量纲式

                     

贡献者: 零穹

  • 本文存在未完成的内容。
预备知识 单位制和量纲

   在单位制和量纲这一节中我们提到了量纲式,并且给出了定义 1 ,本节将证明量纲式的通用表达式,并给出另外一种较为更 “数学” 的定义。本节的定理将给出一个极其重要的结论,它使得我们对物理规律有一个更深刻的认识。

1. 定义方程

   在单位制和量纲这一节中,例 1 例 2 提到了定义方程和终极定义方程,我们先给出它们的定义。

定义 1 

   在单位制 $\mathscr{Z}$ 中,定义导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的物理规律对应的方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程

定义 2 

   在某一单位制 $\mathscr{Z}$ 中,若将导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程 中涉及的量类(该导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 除外)都用基本量类来表示,得到的定义方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的终极定义方程,简称 终定方程.

定理 1 

   任一单位制 $\mathscr{Z}$ 的任一导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{ \mathscr{Z}}$ 的终定方程都是幂单项式,即

\begin{equation} C=k_{\text{终}}J_1^{\sigma_1}\cdots J_l^{\sigma_l}~. \end{equation}

   证明:记单位制为 $\mathscr{Z}$,为便于陈述,设 $\mathscr{Z}$ 制有 3 个基本量类——$\tilde{\boldsymbol{l}}$、$\tilde{\boldsymbol{m}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{t}}$。选定基本单位 $\hat{\boldsymbol{l}}$、$\hat{\boldsymbol{m}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}$。任一导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}$ 的终定方程为

\begin{equation} C=f(l,m,t)~. \end{equation}
设 $\mathscr{Z}$ 是 $\mathscr{Z}$ 的同族制,其基本单位是 $\hat{\boldsymbol{l}}'$、$\hat{\boldsymbol{m}}'$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}'$,导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位是 $\hat{\boldsymbol{C}}'$,又有
\begin{equation} C'=f(l',m',t')~, \end{equation}
$f$ 不加撇是因为同族制有相同的定义方程。令
\begin{equation} x\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{l}},\quad y\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{m}},\quad z\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{t}}~. \end{equation}
则由式 16 ,得
\begin{equation} x=\frac{\hat{\boldsymbol{l}}}{\hat{\boldsymbol{l}}'}=\frac{l'}{l},\quad y=\frac{\hat{\boldsymbol{m}}}{\hat{\boldsymbol{m}}'}=\frac{m'}{m},\quad z=\frac{\hat{\boldsymbol{t}}}{\hat{\boldsymbol{t}}'}=\frac{t'}{t}~.\quad \end{equation}
故 $l'=xl,m'=ym,t'=zt$,代入式 3
\begin{equation} C'=f(xl,ym,zt)~. \end{equation}
由量纲的定义又知
\begin{equation} \mathrm{ \left. dim \right\rvert _{\mathscr{Z,Z' }}}\tilde{\boldsymbol{C}}=\frac{f(xl,ym,zt)}{f(l,m,t)}~. \end{equation}
上式右边可写成 $x,y,z$ 的函数 $g(x,y,z)$(因为 $\mathcal{Z}$ 制固定而 $\mathscr{Z'}$ 任意,导致变数仅是 $x,y,z$),则
\begin{equation} f(xl,ym,zt)=g(x,y,z)f(l,m,t)~. \end{equation}
上式两边对 $x$ 求导,得
\begin{equation} lf_1(xl,ym,zt)=g_1(x,y,z)f(l,m,t)~. \end{equation}
下标 1 代表对第一个自变数求偏导。取 $x=y=z=1$,得
\begin{equation} lf_1(xl,ym,zt)=g_1(1,1,1)f(l,m,t)~. \end{equation}
令 $\lambda=g_1(1,1,1)$,则上式可写为
\begin{equation} l \frac{\partial f}{\partial l} =\lambda f~. \end{equation}
积分便得
\begin{equation} f(l,m,t)=\phi(m,t)l^{\lambda}~. \end{equation}
其中,$\phi(m,t)$ 是 $m,t$ 的某个函数。

   上式带入式 8 ,便消去了 $l$ 并给出

\begin{equation} \phi(ym,zt)=g(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda}~. \end{equation}
将上式对 $y$ 求偏导,得
\begin{equation} m\phi_1(ym,zt)=g_2(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda}~. \end{equation}
其中,$g_2(x,y,z)$ 的下标 2 代表对第二个自变数求导。取 $x=y=z=1$,又得
\begin{equation} m\phi_1(m,t)=g_2(1,1,1)\phi(m,t)~. \end{equation}
令 $\mu=g_2(1,1,1)$,则上式可简记为
\begin{equation} m \frac{\partial \phi}{\partial m} =\phi f~. \end{equation}
积分得
\begin{equation} \phi(m,t)=\phi(t)m^{\mu}~, \end{equation}
其中 $\phi(t)$ 是 $t$ 的某个函数。类似的还可求得函数
\begin{equation} \phi(t)=kt^{\tau}~. \end{equation}
其中,$\tau=g_3(1,1,1)$,$k$ 是积分常数。 联立式 12 式 17 式 18 ,最终得
\begin{equation} f(l,m,t)=kl^{\lambda}m^{\mu}t^{\tau}~. \end{equation}
可见,$f(l,m,t)$ 的确是幂单项式。该方法可推广至任一单位制,有兴趣读者不妨试试。

