Rudin 数学分析笔记 1

贡献者： addis

　　本文参考 Rudin [1]。

1. Chap 1. 实数系和复数系

有理数（rational number）记为 $Q$ ，实数记为 $R$
虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数，但是有理数集中还是会有 “间隙”，而实数集填补了这些间隙。
集合（set）：属于（in） $x \in A$ ，不属于（not in） $x \notin A$
空集（empty set），非空（none empty），子集（subset） $A \subseteq B$ ，超集（superset） $B \supseteq A$ ，真子集（proper subset）
1.4 在第 1 章，用 $Q$ 表示有理数构成的集
1.5 设 $S$ 是一个集。 $S$ 上的序是一种关系，记作 $<$ , 它有下面的两个性质：(i) 如果 $x \in S$ 并且 $y \in S$ , 那么在 $x < y, x = y, y < x$ 三种述语之中，有且只有一种成立。(ii) 如果 $x, y, z \in S$ , 又如果 $x < y$ 且 $y < z$ , 那么 $x < z$ . 用 $y > x$ 代替 $x < y$ , 时常是方便的。记号 $x ⩽ y$ 指的是 $x < y$ 或 $x = y$ , 而不细说二者之中谁能成立。换句话说， $x$ $⩽ y$ 是 $x > y$ 的否定。
1.6 在集 $S$ 里定义了一种序，便是一个有序集
1.7 设 $S$ 是有序集，而 $E \subset S$ . 如果存在 $β \in S$ , 而每个 $x \in E$ , 满足 $x ⩽ β$ , 我们就说 $E$ 上有界, 并称 $β$ 为 $E$ 的一个上界.
1.8 1.8 设 $S$ 是有序集， $E \subset S$ , 且 $E$ 上有界。设存在一个 $α \in S$ , 它具有以下性质：(i) $α$ 是 $E$ 的上界。(ii) 如果 $γ < α, γ$ 就不是 $E$ 的上界。便把 $α$ 叫做 $E$ 的最小上界（least upper bound） [由 (ii) 来看，显然最多有一个这样的 $α$ ] 或 $E$ 的上确界（supremum）, 而记作 $α = sup E$ . 类似地可定义下有界集 $E$ 的最大下界或下确界。述语 $α = inf E$ 表示 $α$ 是 $E$ 的一个下界，而任何合于 $β > α$ 的 $β$ , 不能是 $E$ 的下界。
（私货）有上界未必有最小上界。例如有理数集合中，小于 $\sqrt{2}$ 的子集不存在最小上界。
1.10 如果对于任意非空有上界的 $E \subset S$ ，都有 $sup E \in S$ ，那 $S$ 就具有最小上界性（upper bound property）。
1.12 域（field） 集合 $F$ 定义了加法和乘法。加法满足：闭合性，交换律，结合律，存在 0 元，存在逆元。乘法满足：闭合性，交换律，结合律，存在单位元，存在倒数。加法和乘法满足分配律。
有理数集是一个域
有序域（ordered field）
存在一个有序域 $R$ 具有 upper bound property，且有理数集 $Q$ 是其子集。 $R$ 就是实数。
实数的阿基米德性质：存在整数 $n$ 使 $n x > y$ （ $x > 0$ ）
$x \in R$ ， $x > 0$ ， $n$ 为整数，存在实数 $y$ 使 $y^{n} = x$
稠密（dense）: 两个不同的实数间必有一个有理数
1.23 广义实数系（extended real number system） 是在实数集基础上加入 $\pm \infty$ 两个符号。对任何实数有 $- \infty < x < + \infty$ 。所有非空子集都有最小上界和最大下界。相比于无穷，实数集中的元被称为 finite。
复数是一对有序实数 $(a, b)$ ，定义了加法和乘法后，就变成了一个域。定义 $i = (0, 1)$ 。
对正整数 $k$ ， $R^{k}$ 定义为所有 $k$ 个有序实数的集合 $x = (x_{1}, \dots, x_{k})$ ，其中 $x_{i}$ 叫做坐标。
定义 $R^{k}$ 中的内积为 $x \cdot y = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} y_{i}$
定义模长为 $| x | = (x \cdot x)^{1 / 2}$
定义了内积和模长的 $R^{k}$ 被称为欧几里得 $k$ 空间（euclidean k-space）。这也是一个度量空间（metric space）（见下文）。通常 $R^{1}$ 叫做线， $R^{2}$ 叫做面

