单位制和量纲

             

预备知识 现象类

1. 为什么要引入单位制?

   为回答这一问题,先来看一个例子.欧姆定律的数值表达式为

\begin{equation} U=IR \end{equation}
其中 $U,I,R$ 分别是以 $\boldsymbol{V}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{\Omega}$ 为单位测量问题中的电压 $\boldsymbol{U},\boldsymbol{I},\boldsymbol{R}$ 所得的数.为明确起见,把式 1 写为
\begin{equation} U_{V}=I_{A}R_{\Omega} \end{equation}
若以 $\boldsymbol{mA}$ 测量电流,并把所得的数记作 $I_{mA}$,由式 9
\begin{equation} I_{A}=\frac{\boldsymbol{mA}}{\boldsymbol{A}}I_{mA}=10^{-3}I_{mA} \end{equation}
式 1 代入 式 3 ,便得
\begin{equation} U_{V}=10^{-3}I_{mA}R_{\Omega} \end{equation}
为了简洁起见,通常都去掉下标,于是就有
\begin{equation} U=10^{-3}IR \end{equation}
式 1 式 5 都称为欧姆定律,两者不同的原因在于采用不同的单位搭配.

   通过上面的例子,不难想象,同一规律的各个数值表达式之间的差别仅体现在一个附加因子.因此,只需把式式 1 改写为

\begin{equation} U=kIR \end{equation}
便能在任何单位搭配下成立.上式中 $k$ 依赖于式中各量所选的单位.

   每一量类中的单位原则上可任选,但这会导致大量的数值表达式中的 $k$ 值复杂得难以记住.为克服这一困难,可用单位制来约束各个量类单位的选法.

2. 单位制

   一个单位制由以下 3 个要素构成:

  1. 选定 $l$ 个量类 $\tilde{\boldsymbol{J}}_1,\cdots,\tilde{\boldsymbol{J}}_l$ 作为基本量类(个数和选法有相当任意性),其它量类一律称为导出量类
  2. 对每一基本量类 $\tilde{\boldsymbol{J}}_i(i=1,\cdots,l)$ 任选一单位 $\hat{\boldsymbol{J}}_i$,称为基本单位
  3. 对每一导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$,利用一个适当的、涉及 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的物理规律来定义它的单位,称为导出单位

例 1 CGS 制中速度量类 $\tilde{\boldsymbol{v} }$ 单位的定义

   CGS 单位制指定长度、质量和时间为基本量类,并选 $\boldsymbol{cm},\boldsymbol{g},\boldsymbol{s}$ 为基本单位.为定义速度 $\tilde{\boldsymbol{v}}$(导出量类)的单位,考虑 “质点做匀速直线运动” 这一现象类(它包括质点以各种不同速度做匀速直线运动这一现象).设质点在 $t\boldsymbol{s}$ 内走了 $l\boldsymbol{cm}$,以 $v$ 代表用任一速度单位 $\hat{\boldsymbol{v}}$ 测质点速度 $\boldsymbol{v}$ 所得的数,则有如下物理规律:

\begin{equation} v=k\frac{l}{t} \end{equation}
其中 $k$ 反应速度单位 $\hat{\boldsymbol{v}}$ 的任意性,与具体现象无关.指定 $k=1$ 便指定了一个确切的速度单位.具体说,$k=1$ 使上式简化为
\begin{equation} v=\frac{l}{t} \end{equation}
上式起到给速度的 CGS 制单位 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 下定义的作用,称为导出单位 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 的定义方程.为看出这一 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 是怎样一种速度,可在这一现象类中选出任一现象:质点在 $\boldsymbol{t}=t_0\boldsymbol{s}$ 内走了 $\boldsymbol{l}=l_0\boldsymbol{cm}$,代入式 8 得 $v=l_0/t_0$,即有
\begin{equation} \boldsymbol{v}=\frac{l_0}{t_0}\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS} \end{equation}
通常,我们令 $l_0=t_0=1$,这时 $\boldsymbol{v}=1\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$,即 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 代表每 $\boldsymbol{s}$ 走 $1\boldsymbol{cm}$ 这样一种速度.通常写为
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s} \end{equation}
当然,任一现象都是可取的,因为对任一现象,都满足 $\boldsymbol{v}=v\hat{\boldsymbol{v}}$,而 $v=v/1$ 表示质点每 $\boldsymbol{s}$ 走 $v\boldsymbol{cm}$,即 $\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{cm/s}$,与 $\boldsymbol{v}=v\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}$ 结合,得 $\hat{\boldsymbol{v}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s}$.

   上面例子中,需注意 "$\boldsymbol{cm/s}$" 只是 “每 $\boldsymbol{s}$ 走 $1\boldsymbol{cm}$ ” 这样一种速度 的记号,切莫看成量的除法.

