Rudin 数学分析笔记 1

贡献者： addis

　　 本文参考 Rudin [1]。

1. Chap 1. 实数系和复数系

• 有理数（rational number）记为 $Q$，实数记为 $R$
• 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数，但是有理数集中还是会有 “间隙”，而实数集填补了这些间隙。
• 集合（set）：属于（in） $x \in A$，不属于（not in） $x \notin A$
• 空集（empty set），非空（none empty），子集（subset） $A \subseteq B$，超集（superset） $B \supseteq A$，真子集（proper subset）
• 1.4 在第 1 章，用 $Q$ 表示有理数构成的集
• 1.5 设 $S$ 是一个集。$S$ 上的序是一种关系，记作 $<$, 它有下面的两个性质：(i) 如果 $x \in S$ 并且 $y \in S$, 那么在 $x< y, \quad x=y, \quad y< x$ 三种述语之中，有且只有一种成立。(ii) 如果 $x, y, z \in S$, 又如果 $x< y$ 且 $y< z$, 那么 $x< z$. 用 $y>x$ 代替 $x< y$, 时常是方便的。记号 $x \leqslant y$ 指的是 $x< y$ 或 $x=y$, 而不细说二者之中谁能成立。换句话说，$x$ $\leqslant y$ 是 $x>y$ 的否定。
• 1.6 在集 $S$ 里定义了一种序，便是一个有序集
• 1.7 设 $S$ 是有序集，而 $E \subset S$. 如果存在 $\beta \in S$, 而每个 $x \in E$, 满足 $x \leqslant \beta$, 我们就说 $E$ 上有界, 并称 $\beta$ 为 $E$ 的一个上界.
• 1.8 1.8 设 $S$ 是有序集，$E \subset S$, 且 $E$ 上有界。设存在一个 $\alpha \in S$, 它具有以下性质：(i) $\alpha$ 是 $E$ 的上界。(ii) 如果 $\gamma<\alpha, \gamma$ 就不是 $E$ 的上界。便把 $\alpha$ 叫做 $E$ 的最小上界（least upper bound） [由 (ii) 来看，显然最多有一个这样的 $\alpha$] 或 $E$ 的上确界（supremum）, 而记作 $\alpha=\sup E$. 类似地可定义下有界集 $E$ 的最大下界或下确界。述语 $\alpha=\inf E$ 表示 $\alpha$ 是 $E$ 的一个下界，而任何合于 $\beta>\alpha$ 的 $\beta$, 不能是 $E$ 的下界。
• （私货）有上界未必有最小上界。例如有理数集合中，小于 $\sqrt{2}$ 的子集不存在最小上界。
• 1.10 如果对于任意非空有上界的 $E \subset S$，都有 $\sup E \in S$，那 $S$ 就具有最小上界性（upper bound property）。
• 1.12 域（field） 集合 $F$ 定义了加法和乘法。加法满足：闭合性，交换律，结合律，存在 0 元，存在逆元。乘法满足：闭合性，交换律，结合律，存在单位元，存在倒数。加法和乘法满足分配律。
• 有理数集是一个域
• 有序域（ordered field）
• 存在一个有序域 $R$ 具有 upper bound property，且有理数集 $Q$ 是其子集。$R$ 就是实数。
• 实数的阿基米德性质：存在整数 $n$ 使 $nx > y$（$x > 0$）
• $x \in R$，$x > 0$，$n$ 为整数，存在实数 $y$ 使 $y^n = x$
• 稠密（dense）: 两个不同的实数间必有一个有理数
• 1.23 广义实数系（extended real number system） 是在实数集基础上加入 $\pm\infty$ 两个符号。对任何实数有 $-\infty < x < +\infty$。所有非空子集都有最小上界和最大下界。相比于无穷，实数集中的元被称为 finite。
• 复数是一对有序实数 $(a, b)$，定义了加法和乘法后，就变成了一个域。定义 $ \mathrm{i} = (0, 1)$。