2. Chap 2. 基本拓扑

2.1 函数是两个集合 $A$ ， $B$ 之间的映射；定义域，值域，值。 $f (A)$ 就是集合 $A$ 的 image； $f (A) \subset B$ 。如果 $f (A) = B$ ，那么 $f$ 把 $A$ 映射到（onto） $B$ 。 $f^{- 1} (E)$ inverse image。1-1 映射
象，逆象，一一对应（1-1 映射）
2.3 如果 $A$ 到 $B$ 存在 1-1 映射，记为 $A \sim B$ ：reflexive $A \sim A$ ，symmetric $A \sim B \to B \sim A$ ，transitive $A \sim B, B \sim C \to A \sim C$ 。此时称 $A$ 和 $B$ 等效，他们具有相同的基数（cardinal number）即元素个数。
2.4 定义 $J_{n}$ 为集合 $1, 2, \dots, n$ ，定义 $J$ 为 $1, 2, \dots$
$A \sim J_{n}$ 为有限（finite），不是有限就是无限（infinite）， $A \sim J$ 为可数（countable）¹。至多可数（at most countable） 就是有限或者可数
对无限集来说，“含有同样多个元素” 变得很模糊，但是 1-1 映射的定义仍然有效（只要写出一个表达式）
有限集不可能与其真子集等效，而无限集可以
2.7 数列（sequence）是 $J$ 的映射 $f (n) = x_{n}$ ，记为 ${x_{n}}$ 。 $x_{n}$ 叫做一项。如果 $x_{n} \in A$ ，那该序列就叫 $A$ 中（元素）的序列。
2.8 可数集的无穷子集仍然是可数的
2.9 设 $A, Ω$ 为集合，对每个 $α \in A$ 关联一个 $Ω$ 的子集 $E_{α}$ 。元素为 $E_{α}$ 的集合记为 ${E_{α}}$ 。这不叫集合的集合，而是叫做 collection of sets 或 类（family of sets）。
并集（Union）： $⋃_{m = 1}^{n} E_{m}$ ，交集（intersection）： $⋂_{m = 1}^{n} E_{m}$
并集和交集的混合运算法则与加法和乘法差不多
2.12 如果 $E_{n} (n = 1, 2 \dots)$ （无穷多个）是可数的，那么它们的并集仍然是可数的
如果 $A$ 是至多可数，且对 $α \in A$ ， $B_{α}$ 也是至多可数，那么 $T = ⋃_{α \in A} B_{α}$ 也是至多可数
2.13 如果 $A$ 可数， $a_{i} \in A$ ，而 $B_{n}$ （ $n$ 为固定的正整数）是所有 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ 的集合，那么 $B_{n}$ 也是可数的
自然数和有理数（可以看作两个有序整数）都可数，无理数不可数
2.15 如果集合 $X$ 中的元素可以叫做点（point），如果一个值为实数的函数 $d (p, q), p \in X, q \in X$ 满足：当 $p = q$ ， $d (p, q) = 0$ ，当 $p \neq q$ ， $d (p, q) > 0$ ， $d (p, q) = d (q, p)$ ， $d (p, q) ⩽ d (p, r) + d (r, q)$ ， $r \in X$ ，我们就说这是一个度量空间（metrix space），函数 $d$ 叫做距离函数（distance function），或者度规（metric）。度读 du 第四声。
2.17 开区间（segment） $(a, b)$ 是所有 $a < x < b$ 的实数，闭区间（interval） $[a, b]$ 是所有 $a ⩽ x ⩽ b$ 的实数。
闭区间也叫 1-方格，类似地， $R^{k}$ 中可以定义 k-方格（k-cell），2-方格是长方形
类似地， $R^{k}$ 空间也可以定义 开/闭球（open/closed ball）
凸（convex）： $E \subset R^{k}$ 对任意 $0 < λ < 1$ 和 $x, y \in E$ 满足 $λ x + (1 - λ) y \in E$ 。例如，ball 和 k-方格都是 convex 的。
2.18 度量空间中，邻域（neighborhood） $N_{r}$ ：到某点距离小于 $r$ 的集合（ $r > 0$ ）
度量空间中，极限点（limit point） $p$ ：所有邻域存在一个与 $p$ 不同的点（无论半径有多小）
如果不是极限点，那就是 孤立点（isolated point）
