贡献者： 零穹
1. 为什么要引入单位制？
为回答这一问题，先来看一个例子。欧姆定律的数值表达式为
\begin{equation}
U=IR~,
\end{equation}
其中 $U,I,R$ 分别是以
$\boldsymbol{V}$ 、
$\boldsymbol{A}$ 和
$\boldsymbol{\Omega}$ 为单位测量问题中的电压 $\boldsymbol{U},\boldsymbol{I},\boldsymbol{R}$ 所得的数。为明确起见，把
式 1 写为
\begin{equation}
U_{V}=I_{A}R_{\Omega}~.
\end{equation}
若以
$\boldsymbol{mA}$ 测量电流，并把所得的数记作 $I_{mA}$，由
式 9
\begin{equation}
I_{A}=\frac{\boldsymbol{mA}}{\boldsymbol{A}}I_{mA}=10^{-3}I_{mA}~.
\end{equation}
代入
式 3 ，便得
\begin{equation}
U_{V}=10^{-3}I_{mA}R_{\Omega}~.
\end{equation}
为了简洁起见，通常都去掉下标，于是就有
\begin{equation}
U=10^{-3}IR~.
\end{equation}
和
式 5 都称为欧姆定律，两者不同的原因在于采用不同的单位搭配。
通过上面的例子，不难想象，同一规律的各个数值表达式之间的差别仅体现在一个附加因子。因此，只需把式式 1 改写为
\begin{equation}
U=kIR~.
\end{equation}
便能在任何单位搭配下成立。上式中 $k$ 依赖于式中各量所选的单位。
每一量类中的单位原则上可任选，但这会导致大量的数值表达式中的 $k$ 值复杂得难以记住。为克服这一困难，可用单位制来约束各个量类单位的选法。
2. 单位制
一个单位制由以下 3 个要素构成：
- 选定 $l$ 个量类 $\tilde{\boldsymbol{J}}_1,\cdots,\tilde{\boldsymbol{J}}_l$ 作为基本量类（个数和选法有相当任意性），其它量类一律称为导出量类。
- 对每一基本量类 $\tilde{\boldsymbol{J}}_i(i=1,\cdots,l)$ 任选一单位 $\hat{\boldsymbol{J}}_i$，称为基本单位。
- 对每一导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$，利用一个适当的、涉及 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的物理规律来定义它的单位，称为导出单位。
例 1 CGS 制中速度量类 $\tilde{\boldsymbol{v}
}$ 单位的定义
CGS 单位制指定长度、质量和时间为基本量类，并选 $\boldsymbol{cm},\boldsymbol{g},\boldsymbol{s}$ 为基本单位。为定义速度 $\tilde{\boldsymbol{v}}$（导出量类）的单位，考虑 “质点做匀速直线运动” 这一现象类（它包括质点以各种不同速度做匀速直线运动这一现象）。设质点在 $t\boldsymbol{s}$ 内走了 $l\boldsymbol{cm}$，以 $v$ 代表用任一速度单位 $\hat{\boldsymbol{v}}$ 测质点速度 $\boldsymbol{v}$ 所得的数，则有如下物理规律：
\begin{equation}
v=k\frac{l}{t}~,
\end{equation}
其中 $k$ 反应速度单位 $\hat{\boldsymbol{v}}$ 的任意性，与具体现象无关。指定 $k=1$ 便指定了一个确切的速度单位。具体说，$k=1$ 使上式简化为
\begin{equation}
v=\frac{l}{t}~.
\end{equation}
上式起到给速度的 CGS 制单位 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 下定义的作用，称为导出单位 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 的
定义方程。为看出这一 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 是怎样一种速度，可在这一现象类中选出任一现象：质点在 $\boldsymbol{t}=t_0\boldsymbol{s}$ 内走了 $\boldsymbol{l}=l_0\boldsymbol{cm}$，代入
式 8 得 $v=l_0/t_0$，即有
\begin{equation}
\boldsymbol{v}=\frac{l_0}{t_0}\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}~.
\end{equation}
通常，我们令 $l_0=t_0=1$，这时 $\boldsymbol{v}=1\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$，即 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 代表每 $\boldsymbol{s}$ 走 $1\boldsymbol{cm}$ 这样一种速度。通常写为
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s}~.
\end{equation}
当然，任一现象都是可取的，因为对任一现象，都满足 $\boldsymbol{v}=v\hat{\boldsymbol{v}}$，而 $v=v/1$ 表示质点每 $\boldsymbol{s}$ 走 $v\boldsymbol{cm}$，即 $\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{cm/s}$，与 $\boldsymbol{v}=v\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 结合，得 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s}$.
