爱因斯坦场方程(含宇宙项)

                     

贡献者: int256

预备知识 爱因斯坦场方程第二 Bianchi 恒等式(微分)

   在爱因斯坦推出场方程的年代(约 $1916$ 年),人们一般认为宇宙是静止不动的。但根据当时的爱因斯坦场方程 $ G_{\mu \nu} = 8 \pi G T_{\mu \nu}$,人们意识到这使得宇宙是正在膨胀或收缩的。(实际上银河系以外存在其他星系都是在 $1924$ 年被埃德温·哈勃首次发现的。)

   为此,由第二 Bianchi 恒等式(微分)不难想到,为了仍保证能量守恒,只能对原本的场方程修正。原本的场方程只剩下一个额外自由度,为此,爱因斯坦在场方程左边加上了一个常数 $\Lambda$ 与度规 $g$ 的乘积,得到了宇宙场方程。

定理 1 爱因斯坦宇宙场方程

   $$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = 8\pi G T_{\mu \nu} ~.$$ 物理意义是宇宙真空场,修正项 $\Lambda g_{\mu \nu}$ 称为宇宙项

   在修正添加的 $12$ 年后,也就是 $1929$ 年,哈勃发现所有星系都有远离我们的趋势,这使得宇宙是正在膨胀的大概率是正确的,几乎印证了宇宙场方程的正确性。

   $1998$ 年,通过观测在爆炸中的白矮星(Ia 型超新星),发现宇宙正在加速膨胀,再次印证了宇宙场方程的正确性。

   在这种情况下,可以改写能量-动量张量

\begin{equation} {{T_{\nu}'}^{\mu}} = g_{\mu \lambda} T_{\lambda \nu}' = T_{\nu}^{\mu} + \frac{\Lambda}{8 \pi G} \delta_{\nu}^{\mu} ~. \end{equation}
从而有对应于宇宙学常数的能量密度与压强
\begin{equation} \rho_\Lambda = \Lambda/(8 \pi G), P_\Lambda = -\Lambda/(8 \pi G) ~. \end{equation}
因此,宇宙学常数提供负压强,在当时的认知下,这可以抵消物质、辐射产生的正压强使宇宙保持静态。


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