   定理得证。

定理 2 

   任一物理量类的量纲式都存在,而且都是幂单项式。特别的,对于导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$,若其导出单位的终定方程形为式 1 ,则其量纲式为

\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l}~, \end{equation}
其中,$\sigma_1,\cdots,\sigma_l$ 称为 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲指数

   证明:设 $\mathscr{Z}$ 为任一单位制,对基本物理量类,定理 2 显然成立。对导出物理量类,定理 1 告诉我们其有终定方程式 1 。设 $\mathscr{Z'}$ 为与 $\mathscr{Z}$ 同族的另一单位制,以 $C'$ 和 $J_1',\cdots,J_l'$ 代表各有关量在 $\mathscr{Z'}$ 制的数,则

\begin{equation} C'=k_{\text{终}}J_1'^{\sigma_1}\cdots J_l'^{\sigma_l}~. \end{equation}
式中,$k_{\text{终}}$ 不变是由同族单位制定义 2 中的条件 2 决定的。式 1 式 21 两式相除便有
\begin{equation} \frac{C'}{C}= \left(\frac{J_1'}{J_1} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{J_l'}{J_l} \right) ^{\sigma_l}~. \end{equation}
式 9
\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}=\frac{C'}{C}, \quad\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_i}{\hat{\boldsymbol{J}}_i'}=\frac{J_i'}{J_i}\quad (i=1,\cdots ,l)~. \end{equation}
所以
\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}= \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_1}{\hat{\boldsymbol{J}}_1'} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_l}{\hat{\boldsymbol{J}}_l'} \right) ^{\sigma_l}~. \end{equation}
式 16 ,即得式 20 。定理得证。

   定理 2 表明导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲是基本量类的量纲的 $l$ 元函数(为基本量类的个数),函数关系由导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲式式 20 给出

定义 3 

   式 20 称为量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在单位制族 $\tilde{\mathscr{Z}}$ 中的量纲式。$\mathscr{Z}$ 为定理 2 证明中所选的单位制。

定义 4 

   量纲指数全部为 0 的量称为无量纲量量纲恒为 1 的量

定理 3 

   反映物理规律的数值表达式在同族单位制有相同形式。即若在单位制 $\mathscr{Z}$ 中,涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为

\begin{equation} A=kA_1\cdots A_n~. \end{equation}
则在与 $\mathscr{Z}$ 同族的单位制 $\mathscr{Z'}$ 中,涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为
\begin{equation} A'=kA_1'\cdots A_n'~. \end{equation}
其中,$A,A_1,\cdots,A_n$ 和 $A',A_1',\cdots ,A_n'$ 分别是在 $\mathscr{Z}$ 和 $\mathscr{Z'}$ 中用基本单位测得的数,$k$ 为常数。

   证明:假设定理不成立,则在 $\mathscr{Z'}$ 中,将有

\begin{equation} A'=k'A_1'\cdots A_n'~, \end{equation}
其中,常数 $k'\neq k$.

   由定理 1 ,可将 $A_1,\cdots,A_n$ 用基本量类对应的数 $J_1,\cdots,J_l$ 表示之,只需把 $A_1,\cdots,A_n$ 各自的终定方程(配以所依托的现象类)带入式 25 ,由同族单位制定义,$A_i$ 和 $A_i'$ 终定方程对应的系数相同,则

\begin{equation} \begin{aligned} &A=k_{\text{终}} \left(J_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(J_l \right) ^{\sigma_l}~,\\ &A'=k'_{\text{终}}(J'_1)^{\sigma_1}\cdots (J'_l)^{\sigma_1}~. \end{aligned} \end{equation}
其中,$k_{\text{终}}\neq k'_{\text{终}}$。

   式 28 中两式相除,并由量纲的定义,有

\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\frac{k_{\text{终}}}{k'_{\text{终}}} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l}~. \end{equation}
这与定理 2 相悖,故没有这样的 $k'\neq k$ 存在。定理得证。

推论 1 

   设物理现象涉及量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$,它们在单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数值表达式为

\begin{equation} C=kA^{\alpha}B^{\beta}~. \end{equation}
则量类 $\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{B}},\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲满足关系式
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}} \right) ^{\alpha} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}} \right) ^{\beta}~. \end{equation}

定理 4 量纲齐次性定理

   设物理现象涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$,它们在某单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数 $A,B,C,\cdots$ 的数值表达式为

\begin{equation} C=A+B+\cdots~ \end{equation}
则相应的量类 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲相等。即
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}}=\cdots~ \end{equation}

   证明:由量纲定义式 16 可知,量纲仅取决于新旧单位制的选择,而与物理现象中各量大小无关,故可取式 32 中除 $A$ 外的各项数值为 0,即只需讨论

\begin{equation} C=A~. \end{equation}
的情况,此式可看着式 30 中 $k=\alpha=1,\beta=0$ 的情形,故由推论 1
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}~. \end{equation}
同理可证式 33 成立。定理得证。

   注意,这里的证明里物理量数值可设为 0,是在前面已经建立量类是 1 维矢量空间的基础上的,我们的证明便是在量类构成的 1 维矢量空间中讨论的,故物理量数值设定为 0 合理。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利