对度量空间的子集 $E$ ，如果所有极限点都属于 $E$ ， $E$ 就是闭（closed）的。
对度量空间 $X$ 的子集 $E$ ，如果点 $p \in E$ 在 $X$ 中某个邻域是 $E$ 的子集， $p$ 就是 $E$ 的内点（interior point）
对度量空间的子集 $E$ ，如果 $E$ 中的任意一点都是内点， $E$ 就是 开（open） 的。
特例：在孤立点构成的度量空间中，任何子集都既开又闭。
注意度量空间 $X$ 的子集 $E$ 的开或闭取决于 $X$ 的选取。如果 $E$ 就是 $X$ 本身，那么 $E$ 既开又闭。
补集（complement）
如果一个闭集合中每一点都是它的极限点，那么该集合就是完全（perfect） 的
如果集合中任意一点都在某个 $r$ 为实数的邻域内，这个集合就是有界的（bounded）
（私货）对一个度量空间 $X$ ，若存在 $r \in R$ 使任意两点 $p, q \in X$ 都满足 $d (p, q) ⩽ r$ ，那么 $X$ 就是有界的（bounded）
集合 $E$ 在集合 $X$ 上稠密（dense）： $X$ 中任意一点都是 $E$ 的一个极限点或者 $E$ 中的一点。（例如有理数在实数上稠密）
2.19 任何邻域都是开的
2.20 如果 $p$ 是一个极限点，那么它的任何邻域都有无限多个点
有限个点的集合中没有极限点
2.22 $(⋃_{α} E_{α})^{c} = ⋂_{α} (E_{α}^{c})$ 其中 $c$ 代表补集
2.23 集合 $E$ 是开的当且仅当它的补集是闭的。 $E$ 是闭的当且仅当它的补集是开的。
空集和全集既开又闭
2.24 任意多开集合的并集仍然是开的，任意多闭集合的交集仍然是闭的；有限个开集合的交集仍然是开的，有限个闭集合的并集仍然是闭的
2.26 设 $X$ 是度量空间，如果 $E \subset X$ ， $E^{'}$ 表示 $E$ 在 $X$ 中所有极限点组成的集。那么，把 $\bar{E} = E \cup E^{'}$ 叫做 $E$ 的闭包（closure）
2.27 设 $X$ 是度量空间，而 $E \subset X$ ，那么 (a) $\bar{E}$ 是闭的，(b) $E = \bar{E}$ 当且仅当 $E$ 闭，(c) 如果闭集 $F \subset X$ 且 $E \subset F$ ，那么 $\bar{E} \subset F$ 。由 (a) 和 (c)， $\bar{E}$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭子集
2.28 设 $E$ 是一个非空实数集，上有界，令 $y = sup E$ ，那么 $y \in \bar{E}$ 。因此，如果 $E$ 闭，那么 $y \in E$ .
2.30 令 $Y \subset X$ ， $E \subset Y$ ， $E$ 相对 $Y$ 是开的当且仅当 $E = Y ⋂ G$ ，对某个开的 $G \subset X$
2.31 若 $X$ 的一组开子集 ${G_{α}}$ 使 $E \subset ⋃_{α} G_{α}$ ，那么 ${G_{α}}$ 就是 $E$ 的开覆盖（open cover）
2.32 紧集（compact set）：如果 ${G_{α}}$ 是 $K$ 的开覆盖，那么存在有限个 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 使得 $K \subset G_{α_{1}} ⋃ \dots ⋃ G_{α_{n}}$ 。即任何开覆盖都存在有限的子覆盖。紧集是分析中的非常重要概念。
有限集都是紧集
如果 $E \subset Y \subset X$ ，那么 $E$ 可能是 $Y$ 中的开集而不是 $X$ 的开集。闭集也同理。
2.33 假设 $K \subset Y \subset X$ . 那么 $K$ 在 $X$ 中是紧的当且仅当它在 $Y$ 中也是紧的。
2.34 度量空间的紧子集是闭的
（私货）一个例子：证明开区间 $(0, 1)$ 不是一个紧集：易知它的一组无穷开覆盖为 $⋃_{n = 0}^{\infty} ((2 / 3)^{n} / 3, (2 / 3)^{n})$ ，且不存在有限子覆盖。反之 $[0, 1]$ 则不存在类似的问题。另外注意这性质与所考虑区间的父集无关。
（私货）度量空间的紧集都是有界的。
2.35 紧集的闭子集也是紧的
闭集和紧集的交集是紧的
2.36 如果 ${K_{α}}$ 是度量空间 $X$ 的一组紧子集且任意有限个 ${K_{α}}$ 的交集为非空，那么 $⋂ K_{α}$ 也是非空的
2.37 如果 $E$ 是紧集 $K$ 的无穷子集，那么 $E$ 在 $K$ 中存在极限点
