量类的延拓

贡献者：零穹

预备知识　量类和单位

　　在物理中，不少量类（这里指用单位测量量类中的量所得的数值）在通常情况下或不能取负值，或不连续，或只在某一范围取值。比如质量、面积、体积、密度、电容等不会取负值；电荷取值具有量子化性质；引力常量 $G$ 只有一个等等。为建立一套完整的量纲理论，我们需要对量类进行延拓。在此之前，我们先给出一些理由，以便理解。

1. 量类延拓的理由

　　某些量类对于一些数值是 “没有物理意义” 的，比如质量非负，然而，“没有物理意义” 的说法其实是非常含混的。比如对速率量类，在相对论里其数值不能超过光速，但若限于牛顿力学，任何速率都是允许的。再如温度，我们知道绝对零度不可达到，但总应将绝对零度视作温度量类 $\tilde{T}$ 的元素，否则 “绝对零度不可达到” 将意义不明。绝对零度下的温度虽然 “没有物理意义”，但不妨纳入温度量类 $\tilde{T}$ 这个集合中，只需将其理解成在具体的问题中不出现而已。现在，“温度量类 $\tilde{T}$ ” 指由开尔文（作为单位）的任意实数倍组成的集合。同样，对于量子化的量类，只需将其取值的性质改为可以连续，那些 “没有物理意义” 的值只需理解为在具体问题中不会出现或观察不到。更如，对于引力常量量类 $\tilde{G}$ ，人们过去一直认为其是常量，但现在，越来越多的人相信，在宇宙演化的历史长河中，引力常量 $G$ 是在非常缓慢地改变着的（由狄拉克于 1937 年率先提出）。这一 “常量不常” 的现象对其它若干物理常量也适用。

　　当然，对量类进行延拓的最直接理由是建立其对应的数学结构，以便进行各种运算。

2. 量类的最大延拓

定义 1　

　　量类 $\tilde{Q}$ 的最大延拓是指：以 $\tilde{Q}$ 的任一单位测量延拓后的量类的所有元素，所得实数取遍整个实数集 $R$ .

　　今后不加说明，“量类” 一词（及其符号 $\tilde{Q}$ ）都指最大延拓的集合，它包含反映正、负状态的两个子集。

定义 2　

　　设 $\tilde{Q}$ 是最大延拓的量类，则

${\tilde{Q}}_{正}$ 是 $\tilde{Q}$ 的子集，以任一单位测 ${\tilde{Q}}_{正}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(0, \infty)$ ；
${\tilde{Q}}_{负}$ 是 $\tilde{Q}$ 的子集，以任一单位测 ${\tilde{Q}}_{负}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(- \infty, 0)$

　　称 ${\tilde{Q}}_{正}$ 和 ${\tilde{Q}}_{负}$ 分别为量类 $\tilde{Q}$ 的正半轴 和 负半轴。

3. 量类是 1 维矢量空间

　　现在，我们可给出量类的加法、数乘和零元的定义。

加法

图 1：米尺测量木块的长

　　如图，用米尺测量两个同样的长方体木块（左图），其长为 $1 m$ ，后将两个木块拼接在一起（右图），其长为 $2 m$ 。对同样的情况，若两木块长分别为 $α, β$ （以 $m$ 为单位）,则拼接在一起的木块长为 $α + β$ 。这提示我们可对同类量的加法进行如下定义

定义 3　

　　设 $Q_{1}, Q_{2} \in \tilde{Q}$ ，任选单位 $\hat{Q} \in {\tilde{Q}}_{正}$ ，有 $Q_{1} = Q_{1} \hat{Q}, Q_{2} = Q_{2} \hat{Q}$ ，则 $Q_{1} + Q_{2} \in \tilde{Q}$ ，其定义为

\begin{matrix} (1) & Q_{1} + Q_{2} := (Q_{1} + Q_{2}) \hat{Q} . \end{matrix}

例 1　

　　试证明： $Q_{1} + Q_{2}$ 与所选单位无关。即对于任选单位 $\hat{Q}, \hat{Q^{'}} \in \tilde{Q}$ ，所得结果分别记为 $Q_{1} + Q_{2}$ 和 $Q_{1}^{'} + Q_{2}^{'}$ ，则

\begin{matrix} (2) & Q_{1} + Q_{2} = Q_{1}^{'} + Q_{2}^{'} . \end{matrix}

该结论由定理 2 直接得到。

数乘

　　定理 1 使得我们能够在量类当中定义数乘。

定义 4　

　　设 $Q \in \tilde{Q}$ ，任选单位 $\hat{Q}$ 便有 $Q = Q \hat{Q}$ 。任一实数 $α$ 与 $Q$ 的数乘 $α Q \in \tilde{Q}$ 定义为

\begin{matrix} (3) & α Q := (α Q) \hat{Q} . \end{matrix}

零元

定义 5　

　　 $\tilde{Q}$ 的元素称为零元，记作 $0$ ，若存在 $Q_{0} \in \tilde{Q}$ 使得用 $Q_{0}$ 测该元素得数为 0.

　　容易证明，用任一非零元素 $Q \in \tilde{Q}$ 测 $\tilde{Q}$ 的零元得数都是 0.

例 2　

　　试证明：每个量类 $\tilde{Q}$ 的零元是唯一的。 证明：设存在两个零元 $0$ 和 $0^{'}$ ，则存在 $Q_{0}, Q_{0}^{'}$ 使得

\begin{matrix} (4) & 0 = 0 Q_{0}, 0^{'} = 0 Q_{0}^{'} . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (5) & 0^{'} = 0 Q_{0}^{'} = 0 \frac{Q_{0}^{'}}{Q_{0}} Q_{0} = 0 Q_{0} = 0 . \end{matrix}

　　可以验证，这样定义的加法、数乘、零元满足矢量空间的定义。所以每个量类都是（实数域上的）一个矢量空间。又因为它只有一个线性独立的元素（不妨就选取作为单位的量），即只有一个基矢，所以是 1 维矢量空间。

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