量纲式

             

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预备知识 单位制和量纲

   在单位制和量纲这一节中我们提到了量纲式,并且给出了定义 1 ,本节将证明量纲式的通用表达式,并给出另外一种较为更 “数学” 的定义.本节的定理将给出一个极其重要的结论,它使得我们对物理规律有一个更深刻的认识.

1. 定义方程

   在单位制和量纲这一节中,例 1 例 2 提到了定义方程和终极定义方程,我们先给出它们的定义.

定义 1 

   在单位制 $\mathscr{Z}$ 中,定义导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的物理规律对应的方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程

定义 2 

   在某一单位制 $\mathscr{Z}$ 中,若将导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程 中涉及的量类(该导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 除外)都用基本量类来表示,得到的定义方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的终极定义方程,简称 终定方程.

定理 1 

   任一单位制 $\mathscr{Z}$ 的任一导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{ \mathscr{Z}}$ 的终定方程都是幂单项式,即

\begin{equation} C=k_{\text{终}}J_1^{\sigma_1}\cdots J_l^{\sigma_l} \end{equation}

   证明:记单位制为 $\mathscr{Z}$,为便于陈述,设 $\mathscr{Z}$ 制有 3 个基本量类——$\tilde{\boldsymbol{l}}$、$\tilde{\boldsymbol{m}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{t}}$.选定基本单位 $\hat{\boldsymbol{l}}$、$\hat{\boldsymbol{m}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}$.任一导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}$ 的终定方程为

\begin{equation} C=f(l,m,t) \end{equation}
设 $\mathscr{Z}$ 是 $\mathscr{Z}$ 的同族制,其基本单位是 $\hat{\boldsymbol{l}}'$、$\hat{\boldsymbol{m}}'$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}'$,导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位是 $\hat{\boldsymbol{C}}'$,又有
\begin{equation} C'=f(l',m',t') \end{equation}
$f$ 不加撇是因为同族制有相同的定义方程.令
\begin{equation} x\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{l}},\quad y\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{m}},\quad z\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{t}} \end{equation}
则由式 16 ,得
\begin{equation} x=\frac{\hat{\boldsymbol{l}}}{\hat{\boldsymbol{l}}'}=\frac{l'}{l},\quad y=\frac{\hat{\boldsymbol{m}}}{\hat{\boldsymbol{m}}'}=\frac{m'}{m},\quad z=\frac{\hat{\boldsymbol{t}}}{\hat{\boldsymbol{t}}'}=\frac{t'}{t},\quad \end{equation}
故 $l'=xl,m'=ym,t'=zt$,代入式 3
\begin{equation} C'=f(xl,ym,zt) \end{equation}
由量纲的定义又知
\begin{equation} \mathrm{ \left. dim \right\rvert _{\mathscr{Z,Z' }}}\tilde{\boldsymbol{C}}=\frac{f(xl,ym,zt)}{f(l,m,t)} \end{equation}
上式右边可写成 $x,y,z$ 的函数 $g(x,y,z)$(因为 $\mathcal{Z}$ 制固定而 $\mathscr{Z'}$ 任意,导致变数仅是 $x,y,z$),则
\begin{equation} f(xl,ym,zt)=g(x,y,z)f(l,m,t) \end{equation}
上式两边对 $x$ 求导,得
\begin{equation} lf_1(xl,ym,zt)=g_1(x,y,z)f(l,m,t) \end{equation}
下标 1 代表对第一个自变数求偏导.取 $x=y=z=1$,得
\begin{equation} lf_1(xl,ym,zt)=g_1(1,1,1)f(l,m,t) \end{equation}
令 $\lambda=g_1(1,1,1)$,则上式可写为
\begin{equation} l \frac{\partial f}{\partial l} =\lambda f \end{equation}
积分便得
\begin{equation} f(l,m,t)=\phi(m,t)l^{\lambda} \end{equation}
其中,$\phi(m,t)$ 是 $m,t$ 的某个函数.

   上式带入式 8 ,便消去了 $l$ 并给出

\begin{equation} \phi(ym,zt)=g(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda} \end{equation}
将上式对 $y$ 求偏导,得
\begin{equation} m\phi_1(ym,zt)=g_2(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda} \end{equation}
其中,$g_2(x,y,z)$ 的下标 2 代表对第二个自变数求导.取 $x=y=z=1$,又得
\begin{equation} m\phi_1(m,t)=g_2(1,1,1)\phi(m,t) \end{equation}
令 $\mu=g_2(1,1,1)$,则上式可简记为
\begin{equation} m \frac{\partial \phi}{\partial m} =\phi f \end{equation}
积分得
\begin{equation} \phi(m,t)=\phi(t)m^{\mu} \end{equation}
其中 $\phi(t)$ 是 $t$ 的某个函数.类似的还可求得函数
\begin{equation} \phi(t)=kt^{\tau} \end{equation}
其中,$\tau=g_3(1,1,1)$,$k$ 是积分常数. 联立式 12 式 17 式 18 ,最终得
\begin{equation} f(l,m,t)=kl^{\lambda}m^{\mu}t^{\tau} \end{equation}
可见,$f(l,m,t)$ 的确是幂单项式.该方法可推广至任一单位制,有兴趣读者不妨试试.

