电磁场的作用量

                     

贡献者： _Eden_

　　 我们继续使用自然单位制，令 ${\mu }_0={ϵ}_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu ,\nu$ 时，取值范围为 $\{0,1,2,3\}$；使用拉丁字母如 $i,j$ 时，取值范围为 $\{1,2,3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。

1. 自由电磁场的作用量

　　 我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空，仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性，是个洛伦兹标量，它可以由电磁场张量来构造：

其中 $\mathcal{L}=-\frac{1}{16\pi }{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$ 为自由电磁场的拉氏密度。由于 $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$，对整个四维时空上的 $A^{\mu }$ 做一个变分 $\delta A^{\mu }$， 根据最小作用量原理，$\delta S=0$。由此可以推出自由电磁场的变化方程 上面的推导过程中用了分部积分，需要限制 $\delta A^{\nu }$ 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=0$ 对应着麦克斯韦方程组中的 麦克斯韦方程组中的另两个方程 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0,\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$ 已经蕴含在了 $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$ 中¹。

2. 电磁场的作用量

　　 现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用，需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的，为此引入电荷密度 $\rho (x^{\mu })$，电流密度 $\mathbf{J}(x^{\mu })$。那么单个带电粒子的 $q(\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}t)$ 就相当于 $\rho (\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}t){\mathrm{d}}^{3}x=J^{\mu }{\mathrm{d}}^{3}x$，其中 $J^{\mu }=(\rho ,J_x,J_y,J_z)$。电磁场中粒子的作用量可以改写为

再引入自由电磁场的作用量式 1 ，就可以得到电磁场的作用量的完整形式：

　　 考虑固定四维时空上的 $J^{\mu }$ 不变，对 $A_{\mu }$ 做一个变分 $\delta A_{\mu }$，由最小作用量原理，$\delta S=0$，由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组：

由最小作用量原理推出的 ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=-4\pi J^{\nu }$ 对应着麦克斯韦方程组中的

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1. ^ 由 $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$ 可以推出 Bianchi 恒等式：${\partial }_{\mu }{F}_{\nu \rho }+{\partial }_{\nu }{F}_{\rho \mu }+{\partial }_{\rho }{F}_{\mu \nu }=0$，由此可以导出另两个麦克斯韦方程。