Christoffel 符号

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　黎曼联络

未完成：黎曼联络可能不需要

　　流形的特点是局部与我们熟悉的欧几里得空间同胚。尽管我们经常讨论的是流形的内禀性质，不涉及具体的图或者嵌入，但是在实际应用的时候，比如计算广义相对论的现象时，我们却要关心特定图中的数值关系。本节引入的是著名的 Christoffel 符号，它描述了在特定图中联络的性质。Christoffel 的计算实例，请参考庞加莱半平面（微分几何计算实例）文章。

　　本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个带仿射联络的流形。

1. Christoffel 符号的概念

　　对于 $M$ 的任意一个图 $(U, φ)$ ，由于 $φ (U)$ 是一个欧几里得空间，即实数坐标空间，因此它的光滑向量场集合自带一组标准正交基 ${\frac{\partial}{\partial x^{i}}}$ 。为方便计，我们可以将每个导子 $\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ 简记为 $\partial_{i}$ 。

　　点 $φ (p) = (φ (p)_{1}, φ (p)_{2}, \dots) \in φ (U)$ 处和 $\partial_{i}$ 相对应的道路，可以取 $c_{i} : I \to φ (U)$ 为代表，其中 $c_{i} (0) = φ (p)_{i}$ ，且 $\frac{d}{d t} c_{i} (t) |_{t = 0} = 1$ 。

　　回忆切空间（欧几里得空间）中的讨论，导子和道路都是 “切向量” 这一对象的等价描述。上面给出导子后又给了对应的道路，是为了提示你该如何将 $φ (U)$ 中的切向量通过 $φ^{- 1}$ 映射为 $U \subseteq M$ 上的切向量。

　　每个图唯一对应一个量，称为 Christoffel 符号，如定义 1 所示。

定义 1　Christoffel 符号

　　对于 $M$ 的图 $(U, φ)$ ，易知 ${\partial_{i}}$ 是 $φ (U)$ 上光滑向量场的基，因此存在一组光滑函数 $Γ_{i j}^{k}$ ，使得

\begin{matrix} (1) & \nabla_{\partial_{i}} \partial_{j} = Γ_{i j}^{k} \partial_{k} . \end{matrix}

　　称 $Γ_{i j}^{k}$ 为联络 $\nabla$ 在图 $(U, φ)$ 上的Christoffel 符号（symbol），简称克氏符。

　　回忆爱因斯坦求和约定的规定， $Γ_{i j}^{k}$ 是由 $Γ$ 类型的元素构成的嵌套矩阵，这里每个元素都是一个光滑函数。如果固定 $i$ 和 $j$ ，那么 $Γ_{i j}^{k}$ 就是一个光滑函数构成的列矩阵，用来表示 $\partial_{k}$ 线性组合出 $\nabla_{\partial_{i}} \partial_{j}$ 的系数。

　　 Christoffel 符号的分量由所选择的图来决定，因此并不是流形上不变的量，这就把它和张量场区分开来。张量场的定义不依赖于图的选择，我们讨论的时候也都可以摆脱图来讨论，只不过当选定图了以后，一个张量场总可以表示为光滑函数的嵌套矩阵；但 Christoffel 符号就是依赖图来定义的，根本就没有脱离图的概念，所以要注意区分¹。

　　下面是一个重要的性质。

定理 1　无挠对称性

　　流形 $(M, \nabla)$ 是无挠的，当且仅当在任意图中， $Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ 。

　　证明：

　　 $\Rightarrow$ ：

　　因为无挠，故 $\nabla_{\partial_{i}} \partial_{j} - \nabla_{\partial_{j}} \partial_{i} = [\partial_{i}, \partial_{j}]$ 。而由于欧几里得空间中偏微分算子的交换性， $[\partial_{i}, \partial_{j}] = 0$ ，故 $\nabla_{\partial_{i}} \partial_{j} = \nabla_{\partial_{j}} \partial_{i}$ 。

　　又因为 ${\partial_{k}}$ 是线性不相关的，因此 $Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ 。

　　 $\Leftarrow$ ：

　　由习题 4 可知， $T (f \partial_{i}, g \partial_{j}) = f g T (\partial_{i}, \partial_{j})$ 。任意向量场都可以表示为 $f^{i} \partial_{i}$ 的形式，其中 $f^{i}$ 的类型是 “光滑函数”。