• 对正整数 $k$，$R^k$ 定义为所有 $k$ 个有序实数的集合 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = (x_1, \dots, x_k)$，其中 $x_i$ 叫做坐标。
• 定义 $R^k$ 中的内积为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} = \sum_{i = 1}^k x_i y_i$
• 定义模长为 $ \left\lvert x \right\rvert = ( \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} )^{1/2}$
• 定义了内积和模长的 $R^k$ 被称为欧几里得 $k$ 空间（euclidean k-space）。这也是一个度量空间（metric space）（见下文）。通常 $R^1$ 叫做线，$R^2$ 叫做面

2. Chap 2. 基本拓扑

• 2.1 函数是两个集合 $A$，$B$ 之间的映射；定义域，值域，值。$f(A)$ 就是集合 $A$ 的 image；$f(A) \subset B$。如果 $f(A) = B$，那么 $f$ 把 $A$ 映射到（onto）$B$。$f^{-1}(E)$ inverse image。1-1 映射
• 象，逆象，一一对应（1-1 映射）
• 2.3 如果 $A$ 到 $B$ 存在 1-1 映射，记为 $A \sim B$：reflexive $A \sim A$，symmetric $A \sim B \to B \sim A$，transitive $A \sim B, B \sim C \to A \sim C$。此时称 $A$ 和 $B$ 等效，他们具有相同的基数（cardinal number）即元素个数。
• 2.4 定义 $J_n$ 为集合 $1,2,\dots, n$，定义 $J$ 为 $1, 2, \dots$
• $A \sim J_n$ 为有限（finite），不是有限就是无限（infinite），$A \sim J$ 为可数（countable）¹。至多可数（at most countable） 就是有限或者可数
• 对无限集来说，“含有同样多个元素” 变得很模糊，但是 1-1 映射的定义仍然有效（只要写出一个表达式）
• 有限集不可能与其真子集等效，而无限集可以
• 2.7 数列（sequence）是 $J$ 的映射 $f(n) = x_n$，记为 $\{x_n\}$。$x_n$ 叫做一项。如果 $x_n \in A$，那该序列就叫 $A$ 中（元素）的序列。
• 2.8 可数集的无穷子集仍然是可数的
• 2.9 设 $A,\Omega$ 为集合，对每个 $\alpha\in A$ 关联一个 $\Omega$ 的子集 $E_\alpha$。元素为 $E_\alpha$ 的集合记为 $\{E_\alpha\}$。这不叫集合的集合，而是叫做 collection of sets 或 类（family of sets）。
• 并集（Union）：$\bigcup\limits_{m = 1}^n E_m$，交集（intersection）：$\bigcap\limits_{m = 1}^n E_m$
• 并集和交集的混合运算法则与加法和乘法差不多
• 2.12 如果 $E_n\ (n = 1, 2\dots)$（无穷多个）是可数的，那么它们的并集仍然是可数的
• 如果 $A$ 是至多可数，且对 $\alpha \in A$，$B_\alpha$ 也是至多可数，那么 $T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$ 也是至多可数
• 2.13 如果 $A$ 可数，$a_i \in A$， 而 $B_n$（$n$ 为固定的正整数）是所有 $(a_1, \dots, a_n)$ 的集合，那么 $B_n$ 也是可数的
• 自然数和有理数（可以看作两个有序整数）都可数，无理数不可数
• 2.15 如果集合 $X$ 中的元素可以叫做点（point），如果一个值为实数的函数 $d(p, q), \ p \in X,\ q \in X$ 满足：当 $p = q$，$d(p, q) = 0$，当 $p \ne q$，$d(p, q) > 0$，$d(p, q) = d(q, p)$，$d(p, q) \leqslant d(p, r) + d(r, q)$，$r \in X$，我们就说这是一个度量空间（metrix space），函数 $d$ 叫做距离函数（distance function），或者度规（metric）。度读 du 第四声。
