键的区别，那就是平行移动是否依赖路径。平坦的时空中，对一个向量进行平行移动，不管它沿着什么路径走，只要回到原点，它就和出发时是同一个向量；但是不平坦的流形上，如仿射联络（切丛）中地球表面的例子，平行移动后回到原点时是哪个向量，取决于走的是什么道路。

　　 本质上，平坦流形上的路径无关性，来自偏微分算子的交换性，即 $\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i=0$。那么当平行移动取决于路径时，人们自然想到通过 $\nabla_i\nabla_j-\nabla_j\nabla_i$ 的值来研究路径是如何影响平行移动的。由于我们希望讨论的是流形上的张量，而不是局限于给定图上的函数排列，因此又额外加了一项 $\nabla_{[X, Y]}$，把它凑成一个张量场。

　　 整体来看，曲率就是把两个光滑向量场映射为一个光滑向量场。我们接下来就证明，这样构造的量确实是一个张量场。

　　 证明：

　　 由于 $\nabla_{fX}=f\nabla_X$，且 $[fX, gY]=fg[X, Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X~.$

　　 故有

　　 考虑到

　　 故

　　 于是最后有

　　 从而得证 $R(X, Y)hZ=hR(X, Y)Z$。

　　 证毕。

　　 定理 1 意味着，曲率是一个 $M$ 上光滑向量场的线性映射，也就是说，是一个张量场。又因为曲率将三个向量场映射为一个向量场，我们可以在给定图中将曲率映射表示为一组光滑函数 $R^r_{kij}$¹，使得 $R(f^i \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _i, g^j \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _j)h^k \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _k=(R^r_{kij}f^ig^jh^k) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _r$。从证明过程中也可以看到，补充的 $\nabla_{[X, Y]}$ 的必要性。

　　 如果用抽象指标，将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^i, y^j, z^k$，那么 $R(X, Y)Z=R^r_{kij}x^iy^jz^k$。

曲率张量场的坐标

　　 在给定图中，联络 $\nabla$ 由 Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$ 完全刻画，那么我们应该也能用 Christoffel 符号计算出曲率张量场的坐标。记住，$\Gamma$ 中每个元素的类型是 $M$ 上的光滑向量场。

　　 考虑到偏微分的交换性，$[\partial_i, \partial_j]=0$，因此

　　 由定义，$R(f^i\partial_i, g^j\partial_j)h^k\partial_k=(R^r_{kij}f^ig^jh^k)\partial_r$，故有

指标下降后的坐标

　　 黎曼曲率张量场经常被用在进行内积的场合中，比如高斯绝妙定理就可以表示为 $K=< R( \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2) \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2>$。带上内积运算后，我们也可以把它认为是一个 “将四个向量场映射为一个光滑函数” 的张量，也就是说，指标下降一下：

　　 由于式中出现了 $g_{ar}$，再用式 7 那样纯粹用 Christoffel 符号来描述其坐标已经不方便了，因此我们还得把 Christoffel 符号展开来，用 $g_{ab}$ 表示。

　　 以下是详细展开过程，但是式 10 和式 11 都只是中间步骤，请读者酌情选择跳过或跟一遍。最终结果是式 12 。

　　 引用式 8 ，誊抄如下：

　　 代入式 7 得：

　　 最后两行尚未展开，就已经这么长了，这也是为什么我们不用度量张量来表示黎曼张量，而是用 Christoffel 符号的原因。进行指标下降后，我们得到：

　　 其中第二个等号是直接把 $g_{rt}$ 乘到展开式中，并按升降法则将 $g_{rt}g^{ar}$ 和 $g_{rt}g^{br}$ 分别写为 $\delta^a_t$ 和 $\delta^b_t$；第三个等号是消去 $\delta^i_j$ 项，进行下标替换；第四个等号删去了互相抵消的两项，按照 $g_{ab}$ 的对称性调整了几个下标的位置，并将倒数第二项的 $s$ 和 $a$ 两个赝指标地位对换、两个括号顺序对换。

　　 但是等等！还没完，我们还能进一步简化。我把这一步单独摘出来，是为了不让原式过于臃肿。这步简化是什么呢？考虑到 $g^{ar}g_{rt}=\delta^a_t$，且 $\partial_i\delta^a_t=0$，因此应用 Leibniz 律可得 $g^{ar}\partial_ig_{rt}=-g_{rt}\partial_ig^{ar}$。把这一点代入式 11 ，即可得如下简化：

　　 简化到这一步，我们就已经可以清晰地看到黎曼张量的对称性了。这些对称性会在本节稍后的小节中集中讨论。

2. Ricci 张量场

　　 如果我们固定 $Y, Z$，那么 $R(X, Y)Z$ 可以看成是 $X$ 的一个 $C^{\infty}$-线性映射；更准确地说，对于任意 $p\in M$，$R(X, Y)Z$ 都是 $X_p$ 的一个 $\mathbb{R}$-线性映射。为了方便，我们记 $T_{Y, Z}$ 是这样的线性映射：$T_{Y, Z}(X)=R(X, Y)Z$。那么 $ \operatorname {trace}T_{Y, Z}$ 就是 $M$ 上的一个光滑函数。这样一来，我们又相当于得到了一个将 $Y$ 和 $Z$ 映射为一个光滑函数的张量场。