2.38 如果 ${I_{n}}$ 是 $R^{1}$ 中的一组闭区间序列，且 $I_{n} \supset I_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，那么 $⋂_{1}^{\infty} I_{n}$ 非空
2.40 $k$ -方格是紧的
2.41 对 $R^{k}$ 中的集合 $E$ ，这三个条件等价：(a) $E$ 闭且有界。(b) $E$ 是紧的。(c) $E$ 中的任意无限集在 $E$ 中存在极限点
2.42 Weierstrass 定理： $R^{k}$ 中任何有界的无限集在 $R^{k}$ 中有（至少）一个极限点
2.43 令 $P$ 为 $R^{k}$ 内的非空完全集。那么 $P$ 是不可数的
2.44 Cantor 集说明 $R^{1}$ 中存在没有区间的完全集。
2.45 度量空间 $X$ 的两个子集 $A$ 和 $B$ 被称为分离的（separated） 如果 $A \cap \bar{B}$ 和 $\bar{A} \cap B$ 都是空集。
如果 $E \subset X$ 不是两个非空分离集的并，就说 $E$ 是连通（connected）集。
2.46 分离的两个集是不相交的，但不相交的集合不一定是分离的。例如 $[0, 1]$ 和 $(1, 2)$ 不是分离的。
2.47 实数集 $R^{1}$ 的子集 $E$ 是连通的，当且仅当：如果 $x \in E$ ， $y \in E$ ，且 $x < z < y$ ，那么 $z \in E$ 。

3. Chap 3. 数列与级数

3.1 度量空间 $X$ 中的序列 ${p_{n}}$ 叫做收敛的（converged），如果有一个有下述性质的点 $p \in X$ ：对每个 $ϵ > 0$ ，有一个正整数 $N$ ，使得 $n ⩾ N$ 时， $d (p_{n}, p) < ϵ$ 。这时候也说 ${p_{n}}$ 收敛于 $p$ ，或者说 $p$ 是 ${p_{n}}$ 的极限，写作 $p_{n} \to p$ 或 $lim_{n \to \infty} p_{n} = p$ 。如果不收敛，就说它发散。
收敛的定义不仅依赖于数列还依赖于 $X$ ，例如 ${1 / n}$ 在 $R^{1}$ 中收敛于 $0$ ，但在正实数集合中不收敛。所以要强调 “在 $X$ 中” 收敛。（这与小时百科的定义 2 不同）
一切点 $p_{n}$ 的集合是 ${p_{n}}$ 的值域（range），序列的值域可以是有限的，也可以是无限的。如果值域是有界的，就说序列是有界的。
3.2 度量空间 $X$ 中的序列 ${p_{n}}$ ：(a) ${p_{n}}$ 收敛于 $p \in X$ ，当且仅当 $p$ 的每个邻域，能包含除了有限项以外的一切项。(b) 如果数列同时收敛于 $p, p^{'}$ ，那么 $p^{'} = p$ 。(c) 数列收敛则必有界。(d) 如果 $E \subset X$ ，而 $p$ 是 $E$ 的极限点，那么在 $E$ 中有一个序列收敛到 $p$ 。
3.3 假定 ${s_{n}}, {t_{n}}$ 是复序列，且极限为 $s, t$ 那么 (a) $lim_{n \to \infty} (s_{n} + t_{n}) = s + t$ ，(b) 对任何数 $c$ ， $lim_{n \to \infty} c s_{n} = c s$ ；(c) $lim_{n \to \infty} (s_{n} t_{n}) = s t$ ；(d) $lim_{n \to \infty} (c + s_{n}) = c + s$
3.4 (a) 假定 $x_{n} \in R^{k}$ （ $n = 1, 2, . . .$ ）而 $x_{n} = (a_{1, n}, . . ., a_{k, n})$ 那么序列收敛于 $(a_{1}, . . ., a_{k})$ 当且仅当 $lim_{n \to \infty} a_{j, n} = a_{j}$ ；(b) 假定 ${x_{n}}, {y_{n}}$ 是 $R^{k}$ 的序列， ${β_{n}}$ 是实数序列，并且 $x_{n} \to x, y_{n} \to y, β_{n} \to β$ 。那么 $lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = x + y$ ， $lim_{n \to \infty} x_{n} \cdot y_{n} = x \cdot y$ ， $lim_{n \to \infty} β_{n} x_{n} = β x$ 。
3.5 有序列 ${p_{n}}$ ，取正整数序列 ${n_{k}}$ ，使 $n_{1} < n_{2} < . . .$ 那么序列 ${p_{n_{i}}}$ 便叫做 ${p_{n}}$ 的子序列（subsequence），如果 ${p_{n_{i}}}$ 收敛，就把它的极限叫做 ${p_{n}}$ 的部分极限（subsequential limit）。序列收敛于 $p$ 当且仅当它的任何子序列收敛于 $p$ 。