• 2.17 开区间（segment） $(a, b)$ 是所有 $a < x < b$ 的实数，闭区间（interval） $[a, b]$ 是所有 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数。
• 闭区间也叫 1-方格，类似地，$R^k$ 中可以定义 k-方格（k-cell），2-方格是长方形
• 类似地，$R^k$ 空间也可以定义 开/闭球（open/closed ball）
• 凸（convex）：$E \subset R^k$ 对任意 $0 < \lambda < 1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in E$ 满足 $\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} + (1 - \lambda) \boldsymbol{\mathbf{y}} \in E$。例如，ball 和 k-方格都是 convex 的。
• 2.18 度量空间中，邻域（neighborhood） $N_r$：到某点距离小于 $r$ 的集合（$r > 0$）
• 度量空间中，极限点（limit point） $p$：所有邻域存在一个与 $p$ 不同的点（无论半径有多小）
• 如果不是极限点，那就是 孤立点（isolated point）
• 对度量空间的子集 $E$，如果所有极限点都属于 $E$，$E$ 就是闭（closed）的。
• 对度量空间 $X$ 的子集 $E$，如果点 $p \in E$ 在 $X$ 中某个邻域是 $E$ 的子集，$p$ 就是 $E$ 的内点（interior point）
• 对度量空间的子集 $E$，如果 $E$ 中的任意一点都是内点，$E$ 就是 开（open） 的。
• 特例：在孤立点构成的度量空间中，任何子集都既开又闭。
• 注意度量空间 $X$ 的子集 $E$ 的开或闭取决于 $X$ 的选取。如果 $E$ 就是 $X$ 本身，那么 $E$ 既开又闭。
• 补集（complement）
• 如果一个闭集合中每一点都是它的极限点，那么该集合就是完全（perfect） 的
• 如果集合中任意一点都在某个 $r$ 为实数的邻域内，这个集合就是有界的（bounded）
• （私货）对一个度量空间 $X$，若存在 $r\in R$ 使任意两点 $p,q\in X$ 都满足 $d(p,q) \leqslant r$，那么 $X$ 就是有界的（bounded）
• 集合 $E$ 在集合 $X$ 上稠密（dense）：$X$ 中任意一点都是 $E$ 的一个极限点或者 $E$ 中的一点。（例如有理数在实数上稠密）
• 2.19 任何邻域都是开的
• 2.20 如果 $p$ 是一个极限点，那么它的任何邻域都有无限多个点
• 有限个点的集合中没有极限点
• 2.22 $(\bigcup_\alpha E_\alpha)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c)$ 其中 $c$ 代表补集
• 2.23 集合 $E$ 是开的当且仅当它的补集是闭的。$E$ 是闭的当且仅当它的补集是开的。
• 空集和全集既开又闭
• 2.24 任意多开集合的并集仍然是开的，任意多闭集合的交集仍然是闭的；有限个开集合的交集仍然是开的，有限个闭集合的并集仍然是闭的
• 2.26 设 $X$ 是度量空间，如果 $E \subset X$，$E'$ 表示 $E$ 在 $X$ 中所有极限点组成的集。那么，把 $\bar E = E \cup E'$ 叫做 $E$ 的闭包（closure）
• 2.27 设 $X$ 是度量空间，而 $E \subset X$，那么 (a) $\bar E$ 是闭的，(b) $E = \bar E$ 当且仅当 $E$ 闭，(c) 如果闭集 $F \subset X$ 且 $E \subset F$，那么 $\bar E \subset F$。由 (a) 和 (c)，$\bar E$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭子集
• 2.28 设 $E$ 是一个非空实数集，上有界，令 $y = \sup E$，那么 $y \in \bar E$。 因此，如果 $E$ 闭，那么 $y \in E$.