   定理得证.

定理 2 

   任一物理量类的量纲式都存在,而且都是幂单项式.特别的,对于导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$,若其导出单位的终定方程形为式 1 ,则其量纲式为

\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l} \end{equation}
其中,$\sigma_1,\cdots,\sigma_l$ 称为 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲指数

   证明:设 $\mathscr{Z}$ 为任一单位制,对基本物理量类,定理 2 显然成立.对导出物理量类,定理 1 告诉我们其有终定方程式 1 .设 $\mathscr{Z'}$ 为与 $\mathscr{Z}$ 同族的另一单位制,以 $C'$ 和 $J_1',\cdots,J_l'$ 代表各有关量在 $\mathscr{Z'}$ 制的数,则

\begin{equation} C'=k_{\text{终}}J_1'^{\sigma_1}\cdots J_l'^{\sigma_l} \end{equation}
式中,$k_{\text{终}}$ 不变是由同族单位制定义 2 中的条件 2 决定的.式 1 式 21 两式相除便有
\begin{equation} \frac{C'}{C}= \left(\frac{J_1'}{J_1} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{J_l'}{J_l} \right) ^{\sigma_l} \end{equation}
式 9
\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}=\frac{C'}{C}, \quad\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_i}{\hat{\boldsymbol{J}}_i'}=\frac{J_i'}{J_i}\quad (i=1,\cdots ,l) \end{equation}
所以
\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}= \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_1}{\hat{\boldsymbol{J}}_1'} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_l}{\hat{\boldsymbol{J}}_l'} \right) ^{\sigma_l} \end{equation}
式 16 ,即得式 20 .定理得证.

   定理 2 表明导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲是基本量类的量纲的 $l$ 元函数(为基本量类的个数),函数关系由导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲式式 20 给出

定义 3 

   式 20 称为量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在单位制族 $\tilde{\mathscr{Z}}$ 中的量纲式.$\mathscr{Z}$ 为定理 2 证明中所选的单位制.

定义 4 

   量纲指数全部为 0 的量称为无量纲量量纲恒为 1 的量

定理 3 

   反映物理规律的数值表达式在同族单位制有相同形式.即若在单位制 $\mathscr{Z}$ 中,涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为

\begin{equation} A=kA_1\cdots A_n \end{equation}
则在与 $\mathscr{Z}$ 同族的单位制 $\mathscr{Z'}$ 中,涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为
\begin{equation} A'=kA_1'\cdots A_n' \end{equation}
其中,$A,A_1,\cdots,A_n$ 和 $A',A_1',\cdots ,A_n'$ 分别是在 $\mathscr{Z}$ 和 $\mathscr{Z'}$ 中用基本单位测得的数,$k$ 为常数.

   证明:假设定理不成立,则在 $\mathscr{Z'}$ 中,将有

\begin{equation} A'=k'A_1'\cdots A_n' \end{equation}
其中,常数 $k'\neq k$.

   由定理 1 ,可将 $A_1,\cdots,A_n$ 用基本量类对应的数 $J_1,\cdots,J_l$ 表示之,只需把 $A_1,\cdots,A_n$ 各自的终定方程(配以所依托的现象类)带入式 25 ,由同族单位制定义,$A_i$ 和 $A_i'$ 终定方程对应的系数相同,则

\begin{equation} \begin{aligned} &A=k_{\text{终}} \left(J_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(J_l \right) ^{\sigma_l}\\ &A'=k'_{\text{终}}(J'_1)^{\sigma_1}\cdots (J'_l)^{\sigma_1} \end{aligned} \end{equation}
其中,$k_{\text{终}}\neq k'_{\text{终}}$.

   式 28 中两式相除,并由量纲的定义,有

\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\frac{k_{\text{终}}}{k'_{\text{终}}} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l} \end{equation}
这与定理 2 相悖,故没有这样的 $k'\neq k$ 存在.定理得证.

推论 1 

   设物理现象涉及量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$,它们在单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数值表达式为

\begin{equation} C=kA^{\alpha}B^{\beta} \end{equation}
则量类 $\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{B}},\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲满足关系式
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}} \right) ^{\alpha} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}} \right) ^{\beta} \end{equation}

定理 4 量纲齐次性定理

   设物理现象涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$,它们在某单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数 $A,B,C,\cdots$ 的数值表达式为

\begin{equation} C=A+B+\cdots \end{equation}
则相应的量类 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲相等.即
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}}=\cdots \end{equation}

   证明:由量纲定义式 16 可知,量纲仅取决于新旧单位制的选择,而与物理现象中各量大小无关,故可取式 32 中除 $A$ 外的各项数值为 0,即只需讨论

\begin{equation} C=A \end{equation}
的情况,此式可看着式 30 中 $k=\alpha=1,\beta=0$ 的情形,故由推论 1
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}} \end{equation}
同理可证式 33 成立.定理得证.

   注意,这里的证明里物理量数值可设为 0,是在前面已经建立量类是 1 维矢量空间的基础上的,我们的证明便是在量类构成的 1 维矢量空间中讨论的,故物理量数值设定为 0 合理.

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