3.6 如果 ${p_{n}}$ 是紧度量空间 $X$ 中的序列，那么 ${p_{n}}$ 有某个子序列收敛到 $X$ 中的某个点。(b) $R^{k}$ 中的每个有界序列含有收敛的子序列。
3.7 度量空间 $X$ 里的序列 ${p_{n}}$ 的部分极限组成 $X$ 的闭子集。
3.8 度量空间 $X$ 中的序列 ${p_{n}}$ 叫做柯西序列（Cauchy），如果对于任何 $ϵ > 0$ 存在着正整数 $N$ ，只要 $m, n ⩾ N$ 就有 $d (p_{n}, p_{m}) < ϵ$ 。
3.9 设 $E$ 是度量空间 $X$ 的非空子集，又设 $S$ 是一切形式为 $d (p, q)$ 的实数集， $p, q \in E$ 。 $sup S$ 叫做 $E$ 的直径，记为 $diam E$ 。
3.10 (a) 如果 $E$ 是度量空间 $X$ 中的集，那么闭包满足 $diam \bar{E} = diam E$ 。(b) 如果 ${K_{n}}$ 是 $X$ 中的紧集的序列，且 $K_{n} \supseteq K_{n + 1}$ 又若 $lim_{n \to \infty} diam K_{n} = 0$ ，那么 $⋂_{1}^{\infty} K_{n}$ 由一个点组成。
3.11 (a) 在度量空间中，收敛序列是柯西序列。(b) 如果 $X$ 是紧度量空间，并且如果 ${p_{n}}$ 是 $X$ 中的柯西序列，那么序列收敛于 $X$ 的某个点²。(c) 在 $R^{k}$ 中，每个柯西序列收敛。
3.12 如果度量空间 $X$ 的每个柯西序列都在 $X$ 中收敛，就说该空间是完备的。
因此所有紧度量空间以及所有欧氏空间都是完备的。还说明度量空间 $X$ 的闭子集是完备的。
3.13 实数序列的单调递增（ $s_{n} ⩽ s_{n + 1}$ ）和单调递减。
3.14 单调序列收敛，当且仅当它是有界的。
3.15 $s_{n} \to \pm \infty$ 的定义
3.16 设 ${s_{n}}$ 是实数序列。 $E$ 是所有可能的子序列的极限组成的集（可能含有 $\pm \infty$ ）。 $s^{*} = sup E$ ， $s_{*} = inf E$ 这两个数叫做序列的上极限（upper limit）和下极限（lower limit）。记为 $lim_{n \to \infty} sup s_{n} = s^{*}$ ， $lim_{n \to \infty} inf s_{n} = s_{*}$ 。
3.17
3.18 例：(a) 给出一个包含一切有理数的序列，那么每个实数是它的部分极限，且 $lim_{n \to \infty} sup s_{n} = + \infty$ ， $lim_{n \to \infty} inf s_{n} = - \infty$ 。(b) 设 $s_{n} = (- 1)^{n} / [1 + (1 / n)]$ ，则上下极限为 $1, - 1$ 。(c) 实数序列的极限为 $s$ 当且仅当上下极限都等于 $s$ 。
3.19 如果 $N$ 是固定的正整数，当 $n ⩾ N$ 时 $s_{n} ⩽ t_{n}$ ，那么 $lim_{n \to \infty} inf s_{n} ⩽ lim_{n \to \infty} inf t_{n}$ ， $lim_{n \to \infty} sup s_{n} ⩽ lim_{n \to \infty} sup t_{n}$ 。
3.20 (a) $p > 0$ 时 $lim_{n \to \infty} 1 / n^{p} = 0$ 。(b) $p > 0$ 时 $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p} = 1$ 。(c) $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ 。(d) $p > 0$ ，且 $α$ 是实数时 $lim_{n \to \infty} n^{α} / (1 + p)^{n} = 0$ 。(e) $| x | < 1$ 时 $lim_{n \to \infty} x^{n} = 0$ 。
3.21 对序列 $a_{n}$ ，令 $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 为部分和， $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 叫做无穷级数，简称级数。如果 $s_{n}$ 收敛，就说级数收敛，并记为 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s$ 。 $s$ 叫做级数的和，是 $s_{n}$ 的极限。如果 $s_{n}$ 发散，就说级数发散。
