Euler-Mascheroni 常数

             

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预备知识 定积分

   Euler-Mascheroni 常数定义为

\begin{equation} \gamma = \lim_{n\to\infty} \left(\sum_{m=1}^n \frac{1}{m} - \ln n \right) = 0.5772156619\dots \end{equation}

   其中可以把 $1/m$ 看成区间 $[m, m+1]$ 内高为 $1/m$ 矩形的面积,而 $\ln n$ 是函数 $1/x$ 在区间 $[1,n]$ 的定积分(函数曲线下方的面积),如图 1

图
图 1:Euler-Mascheroni 常数

   式 1 的收敛也可以用于证明调和级数 $\sum_{m=1}^\infty 1/m$ 不收敛:因为极限 $ \ln\left(n\to\infty\right) $ 不收敛.

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