例 2 CGS 制中加速度量类 $\tilde{\boldsymbol{a}}$ 单位的定义

   考虑 “质点从静止开始做匀加速直线运动” 这一现象类.设 $t\boldsymbol{s}$ 末的速度为 $v\boldsymbol{cm/s}$,以 $a$ 代表用任一加速度单位 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 测该质点加速度所得的数,则

\begin{equation} a=k\frac{v}{t} \end{equation}
其中 $k$ 反应 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 的任意性.指定 $k=1$ 便指定了 CGS 制的加速度单位 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$.$k=1$ 使上式简化为
\begin{equation} a=v/t \end{equation}
当 $t=1$ 及 $v=1$ 时 $a=1$,可见 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 是速度每 $\boldsymbol{s}$ 增加 $1\boldsymbol{m/s}$ 这样一种加速度,通常写成
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}=\boldsymbol{cm/s}^2 \end{equation}
若将 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的定义方程式 12 写成只涉及基本量类的形式,所得方程就称为 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的终极定义方程.与之区别,定义方程式 11 称为原始定义方程.考虑现象类 “质点从静止开始开始做匀加速运动,然后以末速度做匀速运动” 显然在匀加速阶段,加速度、时间和末速度有式 12 的关系,而在匀速阶段,便有式 8 的关系,两式联立得
\begin{equation} a=l/t^2 \end{equation}
此即 $\hat{\boldsymbol{a}}_{CGS}$ 的终极定义方程.也可考虑现象类 “质点从静止开始做匀加速运动”,并设它在 $t\boldsymbol{s}$ 内走了 $l/2\boldsymbol{cm}$,也得到式 14

   上面两个例子里,给出导出单位的方程时都说明了它所依托的现象类.事实上,对于每一导出单位都必须给出其所依托的现象类,因为同一定义方程配以不同的现象类可能定义出不同的导出单位.下面是一个例子

例 3 

   许多单位制都选长度为一基本量类,选面积为导出量类,导出单位 $\hat{\boldsymbol{S}}$ 的定义方程为 $S=ab$,其中 $S$ 和 $a,b$ 依次是矩形面积和每个边长.如长度基本单位是 $\boldsymbol{m}$,则面积单位是 $\boldsymbol{m}^2$(方米).可见导出单位 $\boldsymbol{m}^2$ 的定义方程 $S=ab$ 所依托的是矩形现象类.然而,若改用三角形现象类,同样的定义方程 $S=ab$ 给出的是 角米.1角米=方米/2.

3. 量纲

   物理学中常常遇到改变单位制的情况,假定问题涉及两个单位制(分别称为 “旧制” 和 “新制”),人们当然关心任一物理量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 在旧、新两制的单位的比值,即

\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{Q}}}{\hat{\boldsymbol{Q'}}} \end{equation}
其中 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 分别表示 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 在旧、新两制中的单位.这一比值式 15 称为 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的量纲(dimension),记作 $\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{Q}}$,即
\begin{equation} \mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{Q}}=\frac{\hat{\boldsymbol{Q}}}{\hat{\boldsymbol{Q'}}} \end{equation}
通常,记长度、质量、时间的量纲分别为 $\mathrm{L},\mathrm{M},\mathrm{T}$,即
\begin{equation} \mathrm{L}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{l}},\quad\mathrm{M}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{m}},\quad \mathrm{T}\equiv\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{t}} \end{equation}

   所选单位制的基本量类的量纲称为该单位制的基本量纲.而 $\tilde{\boldsymbol{l}},\tilde{\boldsymbol{m}},\tilde{\boldsymbol{t}}$ 是国际制的基本量类,所以 $L,M,T$ 其实就是国际制的基本量纲.

   由于导出单位由基本单位通过定义方程来定义,基本单位的改变自然会引起导出单位的改变.为描述导出量类的单位变换如何依从于基本量类的单位变换,需引入量纲式.

定义 1 

   描述导出量类 $\hat{\boldsymbol{C}}$ 的量纲与基本量纲的关系式称为 量纲式.其中,导出量类的量纲称为导出量纲

   现在有个问题尚需解决,如果两个单位制连基本量类都不同,如何谈导出单位随基本单位的改变而改变?这需要引进单位制族的概念.

定义 2 

   两个单位制称为同族的,若满足:

  1. 基本量类相同
  2. 所有导出单位的定义方程(及其所依托的现象类)在两制中是相同的.

   与单位制 $\mathscr{Z}$ 同族的所有单位制构成的集合记为 $\tilde{\mathscr{Z}}$.并称其为 $\mathscr{Z}$ 所在的单位制族.

   容易证明,若 $\mathscr{Z}$ 与 $\mathscr{Z'}$ 同族,则 $\tilde{\mathscr{Z}}=\tilde{\mathscr{Z'}}$.

   由量纲式的定义可知,当谈及量纲式时必须是对于同族单位制而言.

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