电磁场的作用量

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 电磁场中粒子的拉氏量,经典场论基础

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。

1. 自由电磁场的作用量

   我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空,仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性,是个洛伦兹标量,它可以由电磁场张量来构造:

\begin{equation} S=\int {\mathcal L} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x=-\frac{1}{16\pi}\int F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}{ \,\mathrm{d}{}} ^4 x ~, \end{equation}
其中 $\mathcal L=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ 为自由电磁场的拉氏密度。由于 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu$,对整个四维时空上的 $A^\mu$ 做一个变分 $\delta A^\mu$, 根据最小作用量原理,$\delta S=0$。由此可以推出自由电磁场的变化方程
\begin{equation} \begin{aligned} \delta S&=-\frac{1}{16\pi}\int (\delta F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+F^{\mu\nu}\delta F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=-\frac{1}{16\pi}\int (2\delta (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)) F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int F_{\mu\nu}\partial^\mu \delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=\frac{1}{4\pi}\int \delta A^\nu\partial^\mu F_{\mu\nu} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \\ &=0\\ \Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=0~. \end{aligned} \end{equation}
上面的推导过程中用了分部积分,需要限制 $\delta A^\nu$ 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation} \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =0,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=0~. \end{equation}
麦克斯韦方程组中的另两个方程 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t}=0,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 已经蕴含在了 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 中1

2. 电磁场的作用量

   现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用,需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的,为此引入电荷密度 $\rho(x^\mu)$,电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} (x^\mu)$。那么单个带电粒子的 $q( \,\mathrm{d}{x} ^\mu/ \,\mathrm{d}{t} )$ 就相当于 $\rho ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu / \,\mathrm{d}{t} ) { \,\mathrm{d}{}} ^3 x=J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x$,其中 $J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)$。电磁场中粒子的作用量可以改写为

\begin{equation} \begin{aligned} S&=-\sum{m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}}+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x \,\mathrm{d}{t} \\ &=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x~. \end{aligned} \end{equation}
再引入自由电磁场的作用量式 1 ,就可以得到电磁场的作用量的完整形式:
\begin{equation} S=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int \left(-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \right) { \,\mathrm{d}{}} ^4 x~. \end{equation}

   考虑固定四维时空上的 $J^\mu$ 不变,对 $A_\mu$ 做一个变分 $\delta A_\mu$,由最小作用量原理,$\delta S=0$,由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组:

\begin{equation} \begin{aligned} \delta S&=\frac{1}{4\pi}\int (\partial^\mu F_{\mu\nu})\delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x +\int J^\mu \delta A_\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=\frac{1}{4\pi}\int (\partial_\mu F^{\mu\nu}+4\pi J^\nu)\delta A_\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ \Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu~. \end{aligned} \end{equation}
由最小作用量原理推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =4\pi \rho,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} ~. \end{equation}


1. ^ 由 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 可以推出 Bianchi 恒等式:$\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=0$,由此可以导出另两个麦克斯韦方程。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利