电磁场的作用量

             

贡献者: _Eden_

预备知识 电磁场中粒子的拉氏量,经典场论基础

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达.依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$.约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$.

1. 自由电磁场的作用量

   我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空,仅考虑自由电磁场的作用量.我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性,是个洛伦兹标量,它可以由电磁场张量来构造:

\begin{equation} S=\int {\mathcal L} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x=-\frac{1}{16\pi}\int F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}{ \,\mathrm{d}{}} ^4 x \end{equation}
其中 $\mathcal L=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ 为自由电磁场的拉氏密度.由于 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu$,对整个四维时空上的 $A^\mu$ 做一个变分 $\delta A^\mu$, 根据最小作用量原理,$\delta S=0$.由此可以推出自由电磁场的变化方程
\begin{equation} \begin{aligned} \delta S&=-\frac{1}{16\pi}\int (\delta F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+F^{\mu\nu}\delta F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=-\frac{1}{16\pi}\int (2\delta (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)) F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int F_{\mu\nu}\partial^\mu \delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=\frac{1}{4\pi}\int \delta A^\nu\partial^\mu F_{\mu\nu} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \\ &=0\\ \Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \end{aligned} \end{equation}
上面的推导过程中用了分部积分,需要限制 $\delta A^\nu$ 在足够大的边界上消失.由最小作用量推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation} \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =0,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=0 \end{equation}
麦克斯韦方程组中的另两个方程 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t}=0,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 已经蕴含在了 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 中1

2. 电磁场的作用量

   现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用,需要引入场源的作用量式 6 .我们设想电荷是连续分布在空间的,为此引入电荷密度 $\rho(x^\mu)$,电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} (x^\mu)$.那么单个带电粒子的 $q( \,\mathrm{d}{x} ^\mu/ \,\mathrm{d}{t} )$ 就相当于 $\rho ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu / \,\mathrm{d}{t} ) { \,\mathrm{d}{}} ^3 x=J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x$,其中 $J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)$.电磁场中粒子的作用量可以改写为

\begin{equation} \begin{aligned} S&=-\sum{m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}}+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x \,\mathrm{d}{t} \\ &=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \end{aligned} \end{equation}
再引入自由电磁场的作用量式 1 ,就可以得到电磁场的作用量的完整形式:
\begin{equation} S=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int \left(-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \right) { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \end{equation}

   考虑固定四维时空上的 $J^\mu$ 不变,对 $A_\mu$ 做一个变分 $\delta A_\mu$,由最小作用量原理,$\delta S=0$,由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组:

\begin{equation} \begin{aligned} \delta S&=\frac{1}{4\pi}\int (\partial^\mu F_{\mu\nu})\delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x +\int J^\mu \delta A_\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ &=\frac{1}{4\pi}\int (\partial_\mu F^{\mu\nu}+4\pi J^\nu)\delta A_\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\ \Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu \end{aligned} \end{equation}
由最小作用量原理推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =4\pi \rho,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} \end{equation}


1. ^ 由 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 可以推出 Bianchi 恒等式:$\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=0$,由此可以导出另两个麦克斯韦方程.


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