• 2.30 令 $Y \subset X$，$E \subset Y$，$E$ 相对 $Y$ 是开的当且仅当 $E = Y \bigcap G$，对某个开的 $G \subset X$
• 2.31 若 $X$ 的一组开子集 $\{G_\alpha\}$ 使 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$，那么 $\{G_\alpha\}$ 就是 $E$ 的开覆盖（open cover）
• 2.32 紧集（compact set）：如果 $\{G_\alpha\}$ 是 $K$ 的开覆盖，那么存在有限个 $\alpha_1,\dots, \alpha_n$ 使得 $K \subset G_{\alpha_1} \bigcup \dots \bigcup G_{\alpha_n}$。即任何开覆盖都存在有限的子覆盖。紧集是分析中的非常重要概念。
• 有限集都是紧集
• 如果 $E \subset Y \subset X$，那么 $E$ 可能是 $Y$ 中的开集而不是 $X$ 的开集。闭集也同理。
• 2.33 假设 $K \subset Y \subset X$. 那么 $K$ 在 $X$ 中是紧的当且仅当它在 $Y$ 中也是紧的。
• 2.34 度量空间的紧子集是闭的
• （私货）一个例子：证明开区间 $(0,1)$ 不是一个紧集：易知它的一组无穷开覆盖为 $\bigcup_{n=0}^{\infty}((2/3)^n/3, (2/3)^n)$，且不存在有限子覆盖。反之 $[0,1]$ 则不存在类似的问题。另外注意这性质与所考虑区间的父集无关。
• （私货）度量空间的紧集都是有界的。
• 2.35 紧集的闭子集也是紧的
• 闭集和紧集的交集是紧的
• 2.36 如果 $\{K_\alpha\}$ 是度量空间 $X$ 的一组紧子集且任意有限个 $\{K_\alpha\}$ 的交集为非空，那么 $\bigcap K_\alpha$ 也是非空的
• 2.37 如果 $E$ 是紧集 $K$ 的无穷子集，那么 $E$ 在 $K$ 中存在极限点
• 2.38 如果 $\{I_n\}$ 是 $R^1$ 中的一组闭区间序列，且 $I_n \supset I_{n+1} (n = 1, 2, 3,\dots)$，那么 $\bigcap_1^\infty I_n$ 非空
• 2.40 $k$-方格是紧的
• 2.41 对 $R^k$ 中的集合 $E$，这三个条件等价：(a) $E$ 闭且有界。(b) $E$ 是紧的。(c) $E$ 中的任意无限集在 $E$ 中存在极限点
• 2.42 Weierstrass 定理：$R^k$ 中任何有界的无限集在 $R^k$ 中有（至少）一个极限点
• 2.43 令 $P$ 为 $R^k$ 内的非空完全集。那么 $P$ 是不可数的
• 2.44 Cantor 集说明 $R^1$ 中存在没有区间的完全集。
• 2.45 度量空间 $X$ 的两个子集 $A$ 和 $B$ 被称为分离的（separated） 如果 $A \cap \bar B$ 和 $\bar A \cap B$ 都是空集。
• 如果 $E \subset X$ 不是两个非空分离集的并，就说 $E$ 是连通（connected）集。
• 2.46 分离的两个集是不相交的，但不相交的集合不一定是分离的。例如 $[0,1]$ 和 $(1,2)$ 不是分离的。
• 2.47 实数集 $R^1$ 的子集 $E$ 是连通的，当且仅当：如果 $x\in E$，$y\in E$，且 $x < z < y$，那么 $z \in E$。

3. Chap 3. 数列与级数

• 3.1 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$ 叫做收敛的（converged），如果有一个有下述性质的点 $p\in X$：对每个 $\epsilon > 0$，有一个正整数 $N$，使得 $n \geqslant N$ 时，$d(p_n,p) < \epsilon$。这时候也说 $\{p_n\}$ 收敛于 $p$，或者说 $p$ 是 $\{p_n\}$ 的极限，写作 $p_n\to p$ 或 $\lim_{n\to \infty} p_n = p$。如果不收敛，就说它发散。
• 收敛的定义不仅依赖于数列还依赖于 $X$，例如 $\{1/n\}$ 在 $R^1$ 中收敛于 $0$，但在正实数集合中不收敛。所以要强调 “在 $X$ 中” 收敛。（这与小时百科的定义 2 不同）
• 一切点 $p_n$ 的集合是 $\{p_n\}$ 的值域（range），序列的值域可以是有限的，也可以是无限的。如果值域是有界的，就说序列是有界的。
• 3.2 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$：(a) $\{p_n\}$ 收敛于 $p\in X$，当且仅当 $p$ 的每个邻域，能包含除了有限项以外的一切项。(b) 如果数列同时收敛于 $p, p'$，那么 $p' = p$。(c) 数列收敛则必有界。(d) 如果 $E \subset X$，而 $p$ 是 $E$ 的极限点，那么在 $E$ 中有一个序列收敛到 $p$。
• 3.3 假定 $\{s_n\}, \{t_n\}$ 是复序列，且极限为 $s, t$ 那么 (a) $\lim_{n\to\infty} (s_n+t_n) = s+t$，(b) 对任何数 $c$，$\lim_{n\to\infty}cs_n = cs$；(c) $\lim_{n\to\infty}(s_n t_n) = st$；(d) $\lim_{n\to\infty} (c+s_n) = c+s$
