量纲式

贡献者：零穹

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预备知识　单位制和量纲

　　在单位制和量纲这一节中我们提到了量纲式，并且给出了定义 1 ，本节将证明量纲式的通用表达式，并给出另外一种较为更 “数学” 的定义。本节的定理将给出一个极其重要的结论，它使得我们对物理规律有一个更深刻的认识。

1. 定义方程

　　在单位制和量纲这一节中，例 1 和例 2 提到了定义方程和终极定义方程，我们先给出它们的定义。

定义 1　

　　在单位制 $Z$ 中，定义导出量类 $\tilde{C}$ 单位 ${\hat{C}}_{Z}$ 的物理规律对应的方程称为该单位制 $Z$ 中 ${\hat{C}}_{Z}$ 的定义方程。

定义 2　

　　在某一单位制 $Z$ 中，若将导出量类 $\tilde{C}$ 的单位 ${\hat{C}}_{Z}$ 的定义方程 中涉及的量类（该导出量类 $\tilde{C}$ 除外）都用基本量类来表示，得到的定义方程称为该单位制 $Z$ 中 ${\hat{C}}_{Z}$ 的终极定义方程，简称 终定方程.

定理 1　

　　任一单位制 $Z$ 的任一导出单位 ${\hat{C}}_{Z}$ 的终定方程都是幂单项式，即

\begin{matrix} (1) & C = k_{终} J_{1}^{σ_{1}} \dots J_{l}^{σ_{l}} . \end{matrix}

　　 证明：记单位制为 $Z$ ，为便于陈述，设 $Z$ 制有 3 个基本量类—— $\tilde{l}$ 、 $\tilde{m}$ 和 $\tilde{t}$ 。选定基本单位 $\hat{l}$ 、 $\hat{m}$ 和 $\hat{t}$ 。任一导出量类 $\tilde{C}$ 的导出单位 $\hat{C}$ 的终定方程为

\begin{matrix} (2) & C = f (l, m, t) . \end{matrix}

设

Z

是

Z

的同族制，其基本单位是

{\hat{l}}^{'}

、

{\hat{m}}^{'}

和

{\hat{t}}^{'}

，导出量类

\tilde{C}

的单位是

{\hat{C}}^{'}

，又有

\begin{matrix} (3) & C^{'} = f (l^{'}, m^{'}, t^{'}), \end{matrix}

f

不加撇是因为同族制有相同的定义方程。令

\begin{matrix} (4) & x \equiv {\dim |}_{Z, Z^{'}} \tilde{l}, y \equiv {\dim |}_{Z, Z^{'}} \tilde{m}, z \equiv {\dim |}_{Z, Z^{'}} \tilde{t} . \end{matrix}

则由式 16 ，得

\begin{matrix} (5) & x = \frac{\hat{l}}{{\hat{l}}^{'}} = \frac{l^{'}}{l}, y = \frac{\hat{m}}{{\hat{m}}^{'}} = \frac{m^{'}}{m}, z = \frac{\hat{t}}{{\hat{t}}^{'}} = \frac{t^{'}}{t} . \end{matrix}

故

l^{'} = x l, m^{'} = y m, t^{'} = z t

，代入式 3 得

\begin{matrix} (6) & C^{'} = f (x l, y m, z t) . \end{matrix}

由量纲的定义又知

\begin{matrix} (7) & {\dim |}_{Z, Z^{'}} \tilde{C} = \frac{f (x l, y m, z t)}{f (l, m, t)} . \end{matrix}

上式右边可写成

x, y, z

的函数

g (x, y, z)

（因为

Z

制固定而

Z^{'}

任意，导致变数仅是

x, y, z

），则

\begin{matrix} (8) & f (x l, y m, z t) = g (x, y, z) f (l, m, t) . \end{matrix}

上式两边对

x

求导，得

\begin{matrix} (9) & l f_{1} (x l, y m, z t) = g_{1} (x, y, z) f (l, m, t) . \end{matrix}

下标 1 代表对第一个自变数求偏导。取

x = y = z = 1

，得

\begin{matrix} (10) & l f_{1} (x l, y m, z t) = g_{1} (1, 1, 1) f (l, m, t) . \end{matrix}

令

λ = g_{1} (1, 1, 1)

