Euler-Mascheroni 常数

贡献者： EsphaⅨ; 零穹

　　 其中可以把 $1/m$ 看成区间 $[m, m+1]$ 内高为 $1/m$ 矩形的面积，而 $\ln n$ 是函数 $1/x$ 在区间 $[1,n]$ 的定积分（函数曲线下方的面积），如图 1 。

　　 式 1 的收敛也可以用于证明调和级数 $\sum_\limits{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 不收敛：因为极限 $\ln n(n\to\infty)$ 不收敛。

　　 下证 $\lim_\limits{n\to\infty}(\sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k}- lnk)$ 收敛：
由Euler-Maclaurin 求和公式, $$\sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k}= \int_1^n \frac{1}{x}dx+\frac{1+\frac{1}{n}}{2}-\int_1^n \psi(x) \frac{1}{x^2}dx~$$
显然 $\int_1^n \psi(x) \frac{1}{x^2}dx$ 收敛，得 $\sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k}=lnn=\gamma$