• 3.4 (a) 假定 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n \in R^k$（$n=1,2,...$）而 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n = (a_{1,n}, ...,a_{k,n})$ 那么序列收敛于 $(a_1,...,a_k)$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} a_{j,n} = a_j$；(b) 假定 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n\}, \{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _n\}$ 是 $R^k$ 的序列，$\{\beta_n\}$ 是实数序列，并且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n\to \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} _n\to \boldsymbol{\mathbf{y}} , \beta_n\to \boldsymbol{\mathbf{\beta}} $。那么 $\lim_{n\to\infty} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} _n+ \boldsymbol{\mathbf{y}} _n) = \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} $，$\lim_{n\to\infty} \boldsymbol{\mathbf{x}} _n \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} _n = \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} $，$\lim_{n\to\infty} \beta_n \boldsymbol{\mathbf{x}} _n = \beta \boldsymbol{\mathbf{x}} $。
• 3.5 有序列 $\{p_n\}$，取正整数序列 $\{n_k\}$，使 $n_1< n_2<...$ 那么序列 $\{p_{n_i}\}$ 便叫做 $\{p_n\}$ 的子序列（subsequence），如果 $\{p_{n_i}\}$ 收敛，就把它的极限叫做 $\{p_n\}$ 的部分极限（subsequential limit）。序列收敛于 $p$ 当且仅当它的任何子序列收敛于 $p$。
• 3.6 如果 $\{p_n\}$ 是紧度量空间 $X$ 中的序列，那么 $\{p_n\}$ 有某个子序列收敛到 $X$ 中的某个点。(b) $R^k$ 中的每个有界序列含有收敛的子序列。
• 3.7 度量空间 $X$ 里的序列 $\{p_n\}$ 的部分极限组成 $X$ 的闭子集。
• 3.8 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$ 叫做柯西序列（Cauchy），如果对于任何 $\epsilon>0$ 存在着正整数 $N$，只要 $m,n\geqslant N$ 就有 $d(p_n, p_m)<\epsilon$。
• 3.9 设 $E$ 是度量空间 $X$ 的非空子集，又设 $S$ 是一切形式为 $d(p,q)$ 的实数集，$p,q\in E$。$\sup S$ 叫做 $E$ 的直径，记为 $ \operatorname {diam} E$。
• 3.10 (a) 如果 $E$ 是度量空间 $X$ 中的集，那么闭包满足 $ \operatorname {diam}\bar E = \operatorname {diam} E$。(b) 如果 $\{K_n\}$ 是 $X$ 中的紧集的序列，且 $K_n \supseteq K_{n+1}$ 又若 $\lim_{n\to\infty} \operatorname {diam} K_n = 0$，那么 $\bigcap_1^\infty K_n$ 由一个点组成。
• 3.11 (a) 在度量空间中，收敛序列是柯西序列。(b) 如果 $X$ 是紧度量空间，并且如果 $\{p_n\}$ 是 $X$ 中的柯西序列，那么序列收敛于 $X$ 的某个点²。(c) 在 $R^k$ 中，每个柯西序列收敛。
• 3.12 如果度量空间 $X$ 的每个柯西序列都在 $X$ 中收敛，就说该空间是完备的。
• 因此所有紧度量空间以及所有欧氏空间都是完备的。还说明度量空间 $X$ 的闭子集是完备的。
• 3.13 实数序列的单调递增（$s_n\leqslant s_{n+1}$）和单调递减。
• 3.14 单调序列收敛，当且仅当它是有界的。
• 3.15 $s_n\to \pm \infty$ 的定义
• 3.16 设 $\{s_n\}$ 是实数序列。$E$ 是所有可能的子序列的极限组成的集（可能含有 $\pm\infty$）。$s^* = \sup E$，$s_* = \inf E$ 这两个数叫做序列的上极限（upper limit）和下极限（lower limit）。记为 $\lim_{n\to\infty} \sup s_n = s^*$，$\lim_{n\to\infty} \inf s_n = s_*$。
• 3.17
