Euler-Maclaurin 求和公式

                     

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　　 与自然数有关形式的求和公式一般并不容易求出，数学家 Euler 想到了利用原函数来拟合和函数。下面我们先介绍一个较为简单的 Euler 求和公式，它在一般情况下已经是一个较好的结果。而完整的 Euler-Macluarin 求和公式分别由 Euler 和 Maclaurin 独立发现，前者主要应用于求和函数，后者利用它来处理数值积分。

Euler 求和公式

　　 证明如下：将区间 $[0,n]$ 划分为长度为 $1$ 的小区间 $[k-1,k](k=1,2,\cdots,n)$，则 ​\[ \int_{k-1}^{k}\psi(x)f'(x)\, \,\mathrm{d}{x} =\frac{f(k)+f(k-1)}{2}-\int_{k-1}^{k}f(x)\, \,\mathrm{d}{x} ~. \] ​对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和，于是 ​\[ \int_{0}^{n}\psi(x)f'(x)\, \,\mathrm{d}{x} =\sum_{k=1}^{n}f(k)-\frac{f(n)-f(0)}{2}-\int_{0}^{n}f(x)\, \,\mathrm{d}{x} ~, \] 这样就证明了 Euler 求和公式。注意到式 1 右端积分比较复杂，一般情况下仅仅估计其上界便可得到较为不错的结果。设函数 $f\in{C^1[0,+\infty)}$，再设函数 $\varphi(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}\psi(t)\, \,\mathrm{d}{t} }$，易知该函数周期为 $1$，且 $-1/8\leqslant\varphi(x)\leqslant 0$，因此 \[ \left|\int_{0}^{n}\psi(x)f'(x)\, \,\mathrm{d}{x} \right| =\left|\int_{0}^{n}\varphi(x)f''(x)\mathrm{d}x\right| \leqslant\frac{|f'(n)-f'(0)|}{8}~. \]

　　 在实际情况中，更为常见的是函数 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上可微，则补充定义 $ f\equiv 0,x\in[0,1)$。在式 1 中令 $n=1$,从而 \[ \int_{0}^{1-\delta}\psi(x)f'(x)\mathrm{d}x =\frac{f(1-\delta)+f(0)}{2}-\int_{0}^{1-\delta}f(x)\, \,\mathrm{d}{x} =0~. \] 由于令 $\delta\to0+0$ 时，极限存在且为 $0$，则对于在区间 $[1,+\infty)$ 连续可微函数 $f$ 就有

在式 2 式中，若积分 $\displaystyle{\int_{1}^{\infty}\psi(x)f'(x)\, \,\mathrm{d}{x} }$ 收敛，则

1. Bernoulli 数与 Bernoulli 多项式

　　 前面我们已经得到了一个较为不错的求和式，为了得到更精确的结果，我们需要深入分析式 1 右端积分的一些性质，为此引入 Bernoulli 数和 Bernoulli 多项式。