上面例子中，需注意 "$\boldsymbol{cm/s}$" 只是 “每 $\boldsymbol{s}$ 走 $1\boldsymbol{cm}$ ” 这样一种速度 的记号，切莫看成量的除法。
例 2 CGS 制中加速度量类 $\tilde{\boldsymbol{a}}$ 单位的定义
考虑 “质点从静止开始做匀加速直线运动” 这一现象类。设 $t\boldsymbol{s}$ 末的速度为 $v\boldsymbol{cm/s}$，以 $a$ 代表用任一加速度单位 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 测该质点加速度所得的数，则
\begin{equation}
a=k\frac{v}{t}~,
\end{equation}
其中 $k$ 反应 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 的任意性。指定 $k=1$ 便指定了 CGS 制的加速度单位 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$。$k=1$ 使上式简化为
\begin{equation}
a=v/t~.
\end{equation}
当 $t=1$ 及 $v=1$ 时 $a=1$，可见 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 是速度每 $\boldsymbol{s}$ 增加 $1\boldsymbol{m/s}$ 这样一种加速度，通常写成
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s}^2~.
\end{equation}
若将 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的定义方程
式 12 写成只涉及基本量类的形式，所得方程就称为 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的
终极定义方程。与之区别，定义方程
式 11 称为
原始定义方程。考虑现象类 “质点从静止开始开始做匀加速运动，然后以末速度做匀速运动” 显然在匀加速阶段，加速度、时间和末速度有
式 12 的关系，而在匀速阶段，便有
式 8 的关系，两式联立得
\begin{equation}
a=l/t^2~.
\end{equation}
此即 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的终极定义方程。也可考虑现象类 “质点从静止开始做匀加速运动”，并设它在 $t\boldsymbol{s}$ 内走了 $l/2\boldsymbol{cm}$，也得到
式 14
上面两个例子里，给出导出单位的方程时都说明了它所依托的现象类。事实上，对于每一导出单位都必须给出其所依托的现象类，因为同一定义方程配以不同的现象类可能定义出不同的导出单位。下面是一个例子
例 3
许多单位制都选长度为一基本量类，选面积为导出量类，导出单位 $\hat{\boldsymbol{S}}$ 的定义方程为 $S=ab$，其中 $S$ 和 $a,b$ 依次是矩形面积和每个边长。如长度基本单位是 $\boldsymbol{m}$，则面积单位是 $\boldsymbol{m}^2$（方米）。可见导出单位 $\boldsymbol{m}^2$ 的定义方程 $S=ab$ 所依托的是矩形现象类。然而，若改用三角形现象类，同样的定义方程 $S=ab$ 给出的是 角米。1角米=方米/2。
3. 量纲
物理学中常常遇到改变单位制的情况，假定问题涉及两个单位制（分别称为 “旧制” 和 “新制”），人们当然关心任一物理量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 在旧、新两制的单位的比值，即
\begin{equation}
\frac{\hat{\boldsymbol{Q}}}{\hat{\boldsymbol{Q'}}}~,
\end{equation}
其中 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 分别表示 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 在旧、新两制中的单位。这一比值
式 15 称为 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的
量纲(dimension)，记作 $\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{Q}}$，即
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{Q}}=\frac{\hat{\boldsymbol{Q}}}{\hat{\boldsymbol{Q'}}}~.
\end{equation}
通常，记长度、质量、时间的量纲分别为 $\mathrm{L},\mathrm{M},\mathrm{T}$，即
\begin{equation}
\mathrm{L}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{l}}~,\quad\mathrm{M}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{m}}~,\quad
\mathrm{T}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{t}}~.
\end{equation}
所选单位制的基本量类的量纲称为该单位制的基本量纲。而 $\tilde{\boldsymbol{l}},\tilde{\boldsymbol{m}},\tilde{\boldsymbol{t}}$ 是国际制的基本量类，所以 $L,M,T$ 其实就是国际制的基本量纲。
由于导出单位由基本单位通过定义方程来定义，基本单位的改变自然会引起导出单位的改变。为描述导出量类的单位变换如何依从于基本量类的单位变换，需引入量纲式.
定义 1
描述导出量类 $\hat{\boldsymbol{C}}$ 的量纲与基本量纲的关系式称为 量纲式。其中，导出量类的量纲称为导出量纲。
现在有个问题尚需解决，如果两个单位制连基本量类都不同，如何谈导出单位随基本单位的改变而改变？这需要引进单位制族的概念。
定义 2
两个单位制称为同族的，若满足：
- 基本量类相同
- 所有导出单位的定义方程（及其所依托的现象类）在两制中是相同的。
与单位制 $\mathscr{Z}$ 同族的所有单位制构成的集合记为 $\tilde{\mathscr{Z}}$。并称其为 $\mathscr{Z}$ 所在的单位制族.
容易证明，若 $\mathscr{Z}$ 与 $\mathscr{Z'}$ 同族，则 $\tilde{\mathscr{Z}}=\tilde{\mathscr{Z'}}$.
由量纲式的定义可知，当谈及量纲式时必须是对于同族单位制而言。
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