　　将任意两个光滑向量场分别表示成 $f^{i} \partial_{i}$ 和 $g^{j} \partial_{j}$ ，于是有

\begin{matrix} (2) & T (f^{i} \partial_{i}, g^{j} \partial_{j}) = f^{i} g^{j} T (\partial_{i}, \partial_{j}) = f^{i} g^{j} (Γ_{i j}^{k} \partial_{k} - Γ_{j i}^{k} \partial_{k} - [\partial_{i}, \partial_{j}]) . \end{matrix}

　　由于 $Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}$ ，且偏微分算子交换，故上式为 $0$ 。

　　证毕。

　　由于定理 1 ，无挠的联络也常被称为对称联络（symmetric connection）。

2. 相关计算

计算具体坐标系中的联络

习题 1　

　　设在 $M$ 的某个图（坐标系）中，联络 $\nabla$ 的 Christoffel 符号为 $Γ_{i j}^{k}$ ，那么对于任意两个向量场 $x^{i} \partial_{i}$ 和 $y^{j} \partial_{j}$ ，证明：

\begin{matrix} (3) & \nabla_{x^{i} \partial_{i}} (y^{j} \partial_{j}) = [x^{i} (\partial_{i} y^{s}) + x^{i} y^{j} Γ_{i j}^{s}] \partial_{s} . \end{matrix}

　　在具体坐标系中，我们往往为了简便，直接用坐标矩阵来代表一个向量，比如说将向量 $x^{i} \partial_{i}$ 表示为它的坐标矩阵 $x^{i}$ 。用这种坐标语言，式 3 就写为

\begin{matrix} (4) & \nabla_{x^{i}} y^{j} = x^{i} (\partial_{i} y^{s}) + x^{i} y^{j} Γ_{i j}^{s} . \end{matrix}

由度规张量导出 Christoffel 符号

　　在任意给定的坐标系中，黎曼度量用一个张量场 $g_{i j}$ 来表示，满足

\begin{matrix} (5) & < x^{i} \partial_{i}, y^{j} \partial_{j} >= x^{i} y^{j} g_{i j} . \end{matrix}

　　矩阵 $x^{i}, y^{j}$ 和嵌套矩阵 $g_{i j}$ 的元素类型是该参考系上的光滑函数，因此符合 “光滑向量场内积是光滑函数” 的性质。

　　由黎曼联络文章中的推论 1 ，黎曼度量唯一地确定一个对称联络，即黎曼联络。具体到给定坐标系上的时候，这条推论的含义就变成了 “度量张量场 $g_{i j}$ 决定了 Christoffel 符号 $Γ_{i j}^{k}$ ”。也就是说，我们应该可以用 $g_{i j}$ 计算出 $Γ_{i j}^{k}$ 。

　　考虑到偏微分算子的交换性，即 $[\partial_{a}, \partial_{b}] = 0$ 恒成立，代入式 6 后有：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} 2 < \nabla_{\partial_{i}} \partial_{j}, \partial_{k} > & = 2 < Γ_{i j}^{s} \partial_{s}, \partial_{k} > \\ = 2 Γ_{i j}^{s} g_{s k} \\ = \partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j} . \end{aligned} \end{matrix}

　　把式 6 的最后两行同时乘以 $g^{k r}$

\begin{matrix} (7) & 2 Γ_{i j}^{s} g_{s k} g^{k r} = g^{k r} (\partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j}) . \end{matrix}

　　由指标的升降的约定法则， $g_{s k} g^{k r} = δ_{s}^{r}$ ，进而有：

\begin{matrix} (8) & Γ_{i j}^{r} = \frac{1}{2} g^{k r} (\partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j}), \end{matrix}

　　式 8 就是 “（伪）黎曼度量在导出无挠联络” 在具体坐标系中的表示。

1. ^ 记住，不是所有有上下标的东西都是张量场的。上下标的表示法，只是对嵌套矩阵的简化表达而已。

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Christoffel 符号

1. Christoffel 符号的概念

定义 1 Christoffel 符号

定理 1 无挠对称性

2. 相关计算

计算具体坐标系中的联络

习题 1

由度规张量导出 Christoffel 符号

定义 1　Christoffel 符号

定理 1　无挠对称性

习题 1　