　　 由 Taylor 公式和 Cauchy 乘积，对照系数就有

依据式 8 ，计算前 10 项 Bernoulli 数（由生成函数定义就有 $B_{0}=1$）。列举如下：

　　 事实上，通过一定的计算可以发现似乎对于 $n\in\mathbb N^+$，有 $B_{2n+1}=0$。下面我们借助复分析给出一个较为简洁的证明。
不妨设函数 \[ f(z)=\frac{z}{ \mathrm{e} ^{z}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\frac{z^{k}}{k!}\quad|z|<2\pi~. \] 设圆周 $\gamma:|z|=1$, 可知 $f(z)$ 在 $|z|\leq 1$ 内解析，因此函数 $\dfrac{f(z)}{z^{2n+2}}$ 在 $|z|\leq 1$ 的洛朗展开式为 \[ \frac{f(z)}{z^{2n+2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}{z^{k-2n-2}}\quad n\in\mathbb N~. \] 由留数定理可得 \[ \oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z^{2 n+2}}\, \,\mathrm{d}{z} =2\pi\mathrm i\cdot\frac{B_{2 n+1}}{(2n+1)!}~. \] 于是就有 \[ B_{2n+1}=\frac{(2n+1)!}{2\pi\mathrm i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z^{2 n+2}}\, \,\mathrm{d}{z} ~. \] 应用 Euler 公式作代换 $z= \mathrm{e} ^{\mathrm i\theta}$，则有 $$ \begin{aligned} B_{2n+1}&=\frac{(2n+1)!}{2\pi\mathrm i}\int_{0}^{2\pi}\frac{ \mathrm{e} ^{\mathrm i\theta}}{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{e} ^{\mathrm i\theta}}-1} \mathrm{e} ^{-2n\mathrm i\theta-2\mathrm i\theta}\mathrm i \mathrm{e} ^{i \theta}\, \,\mathrm{d}{\theta} =\frac{(2n+1)!}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{ \mathrm{e} ^{-2n\mathrm i\theta}}{ \mathrm{e} ^{\mathrm i\theta}-1}\, \,\mathrm{d}{\theta} \\ &=\frac{(2n+1)!}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{ \mathrm{e} ^{-2n\mathrm i\theta}}{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{e} ^{\mathrm i\theta}}-1}\, \,\mathrm{d}{\theta} +\frac{(2n+1)!}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{ \mathrm{e} ^{-2n\mathrm i\theta}}{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{e} ^{-\mathrm i\theta}}-1}\, \,\mathrm{d}{\theta} \\ &=\frac{(2 n+1)!}{2\pi}\int_{0}^{\pi}- \mathrm{e} ^{-2n\mathrm i\theta}\, \,\mathrm{d}{\theta} ~. \end{aligned} $$ 可以看出对于任意的 $n\in\mathbb N^+$，有 $B_{2n+1}=0$。

　　 利用 Cauchy 乘积，并比较系数可得

对式 10 求导，故有 两边同时积分，因此 不妨记 $\bar{B}_{n}(x)=B_{n}(\{x\})$，注意到 $\bar{B}_{n}(x)$ 是一个周期为 1 的函数，则 应用式，计算前 5 项 Bernoulli 多项式，列举如下：

　　 考虑在区间 $[0,1]$ 上将 $B_{2n}(x),n\in{\mathbb N^{+}}$ 展开为 Fourier 级数： \[ B_{2n}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}[a_{m} \cos\left(2m\pi x\right) +b_{m} \sin\left(2m\pi x\right) ]~. \] 可求得其系数为

于是就有 令 $x=1$,可推出 可以看到，当 $n=2$ 时 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}~. \] 这就是著名的 Basel 问题的精确解答。同时，借助 Bernouolli 数和 可以较容易地得到自然数幂求和公式。 下面将介绍本篇的求和最终公式，它能得到常见初等函数的求和极为精确的结果。

2. Euler-Maclaurin 求和公式

　　 Euler-Maclaurin 求和公式是有关定积分的一种数值计算公式，它建立了函数的积分与其导数的联系。在数值积分理论与级数求和法中，Euler-Maclaurin 求和公式是一个极有用的工具。

　　 由式 13 可知

代入式 1 即可得证。

　　 同样地，式 17 和式 20 可如同式 2 进行类似地改写。 只须证明 $\lim\limits_{K\to\infty}R_{2K+1}(n)=0$ 对于任意给定的 $n\in{\mathbb N^{+}}$ 都成立。 可设 $|f^{(\alpha)}|\leqslant M(\alpha\in{\mathbb N})$，结合，就有

从而 \[ \lim\limits_{K\to\infty}R_{2K+1}(n)=0 ~. \] 注意当 $K$ 较大时，相应的余项的绝对值也会非常大，因此在近似计算时不宜将 的项数取的过多。

　　 考虑如下积分

计算可得 \[ nI_{n}=(n-1)I_{n-2}\Rightarrow I_{n}=\frac{(n-1)!!}{n!!} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1+(-1)^n}{2}}, \quad (n\geqslant2)~. \] 在 $0< x<\pi/2$ 时，$0<\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x(n\in{\mathbb{N}^{+}})$,积分就有 \[ I_{2n+1}< I_{2n}< I_{2n-1}~. \] 即 \[ \alpha_{n}=\frac{1}{2n+1}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2<\frac{\pi}{2}<\frac{1}{2n}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2=\beta_{n}~, \] 从而 \[ 0<\frac{\pi}{2}-\alpha_{n}<\beta_{n}-\alpha_{n}=\frac{\alpha_{n}}{2n}<\frac{\pi}{4n}~, \] 由迫敛性即可得证。