电磁场的作用量

                     

贡献者： _Eden_

　　 我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。

1. 自由电磁场的作用量

　　 我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空，仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性，是个洛伦兹标量，它可以由电磁场张量来构造：

其中 $\mathcal L=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ 为自由电磁场的拉氏密度。由于 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu$，对整个四维时空上的 $A^\mu$ 做一个变分 $\delta A^\mu$， 根据最小作用量原理，$\delta S=0$。由此可以推出自由电磁场的变化方程 上面的推导过程中用了分部积分，需要限制 $\delta A^\nu$ 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ 对应着麦克斯韦方程组中的 麦克斯韦方程组中的另两个方程 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t}=0,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 已经蕴含在了 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 中¹。

2. 电磁场的作用量

　　 现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用，需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的，为此引入电荷密度 $\rho(x^\mu)$，电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} (x^\mu)$。那么单个带电粒子的 $q( \,\mathrm{d}{x} ^\mu/ \,\mathrm{d}{t} )$ 就相当于 $\rho ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu / \,\mathrm{d}{t} ) { \,\mathrm{d}{}} ^3 x=J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x$，其中 $J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)$。电磁场中粒子的作用量可以改写为

再引入自由电磁场的作用量式 1 ，就可以得到电磁场的作用量的完整形式：

　　 考虑固定四维时空上的 $J^\mu$ 不变，对 $A_\mu$ 做一个变分 $\delta A_\mu$，由最小作用量原理，$\delta S=0$，由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组：

由最小作用量原理推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu$ 对应着麦克斯韦方程组中的

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1. ^ 由 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 可以推出 Bianchi 恒等式：$\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=0$，由此可以导出另两个麦克斯韦方程。