，则上式可写为

\begin{matrix} (11) & l \frac{\partial f}{\partial l} = λ f . \end{matrix}

积分便得

\begin{matrix} (12) & f (l, m, t) = ϕ (m, t) l^{λ} . \end{matrix}

其中，

ϕ (m, t)

是

m, t

的某个函数。

　　上式带入式 8 ，便消去了 $l$ 并给出

\begin{matrix} (13) & ϕ (y m, z t) = g (x, y, z) ϕ (m, t) x^{- λ} . \end{matrix}

将上式对

y

求偏导，得

\begin{matrix} (14) & m ϕ_{1} (y m, z t) = g_{2} (x, y, z) ϕ (m, t) x^{- λ} . \end{matrix}

其中，

g_{2} (x, y, z)

的下标 2 代表对第二个自变数求导。取

x = y = z = 1

，又得

\begin{matrix} (15) & m ϕ_{1} (m, t) = g_{2} (1, 1, 1) ϕ (m, t) . \end{matrix}

令

μ = g_{2} (1, 1, 1)

，则上式可简记为

\begin{matrix} (16) & m \frac{\partial ϕ}{\partial m} = ϕ f . \end{matrix}

积分得

\begin{matrix} (17) & ϕ (m, t) = ϕ (t) m^{μ}, \end{matrix}

其中

ϕ (t)

是

t

的某个函数。类似的还可求得函数

\begin{matrix} (18) & ϕ (t) = k t^{τ} . \end{matrix}

其中，

τ = g_{3} (1, 1, 1)

，

k

是积分常数。联立式 12 、式 17 、式 18 ，最终得

\begin{matrix} (19) & f (l, m, t) = k l^{λ} m^{μ} t^{τ} . \end{matrix}

可见，

f (l, m, t)

的确是幂单项式。该方法可推广至任一单位制，有兴趣读者不妨试试。

　　定理得证。

定理 2　

　　任一物理量类的量纲式都存在，而且都是幂单项式。特别的，对于导出量类 $\tilde{C}$ ，若其导出单位的终定方程形为式 1 ，则其量纲式为

\begin{matrix} (20) & \dim \tilde{C} = {(\dim {\tilde{J}}_{1})}^{σ_{1}} \dots {(\dim {\tilde{J}}_{l})}^{σ_{l}}, \end{matrix}

其中，

σ_{1}, \dots, σ_{l}

称为

\tilde{C}

的量纲指数。

　　 证明：设 $Z$ 为任一单位制，对基本物理量类，定理 2 显然成立。对导出物理量类，定理 1 告诉我们其有终定方程式 1 。设 $Z^{'}$ 为与 $Z$ 同族的另一单位制，以 $C^{'}$ 和 $J_{1}^{'}, \dots, J_{l}^{'}$ 代表各有关量在 $Z^{'}$ 制的数，则

\begin{matrix} (21) & C^{'} = k_{终} J_{1}^{' σ_{1}} \dots J_{l}^{' σ_{l}} . \end{matrix}

式中，

k_{终}

不变是由同族单位制定义 2 中的条件 2 决定的。式 1 和式 21 两式相除便有

\begin{matrix} (22) & \frac{C^{'}}{C} = {(\frac{J_{1}^{'}}{J_{1}})}^{σ_{1}} \dots {(\frac{J_{l}^{'}}{J_{l}})}^{σ_{l}} . \end{matrix}

由式 9

\begin{matrix} (23) & \frac{\hat{C}}{{\hat{C}}^{'}} = \frac{C^{'}}{C}, \frac{{\hat{J}}_{i}}{{\hat{J}}_{i}^{'}} = \frac{J_{i}^{'}}{J_{i}} (i = 1, \dots, l) . \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (24) & \frac{\hat{C}}{{\hat{C}}^{'}} = {(\frac{{\hat{J}}_{1}}{{\hat{J}}_{1}^{'}})}^{σ_{1}} \dots {(\frac{{\hat{J}}_{l}}{{\hat{J}}_{l}^{'}})}^{σ_{l}} . \end{matrix}

由式 16 ，即得式 20 。定理得证。

　　定理 2 表明导出量类 $\tilde{C}$ 的量纲是基本量类的量纲的 $l$ 元函数（为基本量类的个数），函数关系由导出量类 $\tilde{C}$ 的量纲式式 20 给出