• 3.18 例：(a) 给出一个包含一切有理数的序列，那么每个实数是它的部分极限，且 $\lim_{n\to\infty}\sup s_n = +\infty$，$\lim_{n\to\infty}\inf s_n = -\infty$。(b) 设 $s_n = (-1)^n/[1+(1/n)]$，则上下极限为 $1,-1$。(c) 实数序列的极限为 $s$ 当且仅当上下极限都等于 $s$。
• 3.19 如果 $N$ 是固定的正整数，当 $n\geqslant N$ 时 $s_n \leqslant t_n$，那么 $\lim_{n\to\infty}\inf s_n \leqslant \lim_{n\to\infty}\inf t_n$，$\lim_{n\to\infty}\sup s_n \leqslant \lim_{n\to\infty}\sup t_n$。
• 3.20 (a) $p > 0$ 时 $\lim_{n\to\infty}1/n^p = 0$。(b) $p>0$ 时 $\lim_{n\to\infty}{}\sqrt[n]{p} = 1$。(c) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$。(d) $p>0$，且 $\alpha$ 是实数时 $\lim_{n\to\infty} n^\alpha/(1+p)^n = 0$。(e) $ \left\lvert x \right\rvert <1$ 时 $\lim_{n\to\infty} x^n = 0$。
• 3.21 对序列 ${a_n}$，令 $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ 为部分和，$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 叫做无穷级数，简称级数。如果 $s_n$ 收敛，就说级数收敛，并记为 $\sum_{n=1}^\infty a_n = s$。$s$ 叫做级数的和，是 $s_n$ 的极限。如果 $s_n$ 发散，就说级数发散。
• 柯西准则（3.11）可以重新表述为，$\sum a_n$ 收敛，当且仅当，对于任意 $\epsilon>0$，存在整数 $N$，使得 $m \geqslant n \geqslant N$ 时 $ \left\lvert \sum_{k=n}^m a_k \right\rvert \leqslant \epsilon$。特别地，当 $m=n$ 时 $ \left\lvert a_n \right\rvert \leqslant\epsilon$（$n\geqslant N$）
• 3.23 如果 $\sum a_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
• 3.24 各项为非负的级数收敛，当且仅当其部分和构成有界数列。
• 3.25 (a) 如果 $N_0$ 是某个固定的正整数。$n \geqslant N_0$ 时 $ \left\lvert a_n \right\rvert \leqslant c_n$ 而且 $\sum c_n$ 收敛，那么 $\sum a_n$ 也收敛。(b) 如果当 $n\geqslant N_0$ 时 $a_n\geqslant d_n\geqslant 0$ 而且 $\sum d_n$ 发散，那么 $\sum a_n$ 也发散。
• 3.26 若 $0\leqslant 0< 1$，那么 $\sum_{n=0}^\infty x^n = 1/(1-x)$。若 $x\geqslant 1$，它就发散。
• 3.27 令 $a_1\geqslant a_2\geqslant \dots \geqslant 0$，那么 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，当且仅当级数 $\sum_{n=0}^\infty 2^k a_{2^k}$ 收敛。
• 3.28 若 $p>1$，$\sum 1/n^p$ 就收敛，若 $p\leqslant 1$，它就发散。
• 3.29 若 $p>1$，$\sum_{n=2}^\infty 1/[n(\log n)^p]$ 就收敛；若 $p\leqslant 1$，它就发散。
• 3.30 定义 $ \mathrm{e} =\sum_{n=0}^\infty 1/n!$。
• 3.31 $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = \mathrm{e} $。
• 3.32 $ \mathrm{e} $ 是无理数。
• 3.33 根值审敛法 对 $\sum a_n$，令 $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left\lvert a_n \right\rvert }$。那么 (a) $\alpha<1$ 时级数收敛 (b) $\alpha>1$ 时级数发散 (c) $\alpha=1$ 时不确定。
• 3.34 比值审敛法 对级数 $\sum a_n$ (a) 如果 $\limsup_{n\to\infty} \left\lvert a_{n+1}/a_n \right\rvert <1$，它就收敛。(b) 如果有某个固定的正整数 $n_0$，$n\geqslant n_0$ 时 $ \left\lvert a_{n+1}/a_n \right\rvert \geqslant 1$，它就发散。
