多普勒效应(一维匀速)

                     

贡献者: addis

预备知识 平面波

   多普勒效应(Doppler effect)讨论的是,当机械波的波源和(或)接收者相对于波的介质运动时,发射的频率和接收到的频率之间的变化关系。本文只讨论波源和接收者沿同一直线匀速运动的情况。另外本文不讨论相对论效应,即假设波速远小于真空中的光速(另见 “光的多普勒效应”)。

图
图 1:多普勒效应

例 1 

   生活中一种常见的多普勒效应是,一辆疾驰的车一边鸣笛一边驶过行人,人听到的音调就会先高后低。这是因为,车经过人之前不断靠近人,经过人后再不断远离人。可见多普勒效应和运动的速度有关。

   在计算多普勒效应时,一种方便的做法是选取介质为参考系,例如有均匀的风时,参考系随风运动。本文假设,在介质参考系中,介质处处均匀且静止。那么波在介质中传播的速度(波速)$v$ 处处相等,且与方向无关(各向同性)。相反如果使用别的参考系问题就会变得更复杂,例如以地面为参考系,那么声音顺风传播的速度就等于音速加风速,而逆风传播速度就等于音速减风速,12在推导和计算上造成一些不必要的麻烦。

   令图 1 中波源 1 以速度 $v_1$(向右为正向左为负,下同)做匀速运动,当前位置为 $x_1$。接收者 2 以速度 $v_2$ 做匀速运动,当前位置为 $x_2$。令波源的频率为 $f_1$,接收者收到的频率为 $f_2$。我们假设二者的速度均小于波速($ \left\lvert v_1 \right\rvert , \left\lvert v_2 \right\rvert < v$),有

\begin{equation} \frac{f_2}{f_1} = \left\{\begin{aligned} &\frac{v - v_2}{v - v_1} \qquad (x_1 < x_2)\\ &\frac{v + v_2}{v + v_1} \qquad (x_1 > x_2)~. \end{aligned}\right. \end{equation}
推导见下文。注意 $x_1=x_2$ 时刻不做讨论,因为该时刻的频率没有良好的定义。

   作为一个形象的解释,一维多普勒效应可以等效为追及问题,在介质的参考系中,可以想象 1 以一定的频率 $f_1$ 向前后发射速度大小为 $v$ 的子弹,子弹的位置对应声波波峰的位置,两个相邻子弹之间的间距对应波长。若 1,2 相对介质静止不动或者以相同的速度运动,则 2 接收到子弹的频率和 1 发射的频率是一样的,但若 1, 2 不断靠近,则接收子弹的频率就会更高,若不断远离,则接收的频率就更低。注意这个比喻中不恰当的地方是:该比喻中无论 1 的速度如何,子弹的速度相对于空气的速度必须恒为音速。

习题 1 

   在一条长直马路上,风速为 $10 \,\mathrm{m/s} $,一个单车以 $5 \,\mathrm{m/s} $ 向顺风而行,迎面驶来一辆摩托车,速度为 $20 \,\mathrm{m/s} $。若摩托车一直以 $600 \,\mathrm{Hz} $ 的频率鸣喇叭,声速为 $340 \,\mathrm{m/s} $,求摩托车经过单车前后骑单车的人听到的频率。

   令风马路为 $x$ 轴,风向为正方向,在风的参考系中,摩托车速度为

\begin{equation} v_1 = -20 - 10 = -30( \,\mathrm{m/s} )~. \end{equation}
单车速度为
\begin{equation} v_2 = 5 - 10 = -5 \,\mathrm{m/s} ~. \end{equation}
另外 $v = 340 \,\mathrm{m/s} $,相遇以前 $x_2 < x_1$,所以
\begin{equation} f_2 = \frac{v + v_2}{v + v_1} f_1 = 648.4 \,\mathrm{Hz} ~. \end{equation}
相遇以后 $x_1 < x_2$,所以
\begin{equation} f_2 = \frac{v - v_2}{v - v_1} f_1 = 559.5 \,\mathrm{Hz} ~. \end{equation}

   注意我们必须在风的参考系中计算,否则得不到正确的结果(除非 $v_1 = v_2$)。

1. 反射的多普勒效应

   当我们考虑波从一个运动的点上反射。每当这个点接收一个周期的波,就同时反射一个周期的波。所以我们可以把这个点作为一个新的波源,发射的频率与接收的频率相同。这样我们就可以重复使用式 1 得到最终接收者的频率。

例 2 

   假设四个移动物体的坐标分别为 $x_1,\dots,x_4$,其中 $x_1$ 是波源,声音依次经过 $x_2$ 和 $x_3$ 反射后,求 $x_4$ 接收到反射波的频率。设 $x_3 < x_1 < x_2 < x_4$。

   解:当波从 $x_1$ 发出,经过 $x_2, x_3$ 分别反射,被 $x_4$ 接收,有

\begin{equation} \frac{f_4}{f_1} = \frac{f_4}{f_3}\frac{f_3}{f_2}\frac{f_2}{f_1} = \frac{v - v_4}{v - v_3}\frac{v + v_3}{v + v_2}\frac{v - v_2}{v - v_1}~. \end{equation}
可见如果这四个点都向中间运动,波每反射一次都会使频率变快。

2. 推导

   现在推导式 1 。以 $x_1 < x_2$ 为例,假设波源在某时刻在 $x_{10}$ 位置向右发射一枚子弹,经过周期 $T_1 = 1/f_1$ 后又发射第二枚时,第一枚的位置为 $x_{10} + vT_1$,而此时波源的位置(也就是第二枚子弹的位置)为 $x_{10} + v_1 T_1$。所以两枚子弹相距(也就是波长)为

\begin{equation} \lambda = (v - v_1)T_1~. \end{equation}
同理,接收者收到这两枚子弹的时间间隔为
\begin{equation} T_2 = \frac{\lambda}{v - v_2}~. \end{equation}
以上两式消去 $\lambda$,有
\begin{equation} \frac{f_2}{f_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{v - v_2}{v - v_1}~, \end{equation}
这样就得到了式 1 。$x_2 < x_1$ 的推导同理可得。


1. ^ 为什么不同参考中波速不同?非相对论的波动力学告诉我们各项同性且均匀的介质中,波的速度是固定的,可以通过波动方程解出。其他参考系中的波速可以直接由伽利略变换得出。
2. ^ 题外话:“介质中的波速在不同参考系中不同” 与狭义相对论并不矛盾,即使考虑狭义相对论,当讨论介质的波动时,介质所在的参考系也是一个 “特殊” 的参考系。而真空光速之所以在所有参考系中相同,是因为该传播不依赖任何介质。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利