柯西准则（3.11）可以重新表述为， $\sum a_{n}$ 收敛，当且仅当，对于任意 $ϵ > 0$ ，存在整数 $N$ ，使得 $m ⩾ n ⩾ N$ 时 $| \sum_{k = n}^{m} a_{k} | ⩽ ϵ$ 。特别地，当 $m = n$ 时 $| a_{n} | ⩽ ϵ$ （ $n ⩾ N$ ）
3.23 如果 $\sum a_{n}$ 收敛，则 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。
3.24 各项为非负的级数收敛，当且仅当其部分和构成有界数列。
3.25 (a) 如果 $N_{0}$ 是某个固定的正整数。 $n ⩾ N_{0}$ 时 $| a_{n} | ⩽ c_{n}$ 而且 $\sum c_{n}$ 收敛，那么 $\sum a_{n}$ 也收敛。(b) 如果当 $n ⩾ N_{0}$ 时 $a_{n} ⩾ d_{n} ⩾ 0$ 而且 $\sum d_{n}$ 发散，那么 $\sum a_{n}$ 也发散。
3.26 若 $0 ⩽ 0 < 1$ ，那么 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 / (1 - x)$ 。若 $x ⩾ 1$ ，它就发散。
3.27 令 $a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ \dots ⩾ 0$ ，那么 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，当且仅当级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 收敛。
3.28 若 $p > 1$ ， $\sum 1 / n^{p}$ 就收敛，若 $p ⩽ 1$ ，它就发散。
3.29 若 $p > 1$ ， $\sum_{n = 2}^{\infty} 1 / [n (\log n)^{p}]$ 就收敛；若 $p ⩽ 1$ ，它就发散。
3.30 定义 $e = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 / n!$ 。
3.31 $lim_{n \to \infty} (1 + 1 / n)^{n} = e$ 。
3.32 $e$ 是无理数。
3.33 根值审敛法 对 $\sum a_{n}$ ，令 $α = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |}$ 。那么 (a) $α < 1$ 时级数收敛 (b) $α > 1$ 时级数发散 (c) $α = 1$ 时不确定。
3.34 比值审敛法 对级数 $\sum a_{n}$ (a) 如果 $\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n + 1} / a_{n} | < 1$ ，它就收敛。(b) 如果有某个固定的正整数 $n_{0}$ ， $n ⩾ n_{0}$ 时 $| a_{n + 1} / a_{n} | ⩾ 1$ ，它就发散。
3.37 对于任意正数序列 ${c_{n}}$ ，有 $\underset{n \to \infty}{lim inf} c_{n + 1} / c_{n} ⩽ \underset{n \to \infty}{lim inf} \sqrt[n]{c_{n}}$ ， $\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{c_{n}} ⩽ \underset{n \to \infty}{lim sup} c_{n + 1} / c_{n}$ 。
3.38 对复数序列 ${c_{n}}$ ，级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} z^{n}$ 叫做幂级数。 $c_{n}$ 叫做这个级数的系数； $z$ 是复数。每个幂级数有一个圆，叫做收敛圆，如果 $z$ 在圆内，幂级数绝对收敛，如果在圆外就发散。（这里把平面看作半径无限大的圆的内部，把一点看作是半径为零的圆）级数在收敛圆上的性质不能简单地叙述。
3.39 对幂级数 $\sum c_{n} z^{n}$ ，令 $α = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |}$ ， $R = 1 / α$ （若 $α = 0$ ，令 $R = + \infty$ ；若 $α = + \infty$ ，令 $R = 0$ ）。那么 $\sum c_{n} z^{n}$ 在 $| z | < R$ 时收敛， $| z | > R$ 时发散。
