爱因斯坦场方程（含宇宙项）

贡献者： int256

预备知识　爱因斯坦场方程，第二 Bianchi 恒等式（微分）

　　在爱因斯坦推出场方程的年代（约 $1916$ 年），人们一般认为宇宙是静止不动的。但根据当时的爱因斯坦场方程 $G_{μ ν} = 8 π G T_{μ ν}$ ，人们意识到这使得宇宙是正在膨胀或收缩的。（实际上银河系以外存在其他星系都是在 $1924$ 年被埃德温·哈勃首次发现的。）

　　为此，由第二 Bianchi 恒等式（微分）不难想到，为了仍保证能量守恒，只能对原本的场方程修正。原本的场方程只剩下一个额外自由度，为此，爱因斯坦在场方程左边加上了一个常数 $Λ$ 与度规 $g$ 的乘积，得到了宇宙场方程。

定理 1　爱因斯坦宇宙场方程

　　 $G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = 8 π G T_{μ ν} .$ 物理意义是宇宙真空场，修正项 $Λ g_{μ ν}$ 称为宇宙项。

　　在修正添加的 $12$ 年后，也就是 $1929$ 年，哈勃发现所有星系都有远离我们的趋势，这使得宇宙是正在膨胀的大概率是正确的，几乎印证了宇宙场方程的正确性。

　　 $1998$ 年，通过观测在爆炸中的白矮星（Ia 型超新星），发现宇宙正在加速膨胀，再次印证了宇宙场方程的正确性。

　　在这种情况下，可以改写能量-动量张量：

\begin{matrix} (1) & {T_{ν}^{'}}^{μ} = g_{μ λ} T_{λ ν}^{'} = T_{ν}^{μ} + \frac{Λ}{8 π G} δ_{ν}^{μ} . \end{matrix}

从而有对应于宇宙学常数的能量密度与压强

\begin{matrix} (2) & ρ_{Λ} = Λ / (8 π G), P_{Λ} = - Λ / (8 π G) . \end{matrix}

因此，宇宙学常数提供负压强，在当时的认知下，这可以抵消物质、辐射产生的正压强使宇宙保持静态。

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爱因斯坦场方程（含宇宙项）

定理 1 爱因斯坦宇宙场方程

定理 1　爱因斯坦宇宙场方程