Euler-Maclaurin 求和公式

                     

贡献者： spain; addis

　　 与自然数有关形式的求和公式一般并不容易求出，数学家 Euler 想到了利用原函数来拟合和函数。下面我们先介绍一个较为简单的 Euler 求和公式，它在一般情况下已经是一个较好的结果。而完整的 Euler-Macluarin 求和公式分别由 Euler 和 Maclaurin 独立发现，前者主要应用于求和函数，后者利用它来处理数值积分。

Euler 求和公式

　　 证明如下：将区间 $[0,n]$ 划分为长度为 $1$ 的小区间 $[k-1,k](k=1,2,\cdots ,n)$，则 ​$${\int }_{k-1}^k\psi (x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{f(k)+f(k-1)}{2}-{\int }_{k-1}^{k}f(x)\mathrm{d}x.$$ ​对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和，于是 ​$${\int }_0^n\psi (x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=1}^{n}f(k)-\frac{f(n)-f(0)}{2}-{\int }_0^{n}f(x)\mathrm{d}x,$$ 这样就证明了 Euler 求和公式。注意到式 1 右端积分比较复杂，一般情况下仅仅估计其上界便可得到较为不错的结果。设函数 $f\in C^1[0,+\mathrm{\infty })$，再设函数 $\phi (x)={\displaystyle {\int }_0^x\psi (t)\mathrm{d}t}$，易知该函数周期为 $1$，且 $-1/8⩽\phi (x)⩽0$，因此 $$|{\int }_0^n\psi (x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x|=|{\int }_0^n\phi (x)f^{″}(x)\mathrm{d}x|⩽\frac{|f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0)|}{8}.$$

　　 在实际情况中，更为常见的是函数 $f$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上可微，则补充定义 $f\equiv 0,x\in [0,1)$。在式 1 中令 $n=1$,从而 $${\int }_0^{1-\delta }\psi (x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{f(1-\delta )+f(0)}{2}-{\int }_0^{1-\delta }f(x)\mathrm{d}x=0.$$ 由于令 $\delta \to 0+0$ 时，极限存在且为 $0$，则对于在区间 $[1,+\mathrm{\infty })$ 连续可微函数 $f$ 就有

在式 2 式中，若积分 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\psi (x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x}$ 收敛，则

1. Bernoulli 数与 Bernoulli 多项式

　　 前面我们已经得到了一个较为不错的求和式，为了得到更精确的结果，我们需要深入分析式 1 右端积分的一些性质，为此引入 Bernoulli 数和 Bernoulli 多项式。

　　 由 Taylor 公式和 Cauchy 乘积，对照系数就有

依据式 8 ，计算前 10 项 Bernoulli 数（由生成函数定义就有 $B_0=1$）。列举如下：

　　 事实上，通过一定的计算可以发现似乎对于 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$，有 $B_{2n+1}=0$。下面我们借助复分析给出一个较为简洁的证明。
不妨设函数 $$f(z)=\frac{z}{{\mathrm{e}}^z-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\frac{z^k}{k!}|z|<2\pi .$$ 设圆周 $\gamma :|z|=1$, 可知 $f(z)$ 在 $|z|\le 1$ 内解析，因此函数 ${\displaystyle \frac{f(z)}{z^{2n+2}}}$ 在 $|z|\le 1$ 的洛朗展开式为 $$\frac{f(z)}{z^{2n+2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}{z}^{k-2n-2}n\in \mathbb{N}.$$ 由留数定理可得 $${\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z^{2n+2}}\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\cdot \frac{B_{2n+1}}{(2n+1)!}.$$ 于是就有 $$B_{2n+1}=\frac{(2n+1)!}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z^{2n+2}}\mathrm{d}z.$$ 应用 Euler 公式作代换 $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，则有 $$\begin{array}{rl}{B}_{2n+1}& =\frac{(2n+1)!}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_0^{2\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}-1}{\mathrm{e}}^{-2n\mathrm{i}\theta -2\mathrm{i}\theta }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{i\theta }\mathrm{d}\theta =\frac{(2n+1)!}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\mathrm{i}\theta }}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-1}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{(2n+1)!}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\mathrm{i}\theta }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}-1}\mathrm{d}\theta +\frac{(2n+1)!}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{-2n\mathrm{i}\theta }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}-1}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{(2n+1)!}{2\pi }{\int }_0^{\pi }-{\mathrm{e}}^{-2n\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta .\end{array}$$ 可以看出对于任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$，有 $B_{2n+1}=0$。

　　 利用 Cauchy 乘积，并比较系数可得

对式 10 求导，故有 两边同时积分，因此 不妨记 ${\overline{B}}_n(x)=B_n(\{x\})$，注意到 ${\overline{B}}_n(x)$ 是一个周期为 1 的函数，则 应用式，计算前 5 项 Bernoulli 多项式，列举如下：

　　 考虑在区间 $[0,1]$ 上将 $B_{2n}(x),n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 展开为 Fourier 级数： $$B_{2n}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}[a_m\cos \left(2m\pi x\right)+b_m\sin \left(2m\pi x\right)].$$ 可求得其系数为

于是就有 令 $x=1$,可推出 可以看到，当 $n=2$ 时 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$ 这就是著名的 Basel 问题的精确解答。同时，借助 Bernouolli 数和 可以较容易地得到自然数幂求和公式。 下面将介绍本篇的求和最终公式，它能得到常见初等函数的求和极为精确的结果。

2. Euler-Maclaurin 求和公式

　　 Euler-Maclaurin 求和公式是有关定积分的一种数值计算公式，它建立了函数的积分与其导数的联系。在数值积分理论与级数求和法中，Euler-Maclaurin 求和公式是一个极有用的工具。

　　 由式 13 可知

代入式 1 即可得证。

　　 同样地，式 17 和式 20 可如同式 2 进行类似地改写。 只须证明 $\underset{K\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{2K+1}(n)=0$ 对于任意给定的 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 都成立。 可设 $|f^{(\alpha )}|⩽M(\alpha \in \mathbb{N})$，结合，就有

从而 $$\underset{K\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{2K+1}(n)=0.$$ 注意当 $K$ 较大时，相应的余项的绝对值也会非常大，因此在近似计算时不宜将 的项数取的过多。

　　 考虑如下积分

计算可得 $$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}\Rightarrow I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{\frac{1+(-1{)}^n}{2}},(n⩾2).$$ 在 $0<x<\pi /2$ 时，$0<{\sin }^{2n+1}x<{\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x(n\in {\mathbb{N}}^{+})$,积分就有 $$I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}.$$ 即 $${\alpha }_n=\frac{1}{2n+1}{\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]}^2<\frac{\pi }{2}<\frac{1}{2n}{\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]}^2={\beta }_n,$$ 从而 $$0<\frac{\pi }{2}-{\alpha }_n<{\beta }_n-{\alpha }_n=\frac{{\alpha }_n}{2n}<\frac{\pi }{4n},$$ 由迫敛性即可得证。