• 3.37 对于任意正数序列 $\{c_n\}$，有 $\liminf_{n\to\infty} c_{n+1}/c_n \leqslant \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n}$，$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n}\leqslant \limsup_{n\to\infty} c_{n+1}/c_n$。
• 3.38 对复数序列 $\{c_n\}$，级数 $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ 叫做幂级数。$c_n$ 叫做这个级数的系数；$z$ 是复数。每个幂级数有一个圆，叫做收敛圆，如果 $z$ 在圆内，幂级数绝对收敛，如果在圆外就发散。（这里把平面看作半径无限大的圆的内部，把一点看作是半径为零的圆）级数在收敛圆上的性质不能简单地叙述。
• 3.39 对幂级数 $\sum c_n z^n$，令 $\alpha=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left\lvert c_n \right\rvert }$，$R=1/\alpha$（若 $\alpha=0$，令 $R=+\infty$；若 $\alpha=+\infty$，令 $R=0$）。那么 $\sum c_n z^n$ 在 $ \left\lvert z \right\rvert < R$ 时收敛，$ \left\lvert z \right\rvert >R$ 时发散。
• 3.41 令 $A_n=\sum_{k=0}^n a_k$，$A_{-1}=0$。当 $0\leqslant p\leqslant q$ 时，有 $\sum_{n=p}^q a_n b_n = \sum_{n=p}^{q-1} A_n(b_n-b_{n+1}) + A_qb_q - A_{p-1} b_p$。
• 3.42 假设 (a) $\sum a_n$ 的部分和 $A_n$ 构成有界序列 (b) $b_0\geqslant b_1\geqslant \dots$ (c) $\lim_{n\to\infty} b_n=0$。那么 $\sum a_n b_n$ 收敛。
• 3.43 假定 (a) $ \left\lvert c_1 \right\rvert \geqslant \left\lvert c_2 \right\rvert \geqslant \dots$，(b) $c_{2m-1}\geqslant 0$，$c_{2m}\leqslant 0$ (c) $\lim_{n\to\infty} c_n=0$。那么 $\sum c_n$ 收敛。该级数叫做 “交错级数”。
• 如果 $\sum \left\lvert a_n \right\rvert $ 收敛，就说 $\sum a_n$ 绝对收敛。
• 3.44 假定 $\sum c_n z^n$ 的收敛半径是 $1$，再假定 $c_0\geqslant c_1\geqslant \dots$，$\lim_{n\to \infty}c_n=0$，那么 $\sum c_nz^n$ 在 $ \left\lvert z \right\rvert =1$ 的每个点收敛，只有 $z=1$ 这一点可能是例外。
• 3.45 绝对收敛必收敛。
• 3.47 如果 $\sum a_n=A$，$\sum b_n=B$，那么 $\sum (a_n+b_n)=A+B$，而且对于任意常数 $c$，$\sum ca_n=cA$。
• 3.48 设有 $\sum a_n$，$\sum b_n$。令 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$ 那么就称级数 $\sum c_n$ 为两个级数的积。（私货：考虑 $\sum a_n x^n \sum b_n x^n = \sum c_n x^n$，合并同类项，再令 $x=1$）。
• 3.50 如果 $\sum a_n$ 绝对收敛，$\sum a_n$，$\sum b_n$ 收敛于 $A,B$，且 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$，那么 $\sum c_n = AB$。
• 3.51 如果级数 $\sum a_n$，$\sum b_n$，$\sum c_n$ 分别收敛于 $A,B,C$，且 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$，那么 $C=AB$。
• 3.52 设 $\{k_n\}$，$n=1,2,3,\dots$ 是由正整数作成的序列，每个正整数出现且仅出现一次。令 $a'_n=a_{k_n}$（$n=1,2,3,\dots$）就说 $\sum a'_n$ 是 $\sum a_n$ 的重排（rearrangement）。
• 3.54 设实数级数 $\sum a_n$ 收敛但不绝对收敛。假定 $-\infty\leqslant \alpha\leqslant\beta\leqslant\infty$。那么一定存在重排 $\sum a'_n$，它的部分和 $s'_n$ 满足下极限和上极限等于 $\alpha, \beta$。
• 3.55 设 $\sum a_n$ 是绝对收敛的复数项级数，那么 $\sum a_n$ 的每个重排收敛，且都收敛于同一个和。

1. ^ 也叫 enumerable 或者 denumerable
2. ^ 闭空间中的柯西序列都收敛，度量空间的紧子集是闭的（2.34）。

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis