多普勒效应(一维匀速)

             

预备知识 平面波

   多普勒效应(Doppler effect)讨论的是,当机械波的波源和(或)接收者相对于波的介质运动时,发射的频率和接收到的频率之间的变化关系.本文只讨论波源和接收者沿同一直线匀速运动的情况.另外本文不讨论相对论效应,即假设波速远小于真空中的光速(另见 “光的多普勒效应”).

图
图 1:多普勒效应

例 1 

   生活中一种常见的多普勒效应是,一辆疾驰的车一边鸣笛一边驶过行人,人听到的音调就会先高后低.这是因为,车经过人之前不断靠近人,经过人后再不断远离人.可见多普勒效应和运动的速度有关.

   在分析多普勒效应时,一种方便的做法是选取介质为参考系,例如有均匀的风时,参考系随风运动.假设介质处处均匀且静止,波在介质中传播的速度(波速)$v$ 处处相等,且与方向无关(各向同性).

   令图 1 中波源甲的运动方程,即位置关于时间的函数为 $x_1(t)$,对时间求导得到速度 $v_1(t) = \dot{x}_1(t)$.同理,接收者乙位置和速度分别为 $x_2(t)$ 和 $v_2(t)$.注意 $v_1, v_2$ 都是向右运动为正,向左运动为负.令波源的频率为 $f_1$,接收者收到的频率为 $f_2$.当两点分别以小于波速的速度($ \left\lvert v_1 \right\rvert , \left\lvert v_2 \right\rvert < v$)匀速运动时,有

\begin{equation} \frac{f_2}{f_1} = \frac{v \mp v_2}{v \mp v_1} \end{equation}
当 $x_1 < x_2$ 时该式取负号,当 $x_2 < x_1$ 时取正号,推导见下文.

习题 1 

   在一条长直马路上,风速为 $10 \,\mathrm{m/s} $,一个单车以 $5 \,\mathrm{m/s} $ 向顺风而行,迎面驶来一辆摩托车,速度为 $20 \,\mathrm{m/s} $.若摩托车一直以 $600 \,\mathrm{Hz} $ 的频率鸣喇叭,声速为 $340 \,\mathrm{m/s} $,求摩托车经过单车前后骑单车的人听到的频率.

   令风马路为 $x$ 轴,风向为正方向,在风的参考系中,摩托车速度为

\begin{equation} v_1 = -20 - 10 = -30( \,\mathrm{m/s} ) \end{equation}
单车速度为
\begin{equation} v_2 = 5 - 10 = -5 \,\mathrm{m/s} \end{equation}
另外 $v = 340 \,\mathrm{m/s} $,相遇以前 $x_2 < x_1$,所以
\begin{equation} f_2 = \frac{v + v_2}{v + v_1} f_1 = 648.4 \,\mathrm{Hz} \end{equation}
相遇以后 $x_1 < x_2$,所以
\begin{equation} f_2 = \frac{v - v_2}{v - v_1} f_1 = 559.5 \,\mathrm{Hz} \end{equation}

   注意我们必须在风的参考系中计算,否则得不到正确的结果(除非 $v_1 = v_2$).

1. 反射的多普勒效应

   当我们考虑波从一个运动的点上反射.每当这个点接收一个周期的波,就同时反射一个周期的波.所以我们可以把这个点作为一个新的波源,发射的频率与接收的频率相同.这样我们就可以重复使用式 1 得到最终接收者的频率.

例 2 

   假设 $x_3 < x_1 < x_2 < x_4$,当波从 $x_1$ 发出,经过 $x_2, x_3$ 分别反射,被 $x_4$ 接收,有

\begin{equation} \frac{f_4}{f_1} = \frac{f_4}{f_3}\frac{f_3}{f_2}\frac{f_2}{f_1} = \frac{v - v_4}{v - v_3}\frac{v + v_3}{v + v_2}\frac{v - v_2}{v - v_1} \end{equation}
可见如果这四个点都向中间运动,波每反射一次都会使频率变快.

2. 推导

   本质上,多普勒效应可以等效为追及问题,可以想象甲以一定的频率 $f_1$ 向乙发射速度为 $v$ 的子弹,子弹的位置对应波峰的位置,两个相邻子弹之间的间距对应波长.若甲乙相对介质静止不动或者以相同的速度运动,则乙接收到子弹的频率和甲发射的频率是一样的,但若甲乙不断靠近,则接收子弹的频率就会更高,若不断远离,则接受的频率就更低.

   以 $x_1 < x_2$ 为例,假设波源在某时刻在 $x_{10}$ 位置向右发射一枚子弹,经过周期 $T_1 = 1/f_1$ 后又发射第二枚时,第一枚的位置为 $x_{10} + vT_1$,而此时波源的位置(也就是第二枚子弹的位置)为 $x_{10} + v_1 T_1$.所以两枚子弹相距(也就是波长)为

\begin{equation} \lambda = (v - v_1)T_1 \end{equation}
同理,接收者收到这两枚子弹的时间间隔为
\begin{equation} T_2 = \lambda/ (v - v_2) \end{equation}
以上两式消去 $\lambda$,有
\begin{equation} \frac{f_2}{f_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{v - v_2}{v - v_1} \end{equation}
这样就得到了式 1 .$x_2 < x_1$ 的推导同理可得.

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