多普勒效应（一维匀速）

贡献者： addis

预备知识　平面波

　　 多普勒效应（Doppler effect）讨论的是，当机械波的波源和（或）接收者相对于波的介质运动时，发射的频率和接收到的频率之间的变化关系。本文只讨论波源和接收者沿同一直线匀速运动的情况。另外本文不讨论相对论效应，即假设波速远小于真空中的光速（另见 “光的多普勒效应”）。

图 1：多普勒效应

例 1　

　　生活中一种常见的多普勒效应是，一辆疾驰的车一边鸣笛一边驶过行人，人听到的音调就会先高后低。这是因为，车经过人之前不断靠近人，经过人后再不断远离人。可见多普勒效应和运动的速度有关。

　　在计算多普勒效应时，一种方便的做法是选取介质为参考系，例如有均匀的风时，参考系随风运动。本文假设，在介质参考系中，介质处处均匀且静止。那么波在介质中传播的速度（波速） $v$ 处处相等，且与方向无关（各向同性）。相反如果使用别的参考系问题就会变得更复杂，例如以地面为参考系，那么声音顺风传播的速度就等于音速加风速，而逆风传播速度就等于音速减风速，¹²在推导和计算上造成一些不必要的麻烦。

　　令图 1 中波源 1 以速度 $v_{1}$ （向右为正向左为负，下同）做匀速运动，当前位置为 $x_{1}$ 。接收者 2 以速度 $v_{2}$ 做匀速运动，当前位置为 $x_{2}$ 。令波源的频率为 $f_{1}$ ，接收者收到的频率为 $f_{2}$ 。我们假设二者的速度均小于波速（ $| v_{1} |, | v_{2} | < v$ ），有

\begin{matrix} (1) & \frac{f_{2}}{f_{1}} = {\begin{aligned} \frac{v - v_{2}}{v - v_{1}} (x_{1} < x_{2}) \\ \frac{v + v_{2}}{v + v_{1}} (x_{1} > x_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

推导见下文。注意

x_{1} = x_{2}

时刻不做讨论，因为该时刻的频率没有良好的定义。

　　作为一个形象的解释，一维多普勒效应可以等效为追及问题，在介质的参考系中，可以想象 1 以一定的频率 $f_{1}$ 向前后发射速度大小为 $v$ 的子弹，子弹的位置对应声波波峰的位置，两个相邻子弹之间的间距对应波长。若 1,2 相对介质静止不动或者以相同的速度运动，则 2 接收到子弹的频率和 1 发射的频率是一样的，但若 1, 2 不断靠近，则接收子弹的频率就会更高，若不断远离，则接收的频率就更低。注意这个比喻中不恰当的地方是：该比喻中无论 1 的速度如何，子弹的速度相对于空气的速度必须恒为音速。

习题 1　

　　在一条长直马路上，风速为 $10 m / s$ ，一个单车以 $5 m / s$ 向顺风而行，迎面驶来一辆摩托车，速度为 $20 m / s$ 。若摩托车一直以 $600 Hz$ 的频率鸣喇叭，声速为 $340 m / s$ ，求摩托车经过单车前后骑单车的人听到的频率。

　　令风马路为 $x$ 轴，风向为正方向，在风的参考系中，摩托车速度为

\begin{matrix} (2) & v_{1} = - 20 - 10 = - 30 (m / s) . \end{matrix}

单车速度为

\begin{matrix} (3) & v_{2} = 5 - 10 = - 5 m / s . \end{matrix}

另外

v = 340 m / s

，相遇以前

x_{2} < x_{1}

，所以

\begin{matrix} (4) & f_{2} = \frac{v + v_{2}}{v + v_{1}} f_{1} = 648.4 Hz . \end{matrix}

相遇以后

x_{1} < x_{2}

，所以

\begin{matrix} (5) & f_{2} = \frac{v - v_{2}}{v - v_{1}} f_{1} = 559.5 Hz . \end{matrix}

　　注意我们必须在风的参考系中计算，否则得不到正确的结果（除非 $v_{1} = v_{2}$ ）。

1. 反射的多普勒效应

　　当我们考虑波从一个运动的点上反射。每当这个点接收一个周期的波，就同时反射一个周期的波。所以我们可以把这个点作为一个新的波源，发射的频率与接收的频率相同。这样我们就可以重复使用式 1 得到最终接收者的频率。

例 2　

　　假设四个移动物体的坐标分别为 $x_{1}, \dots, x_{4}$ ，其中 $x_{1}$ 是波源，声音依次经过 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 反射后，求 $x_{4}$ 接收到反射波的频率。设 $x_{3} < x_{1} < x_{2} < x_{4}$ 。

　　解：当波从 $x_{1}$ 发出，经过 $x_{2}, x_{3}$ 分别反射，被 $x_{4}$ 接收，有

\begin{matrix} (6) & \frac{f_{4}}{f_{1}} = \frac{f_{4}}{f_{3}} \frac{f_{3}}{f_{2}} \frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{v - v_{4}}{v - v_{3}} \frac{v + v_{3}}{v + v_{2}} \frac{v - v_{2}}{v - v_{1}} . \end{matrix}

可见如果这四个点都向中间运动，波每反射一次都会使频率变快。

2. 推导

　　现在推导式 1 。以 $x_{1} < x_{2}$ 为例，假设波源在某时刻在 $x_{10}$ 位置向右发射一枚子弹，经过周期 $T_{1} = 1 / f_{1}$ 后又发射第二枚时，第一枚的位置为 $x_{10} + v T_{1}$ ，而此时波源的位置（也就是第二枚子弹的位置）为 $x_{10} + v_{1} T_{1}$ 。所以两枚子弹相距（也就是波长）为

\begin{matrix} (7) & λ = (v - v_{1}) T_{1} . \end{matrix}

同理，接收者收到这两枚子弹的时间间隔为

\begin{matrix} (8) & T_{2} = \frac{λ}{v - v_{2}} . \end{matrix}

以上两式消去

λ

，有

\begin{matrix} (9) & \frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{v - v_{2}}{v - v_{1}}, \end{matrix}

这样就得到了式 1 。

x_{2} < x_{1}

的推导同理可得。

1. ^ 为什么不同参考中波速不同？非相对论的波动力学告诉我们各项同性且均匀的介质中，波的速度是固定的，可以通过波动方程解出。其他参考系中的波速可以直接由伽利略变换得出。
2. ^ 题外话：“介质中的波速在不同参考系中不同” 与狭义相对论并不矛盾，即使考虑狭义相对论，当讨论介质的波动时，介质所在的参考系也是一个 “特殊” 的参考系。而真空光速之所以在所有参考系中相同，是因为该传播不依赖任何介质。

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