Christoffel 符号

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　黎曼联络

　　

未完成：黎曼联络可能不需要

　　 流形的特点是局部与我们熟悉的欧几里得空间同胚。尽管我们经常讨论的是流形的内禀性质，不涉及具体的图或者嵌入，但是在实际应用的时候，比如计算广义相对论的现象时，我们却要关心特定图中的数值关系。本节引入的是著名的 Christoffel 符号，它描述了在特定图中联络的性质。Christoffel 的计算实例，请参考庞加莱半平面（微分几何计算实例）文章。

　　 本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个带仿射联络的流形。

1. Christoffel 符号的概念

　　 对于 $M$ 的任意一个图 $(U, \varphi)$，由于 $\varphi(U)$ 是一个欧几里得空间，即实数坐标空间，因此它的光滑向量场集合自带一组标准正交基 $\{\frac{\partial}{\partial x^i}\}$。为方便计，我们可以将每个导子 $\frac{\partial}{\partial x^i}$ 简记为 $\partial_i$。

　　 点 $\varphi(p)=(\varphi(p)_1, \varphi(p)_2, \cdots)\in\varphi(U)$ 处和 $\partial_i$ 相对应的道路，可以取 $c_i:I\to \varphi(U)$ 为代表，其中 $c_i(0)=\varphi(p)_i$，且 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }c_i(t)|_{t=0}=1$。

　　 回忆切空间（欧几里得空间）中的讨论，导子和道路都是 “切向量” 这一对象的等价描述。上面给出导子后又给了对应的道路，是为了提示你该如何将 $\varphi(U)$ 中的切向量通过 $\varphi^{-1}$ 映射为 $U\subseteq M$ 上的切向量。

　　 每个图唯一对应一个量，称为 Christoffel 符号，如定义 1 所示。

定义 1　Christoffel 符号

　　

　　 对于 $M$ 的图 $(U, \varphi)$，易知 $\{\partial_i\}$ 是 $\varphi(U)$ 上光滑向量场的基，因此存在一组光滑函数 $\Gamma^k_{ij}$，使得

\begin{equation} \nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k~. \end{equation}

　　 称 $\Gamma^k_{ij}$ 为联络 $\nabla$ 在图 $(U, \varphi)$ 上的Christoffel 符号（symbol），简称克氏符。

　　 回忆爱因斯坦求和约定的规定，$\Gamma^k_{ij}$ 是由 $\Gamma$ 类型的元素构成的嵌套矩阵，这里每个元素都是一个光滑函数。如果固定 $i$ 和 $j$，那么 $\Gamma^k_{ij}$ 就是一个光滑函数构成的列矩阵，用来表示 $\partial_k$ 线性组合出 $\nabla_{\partial_i}\partial_j$ 的系数。

　　 Christoffel 符号的分量由所选择的图来决定，因此并不是流形上不变的量，这就把它和张量场区分开来。张量场的定义不依赖于图的选择，我们讨论的时候也都可以摆脱图来讨论，只不过当选定图了以后，一个张量场总可以表示为光滑函数的嵌套矩阵；但 Christoffel 符号就是依赖图来定义的，根本就没有脱离图的概念，所以要注意区分1。

　　 下面是一个重要的性质。

定理 1　无挠对称性

　　 流形 $(M, \nabla)$ 是无挠的，当且仅当在任意图中，$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$。

　　 证明：

　　 $\Rightarrow$：

　　 因为无挠，故 $\nabla_{\partial_i}\partial_j-\nabla_{\partial_j}\partial_i=[\partial_i, \partial_j]$。而由于欧几里得空间中偏微分算子的交换性，$[\partial_i, \partial_j]=0$，故 $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\nabla_{\partial_j}\partial_i$。

　　 又因为 $\{\partial_k\}$ 是线性不相关的，因此 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$。

　　 $\Leftarrow$：

　　 由习题 4 可知，$T(f\partial_i, g\partial_j)=fgT(\partial_i, \partial_j)$。任意向量场都可以表示为 $f^i\partial_i$ 的形式，其中 $f^i$ 的类型是 “光滑函数”。

　　 将任意两个光滑向量场分别表示成 $f^i\partial_i$ 和 $g^j\partial_j$，于是有

\begin{equation} T(f^i\partial_i, g^j\partial_j)=f^ig^jT(\partial_i, \partial_j)=f^ig^j(\Gamma^k_{ij}\partial_k-\Gamma^k_{ji}\partial_k-[\partial_i, \partial_j])~. \end{equation}

　　 由于 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$，且偏微分算子交换，故上式为 $0$。

　　 证毕。

　　 由于定理 1 ，无挠的联络也常被称为对称联络（symmetric connection）。

2. 相关计算

计算具体坐标系中的联络

习题 1　

　　 设在 $M$ 的某个图（坐标系）中，联络 $\nabla$ 的 Christoffel 符号为 $\Gamma^k_{ij}$，那么对于任意两个向量场 $x^i\partial_i$ 和 $y^j\partial_j$，证明：

\begin{equation} \nabla_{x^i\partial_i}(y^j\partial_j)=[x^i(\partial_iy^s)+x^iy^j\Gamma^s_{ij}]\partial_s~. \end{equation}

　　 在具体坐标系中，我们往往为了简便，直接用坐标矩阵来代表一个向量，比如说将向量 $x^i\partial_i$ 表示为它的坐标矩阵 $x^i$。用这种坐标语言，式 3 就写为

\begin{equation} \nabla_{x^i}y^j=x^i(\partial_iy^s)+x^iy^j\Gamma^s_{ij}~. \end{equation}

由度规张量导出 Christoffel 符号

　　 在任意给定的坐标系中，黎曼度量用一个张量场 $g_{ij}$ 来表示，满足

\begin{equation} < x^i\partial_i, y^j\partial_j>=x^iy^jg_{ij}~. \end{equation}

　　 矩阵 $x^i, y^j$ 和嵌套矩阵 $g_{ij}$ 的元素类型是该参考系上的光滑函数，因此符合 “光滑向量场内积是光滑函数” 的性质。

　　 由黎曼联络文章中的推论 1 ，黎曼度量唯一地确定一个对称联络，即黎曼联络。具体到给定坐标系上的时候，这条推论的含义就变成了 “度量张量场 $g_{ij}$ 决定了 Christoffel 符号 $\Gamma^k_{ij}$”。也就是说，我们应该可以用 $g_{ij}$ 计算出 $\Gamma^k_{ij}$。

　　 考虑到偏微分算子的交换性，即 $[\partial_a, \partial_b]=0$ 恒成立，代入式 6 后有：

\begin{equation} \begin{aligned} 2<\nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k>&=2<\Gamma^s_{ij}\partial_s, \partial_k>\\ &=2\Gamma^s_{ij}g_{sk}\\ &=\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}~. \end{aligned} \end{equation}

　　 把式 6 的最后两行同时乘以 $g^{kr}$

\begin{equation} 2\Gamma^{s}_{ij}g_{sk}g^{kr}=g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij})~. \end{equation}

　　 由指标的升降的约定法则，$g_{sk}g^{kr}=\delta_s^r$，进而有：

\begin{equation} \Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij})~, \end{equation}

　　 式 8 就是 “（伪）黎曼度量在导出无挠联络” 在具体坐标系中的表示。

1. ^ 记住，不是所有有上下标的东西都是张量场的。上下标的表示法，只是对嵌套矩阵的简化表达而已。


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