电磁场的作用量
贡献者: _Eden_
我们继续使用自然单位制,令 来简化表达。依照习惯,上下标使用希腊字母如 时,取值范围为 ;使用拉丁字母如 时,取值范围为 。约定闵氏时空度规为 。
1. 自由电磁场的作用量
我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空,仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性,是个洛伦兹标量,它可以由电磁场张量来构造:
其中 为自由电磁场的拉氏密度。由于 ,对整个四维时空上的 做一个变分 ,
根据最小作用量原理,。由此可以推出自由电磁场的变化方程
上面的推导过程中用了分部积分,需要限制 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 对应着麦克斯韦方程组中的
麦克斯韦方程组中的另两个方程 已经蕴含在了 中
1。
2. 电磁场的作用量
现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用,需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的,为此引入电荷密度 ,电流密度 。那么单个带电粒子的 就相当于 ,其中 。电磁场中粒子的作用量可以改写为
再引入自由电磁场的作用量
式 1 ,就可以得到电磁场的作用量的完整形式:
考虑固定四维时空上的 不变,对 做一个变分 ,由最小作用量原理,,由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组:
由最小作用量原理推出的 对应着麦克斯韦方程组中的
1. ^ 由 可以推出 Bianchi 恒等式:,由此可以导出另两个麦克斯韦方程。
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