贡献者： addis
多普勒效应（Doppler effect）讨论的是，当机械波的波源和（或）接收者相对于波的介质运动时，发射的频率和接收到的频率之间的变化关系。本文只讨论波源和接收者沿同一直线匀速运动的情况。另外本文不讨论相对论效应，即假设波速远小于真空中的光速（另见 “光的多普勒效应”）。
图 1：多普勒效应
例 1
生活中一种常见的多普勒效应是，一辆疾驰的车一边鸣笛一边驶过行人，人听到的音调就会先高后低。这是因为，车经过人之前不断靠近人，经过人后再不断远离人。可见多普勒效应和运动的速度有关。
在计算多普勒效应时，一种方便的做法是选取介质为参考系，例如有均匀的风时，参考系随风运动。本文假设，在介质参考系中，介质处处均匀且静止。那么波在介质中传播的速度（波速）$v$ 处处相等，且与方向无关（各向同性）。相反如果使用别的参考系问题就会变得更复杂，例如以地面为参考系，那么声音顺风传播的速度就等于音速加风速，而逆风传播速度就等于音速减风速，12在推导和计算上造成一些不必要的麻烦。
令图 1 中波源 1 以速度 $v_1$（向右为正向左为负，下同）做匀速运动，当前位置为 $x_1$。接收者 2 以速度 $v_2$ 做匀速运动，当前位置为 $x_2$。令波源的频率为 $f_1$，接收者收到的频率为 $f_2$。我们假设二者的速度均小于波速（$ \left\lvert v_1 \right\rvert , \left\lvert v_2 \right\rvert < v$），有
\begin{equation}
\frac{f_2}{f_1} = \left\{\begin{aligned}
&\frac{v - v_2}{v - v_1} \qquad (x_1 < x_2)\\
&\frac{v + v_2}{v + v_1} \qquad (x_1 > x_2)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
推导见下文。注意 $x_1=x_2$ 时刻不做讨论，因为该时刻的频率没有良好的定义。
作为一个形象的解释，一维多普勒效应可以等效为追及问题，在介质的参考系中，可以想象 1 以一定的频率 $f_1$ 向前后发射速度大小为 $v$ 的子弹，子弹的位置对应声波波峰的位置，两个相邻子弹之间的间距对应波长。若 1,2 相对介质静止不动或者以相同的速度运动，则 2 接收到子弹的频率和 1 发射的频率是一样的，但若 1, 2 不断靠近，则接收子弹的频率就会更高，若不断远离，则接收的频率就更低。注意这个比喻中不恰当的地方是：该比喻中无论 1 的速度如何，子弹的速度相对于空气的速度必须恒为音速。
习题 1
在一条长直马路上，风速为 $10 \,\mathrm{m/s} $，一个单车以 $5 \,\mathrm{m/s} $ 向顺风而行，迎面驶来一辆摩托车，速度为 $20 \,\mathrm{m/s} $。若摩托车一直以 $600 \,\mathrm{Hz} $ 的频率鸣喇叭，声速为 $340 \,\mathrm{m/s} $，求摩托车经过单车前后骑单车的人听到的频率。
令风马路为 $x$ 轴，风向为正方向，在风的参考系中，摩托车速度为
\begin{equation}
v_1 = -20 - 10 = -30( \,\mathrm{m/s} )~.
\end{equation}
单车速度为
\begin{equation}
v_2 = 5 - 10 = -5 \,\mathrm{m/s} ~.
\end{equation}
另外 $v = 340 \,\mathrm{m/s} $，相遇以前 $x_2 < x_1$，所以
\begin{equation}
f_2 = \frac{v + v_2}{v + v_1} f_1 = 648.4 \,\mathrm{Hz} ~.
\end{equation}
相遇以后 $x_1 < x_2$，所以
\begin{equation}
f_2 = \frac{v - v_2}{v - v_1} f_1 = 559.5 \,\mathrm{Hz} ~.
\end{equation}
注意我们必须在风的参考系中计算，否则得不到正确的结果（除非 $v_1 = v_2$）。
1. 反射的多普勒效应
当我们考虑波从一个运动的点上反射。每当这个点接收一个周期的波，就同时反射一个周期的波。所以我们可以把这个点作为一个新的波源，发射的频率与接收的频率相同。这样我们就可以重复使用式 1 得到最终接收者的频率。
例 2
假设四个移动物体的坐标分别为 $x_1,\dots,x_4$，其中 $x_1$ 是波源，声音依次经过 $x_2$ 和 $x_3$ 反射后，求 $x_4$ 接收到反射波的频率。设 $x_3 < x_1 < x_2 < x_4$。
解：当波从 $x_1$ 发出，经过 $x_2, x_3$ 分别反射，被 $x_4$ 接收，有
\begin{equation}
\frac{f_4}{f_1} = \frac{f_4}{f_3}\frac{f_3}{f_2}\frac{f_2}{f_1}
= \frac{v - v_4}{v - v_3}\frac{v + v_3}{v + v_2}\frac{v - v_2}{v - v_1}~.
\end{equation}
可见如果这四个点都向中间运动，波每反射一次都会使频率变快。
2. 推导
现在推导式 1 。以 $x_1 < x_2$ 为例，假设波源在某时刻在 $x_{10}$ 位置向右发射一枚子弹，经过周期 $T_1 = 1/f_1$ 后又发射第二枚时，第一枚的位置为 $x_{10} + vT_1$，而此时波源的位置（也就是第二枚子弹的位置）为 $x_{10} + v_1 T_1$。所以两枚子弹相距（也就是波长）为
\begin{equation}
\lambda = (v - v_1)T_1~.
\end{equation}
同理，接收者收到这两枚子弹的时间间隔为
\begin{equation}
T_2 = \frac{\lambda}{v - v_2}~.
\end{equation}
以上两式消去 $\lambda$，有
\begin{equation}
\frac{f_2}{f_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{v - v_2}{v - v_1}~,
\end{equation}
这样就得到了
式 1 。$x_2 < x_1$ 的推导同理可得。
1. ^ 为什么不同参考中波速不同？非相对论的波动力学告诉我们各项同性且均匀的介质中，波的速度是固定的，可以通过波动方程解出。其他参考系中的波速可以直接由伽利略变换得出。
2. ^ 题外话：“介质中的波速在不同参考系中不同” 与狭义相对论并不矛盾，即使考虑狭义相对论，当讨论介质的波动时，介质所在的参考系也是一个 “特殊” 的参考系。而真空光速之所以在所有参考系中相同，是因为该传播不依赖任何介质。
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