3.41 令 $A_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ ， $A_{- 1} = 0$ 。当 $0 ⩽ p ⩽ q$ 时，有 $\sum_{n = p}^{q} a_{n} b_{n} = \sum_{n = p}^{q - 1} A_{n} (b_{n} - b_{n + 1}) + A_{q} b_{q} - A_{p - 1} b_{p}$ 。
3.42 假设 (a) $\sum a_{n}$ 的部分和 $A_{n}$ 构成有界序列 (b) $b_{0} ⩾ b_{1} ⩾ \dots$ (c) $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ 。那么 $\sum a_{n} b_{n}$ 收敛。
3.43 假定 (a) $| c_{1} | ⩾ | c_{2} | ⩾ \dots$ ，(b) $c_{2 m - 1} ⩾ 0$ ， $c_{2 m} ⩽ 0$ (c) $lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ 。那么 $\sum c_{n}$ 收敛。该级数叫做 “交错级数”。
如果 $\sum | a_{n} |$ 收敛，就说 $\sum a_{n}$ 绝对收敛。
3.44 假定 $\sum c_{n} z^{n}$ 的收敛半径是 $1$ ，再假定 $c_{0} ⩾ c_{1} ⩾ \dots$ ， $lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ ，那么 $\sum c_{n} z^{n}$ 在 $| z | = 1$ 的每个点收敛，只有 $z = 1$ 这一点可能是例外。
3.45 绝对收敛必收敛。
3.47 如果 $\sum a_{n} = A$ ， $\sum b_{n} = B$ ，那么 $\sum (a_{n} + b_{n}) = A + B$ ，而且对于任意常数 $c$ ， $\sum c a_{n} = c A$ 。
3.48 设有 $\sum a_{n}$ ， $\sum b_{n}$ 。令 $c_{n} = a_{0} b_{n} + \dots + a_{n} b_{0}$ 那么就称级数 $\sum c_{n}$ 为两个级数的积。（私货：考虑 $\sum a_{n} x^{n} \sum b_{n} x^{n} = \sum c_{n} x^{n}$ ，合并同类项，再令 $x = 1$ ）。
3.50 如果 $\sum a_{n}$ 绝对收敛， $\sum a_{n}$ ， $\sum b_{n}$ 收敛于 $A, B$ ，且 $c_{n} = a_{0} b_{n} + \dots + a_{n} b_{0}$ ，那么 $\sum c_{n} = A B$ 。
3.51 如果级数 $\sum a_{n}$ ， $\sum b_{n}$ ， $\sum c_{n}$ 分别收敛于 $A, B, C$ ，且 $c_{n} = a_{0} b_{n} + \dots + a_{n} b_{0}$ ，那么 $C = A B$ 。
3.52 设 ${k_{n}}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ 是由正整数作成的序列，每个正整数出现且仅出现一次。令 $a_{n}^{'} = a_{k_{n}}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）就说 $\sum a_{n}^{'}$ 是 $\sum a_{n}$ 的重排（rearrangement）。
3.54 设实数级数 $\sum a_{n}$ 收敛但不绝对收敛。假定 $- \infty ⩽ α ⩽ β ⩽ \infty$ 。那么一定存在重排 $\sum a_{n}^{'}$ ，它的部分和 $s_{n}^{'}$ 满足下极限和上极限等于 $α, β$ 。
3.55 设 $\sum a_{n}$ 是绝对收敛的复数项级数，那么 $\sum a_{n}$ 的每个重排收敛，且都收敛于同一个和。

1. ^ 也叫 enumerable 或者 denumerable
2. ^ 闭空间中的柯西序列都收敛，度量空间的紧子集是闭的（2.34）。

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis

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