　　 用抽象指标，将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^i, y^j, z^k$，那么 $T_{Y, Z}(X)=R^r_{kij}y^jz^kx^i$，因此 $T_{Y, Z}=R^r_{kij}y^jz^k$。于是，$ \operatorname {trace}T_{Y, Z}=R^i_{kij}y^jz^k$²

　　 而因为我们想把 $ \operatorname {trace}T_{Y, Z}$ 看成是 $Y, Z$ 的映射，因此最终得到一个张量场 $R^i_{kij}$，它把两个光滑向量场映射为一个光滑函数。这个张量场，就是所谓的Ricci 曲率。

　　 黎曼曲率张量 $R^r_{kij}$ 涉及的向量场太多，而 Ricci 场通过对其进行缩并，得到了一个更简单的张量场，它同样可以很好地描绘流形的性质，同时是爱因斯坦场方程的核心结构。

　　 我们上面已经计算过了黎曼曲率 $R^r_{kij}$ 的坐标表达，只需要进行指标替换就可以得到 Ricci 张量场的坐标：

　　 结合式 8 ：

3. 曲率张量场的性质

　　 这一点由黎曼曲率张量的定义直接可得。用抽象指标表示，就是 $R^i_{cab}=-R^i_{cba}$，再两边乘以一个 $g_{di}$，得到 $R_{dcab}=-R_{dcba}$。

　　 用抽象指标表示，就是 $R^i_{cab}g_{id}=-R^i_{dab}g_{ic}$，或者写为 $R_{dcab}=-R_{cdab}$。我们根据式 12 ，交换其中的 $t$ 和 $k$ 指标，就可以证明³这一点。

　　 同样，在式 12 中交换 $ij$ 和 $tk$ 指标即可证明。

　　 这次我们根据式 7 ，注意到把等号右边分成两组，分别进行下标 $ijk$ 的轮换，即可证明 $R^r_{kij}+R^r_{ijk}+R^r_{jki}=0$，两边乘以一个 $g_{rt}$ 即得证。

　　 用式 7 可以证明上标版本的恒等式 $\partial_aR_{kij}^r+\partial_iR_{kja}^r+\partial_jR_{kai}^r=0$，把 $g_{rt}$ 乘进去，展开⁴，再把式 15 和式 16 代进去，即可得证。

　　 以上五条定理，就是黎曼张量最重要的五条对称性，我们将下标修改成顺眼的形式，集中总结如下：

　　 定理中强调了是在任意的图中都成立，因此也可以直接推广为张量的抽象指标形式。特别地，偏微分算子直接推广为图的坐标方向的联络，于是第二 Bianchi 恒等式变为：

　　 由于 Ricci 张量定义为黎曼张量的缩并：$R_{ij}=R^a_{iaj}=R_{aibj}g^{ab}$，因此可以直接继承黎曼张量的交换对称性定理 4 ：

符号上的拓展

　　 对于任何嵌套矩阵 $T_{i_1i_2\cdots i_n}$，定义

　　 这样，我们还可以把第一 Bianchi 恒等式表示为 $R_{a[bcd]}=0$，而把第二 Bianchi 恒等式表示为⁵$\nabla_{[e}R_{cd]ab}=0$.

1. ^ 注意下标的位置，$h^k$ 对应的下标在第一个。
2. ^ 注意，就是把上指标 $r$ 换成了 $i$，因为对于矩阵（或者抽象指标表示的线性变换）$a^i_j$，其迹的定义就是 $ \operatorname {trace}a^i_j=a^i_i$。
3. ^ 证明难点提示：考虑 $-g^{ar}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+g^{ar}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})$ 这一项，由于 $a, r$ 都是赝指标，故也可以同时调换，于是 $-g^{ar}(\partial_ig_{rt})(\partial_jg_{ka})+g^{ar}(\partial_jg_{rt})(\partial_ig_{ka})=-g^{ra}(\partial_ig_{at})(\partial_jg_{kr})+g^{ra}(\partial_jg_{at})(\partial_ig_{kr})$。此时再调换 $t, k$，就能得到 $-g^{ar}(\partial_ig_{rk})(\partial_jg_{ta})+g^{ar}(\partial_jg_{rk})(\partial_ig_{ta})$，刚好变成相反数。其它所有项都需要这样同时调换一下赝指标，从而看出 $t, k$ 调换以后变成相反数。
4. ^ 就是说，$\partial_aR_{tkij}=\partial_a(g_{rt}R^{r}_{kij})=g_{rt}\partial_aR^r_{kij}+R^r_{kij}\partial_ag_{rt}$。
5. ^ 借用对称性 $R_{abcd}=R_{cdab}$，并将 $\nabla_eR_{cdab}$ 认为是一个整体 $T_{ecbad}$，这样 $\nabla_{[e}R_{cd]ab}=T_{[ecb]ad}$。