Christoffel符号

             

预备知识 联络形式与结构定理

   流形的特点是局部与我们熟悉的欧几里得空间同胚.尽管我们经常讨论的是流形的内禀性质,不涉及具体的图或者嵌入,但是在实际应用的时候,比如计算广义相对论的现象时,我们却要关心特定图中的数值关系.本节引入的是著名的 Christoffel 符号,它描述了在特定图中联络的性质.Christoffel 的计算实例,请参考庞加莱半平面(微分几何计算实例)词条.

   本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个带仿射联络的流形.

1. Christoffel 符号的概念

   对于 $M$ 的任意一个图 $(U, \varphi)$,由于 $\varphi(U)$ 是一个欧几里得空间,即实数坐标空间,因此它的光滑向量场集合自带一组标准正交基 $\{\frac{\partial}{\partial x^i}\}$.为方便计,我们可以将每个导子 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ 简记为 $\partial_i$.

   点 $\varphi(p)=(\varphi(p)_1, \varphi(p)_2, \cdots)\in\varphi(U)$ 处和 $\partial_i$ 相对应的道路,可以取 $c_i:I\to \varphi(U)$ 为代表,其中 $c_i(0)=\varphi(p)_i$,且 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }c_i(t)|_{t=0}=1$.

   回忆切空间(欧几里得空间)中的讨论,导子和道路都是 “切向量” 这一对象的等价描述.上面给出导子后又给了对应的道路,是为了提示你该如何将 $\varphi(U)$ 中的切向量通过 $\varphi^{-1}$ 映射为 $U\subseteq M$ 上的切向量.

   每个图唯一对应一个量,称为 Christoffel 符号,如定义 1 所示.

定义 1 Christoffel 符号

  

   对于 $M$ 的图 $(U, \varphi)$,易知 $\{\partial_i\}$ 是 $\varphi(U)$ 上光滑向量场的基,因此存在一组光滑函数 $\Gamma^k_{ij}$,使得

\begin{equation} \nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k \end{equation}

   称 $\Gamma^k_{ij}$ 为联络 $\nabla$ 在图 $(U, \varphi)$ 上的Christoffel 符号(symbol),简称克氏符

   回忆爱因斯坦求和约定的规定,$\Gamma^k_{ij}$ 是由 $\Gamma$ 类型的元素构成的嵌套矩阵,这里每个元素都是一个光滑函数.如果固定 $i$ 和 $j$,那么 $\Gamma^k_{ij}$ 就是一个光滑函数构成的列矩阵,用来表示 $\partial_k$ 线性组合出 $\nabla_{\partial_i}\partial_j$ 的系数.

   Christoffel 符号的分量由所选择的图来决定,因此并不是流形上不变的量,这就把它和张量场区分开来.张量场的定义不依赖于图的选择,我们讨论的时候也都可以摆脱图来讨论,只不过当选定图了以后,一个张量场总可以表示为光滑函数的嵌套矩阵;但 Christoffel 符号就是依赖图来定义的,根本就没有脱离图的概念,所以要注意区分1

   下面是一个重要的性质.

定理 1 无挠对称性

   流形 $(M, \nabla)$ 是无挠的,当且仅当在任意图中,$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$.

   证明

   $\Rightarrow$:

   因为无挠,故 $\nabla_{\partial_i}\partial_j-\nabla_{\partial_j}\partial_i=[\partial_i, \partial_j]$.而由于欧几里得空间中偏微分算子的交换性,$[\partial_i, \partial_j]=0$,故 $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\nabla_{\partial_j}\partial_i$.

   又因为 $\{\partial_k\}$ 是线性不相关的,因此 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$.

   $\Leftarrow$:

   由习题 4 可知,$T(f\partial_i, g\partial_j)=fgT(\partial_i, \partial_j)$.任意向量场都可以表示为 $f^i\partial_i$ 的形式,其中 $f^i$ 的类型是 “光滑函数”.

   将任意两个光滑向量场分别表示成 $f^i\partial_i$ 和 $g^j\partial_j$,于是有

\begin{equation} T(f^i\partial_i, g^j\partial_j)=f^ig^jT(\partial_i, \partial_j)=f^ig^j(\Gamma^k_{ij}\partial_k-\Gamma^k_{ji}\partial_k-[\partial_i, \partial_j]) \end{equation}

   由于 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$,且偏微分算子交换,故上式为 $0$.

   证毕

   由于定理 1 ,无挠的联络也常被称为对称联络(symmetric connection)

2. 相关计算

计算具体坐标系中的联络

习题 1 

   设在 $M$ 的某个图(坐标系)中,联络 $\nabla$ 的 Christoffel 符号为 $\Gamma^k_{ij}$,那么对于任意两个向量场 $x^i\partial_i$ 和 $y^j\partial_j$,证明:

\begin{equation} \nabla_{x^i\partial_i}(y^j\partial_j)=[x^i(\partial_iy^s)+x^iy^j\Gamma^s_{ij}]\partial_s \end{equation}

   在具体坐标系中,我们往往为了简便,直接用坐标矩阵来代表一个向量,比如说将向量 $x^i\partial_i$ 表示为它的坐标矩阵 $x^i$.用这种坐标语言,式 3 就写为

\begin{equation} \nabla_{x^i}y^j=x^i(\partial_iy^s)+x^iy^j\Gamma^s_{ij} \end{equation}

由度规张量导出 Christoffel 符号

   在任意给定的坐标系中,黎曼度量用一个张量场 $g_{ij}$ 来表示,满足

\begin{equation} < x^i\partial_i, y^j\partial_j > =x^iy^jg_{ij} \end{equation}

   矩阵 $x^i, y^j$ 和嵌套矩阵 $g_{ij}$ 的元素类型是该参考系上的光滑函数,因此符合 “光滑向量场内积是光滑函数” 的性质.

   由黎曼联络词条中的推论 1 ,黎曼度量唯一地确定一个对称联络,即黎曼联络.具体到给定坐标系上的时候,这条推论的含义就变成了 “度量张量场 $g_{ij}$ 决定了 Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$”.也就是说,我们应该可以用 $g_{ij}$ 计算出 $\Gamma^k_{ij}$.

   考虑到偏微分算子的交换性,即 $[\partial_a, \partial_b]=0$ 恒成立,代入式 6 后有:

\begin{equation} \begin{aligned} 2 < \nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k > &=2 < \Gamma^s_{ij}\partial_s, \partial_k > \\ &=2\Gamma^s_{ij}g_{sk}\\ &=\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij} \end{aligned} \end{equation}

   把式 6 的最后两行同时乘以 $g^{kr}$

\begin{equation} 2\Gamma^{s}_{ij}g_{sk}g^{kr}=g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}) \end{equation}

   由指标的升降的约定法则,$g_{sk}g^{kr}=\delta_s^r$,进而有:

\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}) \end{equation}

   式 8 就是 “(伪)黎曼度量在导出无挠联络” 在具体坐标系中的表示.


1. ^ 记住,不是所有有上下标的东西都是张量场的.上下标的表示法,只是对嵌套矩阵的简化表达而已.

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