量类的延拓

             

预备知识 量类和单位

   在物理中,不少量类(这里指用单位测量量类中的量所得的数值)在通常情况下或不能取负值,或不连续,或只在某一范围取值.比如质量、面积、体积、密度、电容等不会取负值;电荷取值具有量子化性质;引力常量 $\boldsymbol{G}$ 只有一个等等.为建立一套完整的量纲理论,我们需要对量类进行延拓.在此之前,我们先给出一些理由,以便理解.

1. 量类延拓的理由

   某些量类对于一些数值是 “没有物理意义” 的,比如质量非负,然而,“没有物理意义” 的说法其实是非常含混的.比如对速率量类,在相对论里其数值不能超过光速,但若限于牛顿力学,任何速率都是允许的.再如温度,我们知道绝对零度不可达到,但总应将绝对零度视作温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$ 的元素,否则 “绝对零度不可达到” 将意义不明.绝对零度下的温度虽然 “没有物理意义”,但不妨纳入温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$ 这个集合中,只需将其理解成在具体的问题中不出现而已.现在,“温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$” 指由开尔文(作为单位)的任意实数倍组成的集合.同样,对于量子化的量类,只需将其取值的性质改为可以连续,那些 “没有物理意义” 的值只需理解为在具体问题中不会出现或观察不到.更如,对于引力常量量类 $\tilde{\boldsymbol{G}}$,人们过去一直认为其是常量,但现在,越来越多的人相信,在宇宙演化的历史长河中,引力常量 $\boldsymbol{G}$ 是在非常缓慢地改变着的(由狄拉克于 1937 年率先提出).这一 “常量不常” 的现象对其它若干物理常量也适用.

   当然,对量类进行延拓的最直接理由是建立其对应的数学结构,以便进行各种运算.

2. 量类的最大延拓

定义 1 

   量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的最大延拓是指:以 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的任一单位测量延拓后的量类的所有元素,所得实数取遍整个实数集 $\mathbb{R}$.

   今后不加说明,“量类” 一词(及其符号 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$)都指最大延拓的集合,它包含反映正、负状态的两个子集.

定义 2 

   设 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 是最大延拓的量类,则

  1. $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的子集,以任一单位测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(0,\infty)$;
  2. $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的子集,以任一单位测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(-\infty,0)$

   称 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 分别为量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的正半轴负半轴

3. 量类是 1 维矢量空间

   现在,我们可给出量类的加法、数乘和零元的定义.

加法

图
图 1:米尺测量木块的长

   如图,用米尺测量两个同样的长方体木块(左图),其长为 $1\boldsymbol{m}$,后将两个木块拼接在一起(右图),其长为 $2\boldsymbol{m}$.对同样的情况,若两木块长分别为 $\alpha ,\beta$(以 $\boldsymbol{m}$ 为单位),则拼接在一起的木块长为 $\alpha+\beta$.这提示我们可对同类量的加法进行如下定义

定义 3 

   设 $\boldsymbol{Q_1},\boldsymbol{Q_2}\in \tilde{\boldsymbol{Q}}$,任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$,有 $\boldsymbol{Q_1}=Q_1\hat{\boldsymbol{Q}}, \boldsymbol{Q_2}=Q_2\hat{\boldsymbol{Q}}$,则 $\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$,其定义为

\begin{equation} \boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}:=(Q_1+Q_2)\hat{\boldsymbol{Q}} \end{equation}

例 1 

   试证明:$\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}$ 与所选单位无关.即对于任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$,所得结果分别记为 $\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}$ 和 $\boldsymbol{Q_1}'+\boldsymbol{Q_2}'$,则

\begin{equation} \boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2} =\boldsymbol{Q_1}'+\boldsymbol{Q_2}' \end{equation}
该结论由定理 2 直接得到.

数乘

   定理 1 使得我们能够在量类当中定义数乘.

定义 4 

   设 $\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$,任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 便有 $\boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}}$.任一实数 $\alpha$ 与 $\boldsymbol{Q}$ 的数乘 $\alpha\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 定义为

\begin{equation} \alpha\boldsymbol{Q}:=(\alpha Q)\hat{\boldsymbol{Q}} \end{equation}

零元

定义 5 

   $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的元素称为零元,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $,若存在 $\boldsymbol{Q_0}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 使得用 $\boldsymbol{Q_0}$ 测该元素得数为 0.

   容易证明,用任一非零元素 $\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的零元得数都是 0.

例 2 

   试证明:每个量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的零元是唯一的. 证明:设存在两个零元 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{0'}} $,则存在 $\boldsymbol{Q_0},\boldsymbol{Q_0'}$ 使得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{0}} =0\boldsymbol{Q_0},\quad \boldsymbol{\mathbf{0'}} =0\boldsymbol{Q_0'} \end{equation}
于是
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{0'}} =0\boldsymbol{Q_0'}=0\frac{\boldsymbol{Q_0'}}{\boldsymbol{Q_0}}\boldsymbol{Q_0}=0\boldsymbol{Q_0}=\boldsymbol{0} \end{equation}

   可以验证,这样定义的加法、数乘、零元满足矢量空间的定义.所以每个量类都是(实数域上的)一个矢量空间.又因为它只有一个线性独立的元素(不妨就选取作为单位的量),即只有一个基矢,所以是 1 维矢量空间.

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