定义 3　

　　式 20 称为量类 $\tilde{C}$ 在单位制族 $\tilde{Z}$ 中的量纲式。 $Z$ 为定理 2 证明中所选的单位制。

定义 4　

　　量纲指数全部为 0 的量称为无量纲量或量纲恒为 1 的量。

定理 3　

　　反映物理规律的数值表达式在同族单位制有相同形式。即若在单位制 $Z$ 中，涉及物理量 $A, A_{1}, \dots, A_{n}$ 对应的数值表达式为

\begin{matrix} (25) & A = k A_{1} \dots A_{n} . \end{matrix}

则在与

Z

同族的单位制

Z^{'}

中，涉及物理量

A, A_{1}, \dots, A_{n}

对应的数值表达式为

\begin{matrix} (26) & A^{'} = k A_{1}^{'} \dots A_{n}^{'} . \end{matrix}

其中，

A, A_{1}, \dots, A_{n}

和

A^{'}, A_{1}^{'}, \dots, A_{n}^{'}

分别是在

Z

和

Z^{'}

中用基本单位测得的数，

k

为常数。

　　 证明：假设定理不成立，则在 $Z^{'}$ 中，将有

\begin{matrix} (27) & A^{'} = k^{'} A_{1}^{'} \dots A_{n}^{'}, \end{matrix}

其中，常数

k^{'} \neq k

　　由定理 1 ，可将 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 用基本量类对应的数 $J_{1}, \dots, J_{l}$ 表示之，只需把 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 各自的终定方程（配以所依托的现象类）带入式 25 ，由同族单位制定义， $A_{i}$ 和 $A_{i}^{'}$ 终定方程对应的系数相同，则

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} A = k_{终} {(J_{1})}^{σ_{1}} \dots {(J_{l})}^{σ_{l}}, \\ A^{'} = k_{终}^{'} (J_{1}^{'})^{σ_{1}} \dots (J_{l}^{'})^{σ_{1}} . \end{aligned} \end{matrix}

其中，

k_{终} \neq k_{终}^{'}

。

　　式 28 中两式相除，并由量纲的定义，有

\begin{matrix} (29) & \dim \tilde{A} = \frac{k_{终}}{k_{终}^{'}} {(\dim {\tilde{J}}_{1})}^{σ_{1}} \dots {(\dim {\tilde{J}}_{l})}^{σ_{l}} . \end{matrix}

这与定理 2 相悖，故没有这样的

k^{'} \neq k

存在。定理得证。

推论 1　

　　设物理现象涉及量 $A, B, C$ ，它们在单位制 $Z$ 中的数值表达式为

\begin{matrix} (30) & C = k A^{α} B^{β} . \end{matrix}

则量类

\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}

在

Z

制所在族的量纲满足关系式

\begin{matrix} (31) & \dim \tilde{C} = {(\dim \tilde{A})}^{α} {(\dim \tilde{B})}^{β} . \end{matrix}

定理 4　量纲齐次性定理

　　设物理现象涉及物理量 $A, B, C \dots$ ，它们在某单位制 $Z$ 中的数 $A, B, C, \dots$ 的数值表达式为

\begin{matrix} (32) & C = A + B + \dots \end{matrix}

则相应的量类

A, B, C \dots

在

Z

制所在族的量纲相等。即

\begin{matrix} (33) & \dim \tilde{C} = \dim \tilde{A} = \dim \tilde{B} = \dots \end{matrix}

　　 证明：由量纲定义式 16 可知，量纲仅取决于新旧单位制的选择，而与物理现象中各量大小无关，故可取式 32 中除 $A$ 外的各项数值为 0，即只需讨论

\begin{matrix} (34) & C = A . \end{matrix}

的情况，此式可看着式 30 中

k = α = 1, β = 0

的情形，故由推论 1

\begin{matrix} (35) & \dim \tilde{C} = \dim \tilde{A} . \end{matrix}

同理可证式 33 成立。定理得证。

　　注意，这里的证明里物理量数值可设为 0，是在前面已经建立量类是 1 维矢量空间的基础上的，我们的证明便是在量类构成的 1 维矢量空间中讨论的，故物理量数值设定为 0 合理。

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量纲式

1. 定义方程

定义 1

定义 2

定理 1

定理 2

定义 3

定义 4

定理 3

推论 1

定理 4 量纲齐次性定理

定义 1　

定义 2　

定理 1　

定理 2　

定义 3　

定义 4　

定理 3　

推论 1　

定理 4　量纲齐次性定理