电磁场的作用量

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 电磁场中粒子的拉氏量,经典场论基础

   我们继续使用自然单位制,令 μ0=ϵ0=c=1 来简化表达。依照习惯,上下标使用希腊字母如 μ,ν 时,取值范围为 {0,1,2,3};使用拉丁字母如 i,j 时,取值范围为 {1,2,3}。约定闵氏时空度规为 (1,1,1,1)

1. 自由电磁场的作用量

   我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空,仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性,是个洛伦兹标量,它可以由电磁场张量来构造:

(1)S=Ld4x=116πFμνFμνd4x ,
其中 L=116πFμνFμν 为自由电磁场的拉氏密度。由于 Fμν=μAννAμ,对整个四维时空上的 Aμ 做一个变分 δAμ, 根据最小作用量原理,δS=0。由此可以推出自由电磁场的变化方程
(2)δS=116π(δFμνFμν+FμνδFμν)d4x=116π(2δ(μAννAμ))Fμν)d4x=14πFμνμδAνd4x=14πδAνμFμνd4x=0μFμν=0 .
上面的推导过程中用了分部积分,需要限制 δAν 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 μFμν=0 对应着麦克斯韦方程组中的
(3)E=0,×BEt=0 .
麦克斯韦方程组中的另两个方程 ×E+Bt=0,B=0 已经蕴含在了 Fμν=μAννAμ1

2. 电磁场的作用量

   现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用,需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的,为此引入电荷密度 ρ(xμ),电流密度 J(xμ)。那么单个带电粒子的 q(dxμ/dt) 就相当于 ρ(dxμ/dt)d3x=Jμd3x,其中 Jμ=(ρ,Jx,Jy,Jz)。电磁场中粒子的作用量可以改写为

(4)S=mdxμdxμ+AμJμd3xdt=mdτ+AμJμd4x .
再引入自由电磁场的作用量式 1 ,就可以得到电磁场的作用量的完整形式:
(5)S=mdτ+(116πFμνFμν+AμJμ)d4x .

   考虑固定四维时空上的 Jμ 不变,对 Aμ 做一个变分 δAμ,由最小作用量原理,δS=0,由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组:

(6)δS=14π(μFμν)δAνd4x+JμδAμd4x=14π(μFμν+4πJν)δAνd4xμFμν=4πJν .
由最小作用量原理推出的 μFμν=4πJν 对应着麦克斯韦方程组中的
(7)E=4πρ,×BEt=4πJ .


1. ^Fμν=μAννAμ 可以推出 Bianchi 恒等式:μFνρ+νFρμ+ρFμν=0,由此可以导出另两个麦克斯韦方程。


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