单位制和量纲

                     

贡献者： 零穹

预备知识　现象类

1. 为什么要引入单位制？

　　 为回答这一问题，先来看一个例子。欧姆定律的数值表达式为

(1)U=IR ,
其中 U,I,R 分别是以 V 、 A 和 Ω 为单位测量问题中的电压 U,I,R 所得的数。为明确起见，把式 1 写为
(2)UV=IARΩ .
若以 mA 测量电流，并把所得的数记作 ImA，由式 9
(3)IA=mAAImA=10−3ImA .
式 1 代入 式 3 ，便得
(4)UV=10−3ImARΩ .
为了简洁起见，通常都去掉下标，于是就有
(5)U=10−3IR .
式 1 和式 5 都称为欧姆定律，两者不同的原因在于采用不同的单位搭配。

　　 通过上面的例子，不难想象，同一规律的各个数值表达式之间的差别仅体现在一个附加因子。因此，只需把式式 1 改写为

(6)U=kIR .
便能在任何单位搭配下成立。上式中 k 依赖于式中各量所选的单位。

　　 每一量类中的单位原则上可任选，但这会导致大量的数值表达式中的 k 值复杂得难以记住。为克服这一困难，可用单位制来约束各个量类单位的选法。

2. 单位制

　　 一个单位制由以下 3 个要素构成：

  1. 选定 l 个量类 J~1,⋯,J~l 作为基本量类（个数和选法有相当任意性），其它量类一律称为导出量类。
  2. 对每一基本量类 J~i(i=1,⋯,l) 任选一单位 J^i，称为基本单位。
  3. 对每一导出量类 C~，利用一个适当的、涉及 C~ 的物理规律来定义它的单位，称为导出单位。

例 1　CGS 制中速度量类 v~ 单位的定义

　　 CGS 单位制指定长度、质量和时间为基本量类，并选 cm,g,s 为基本单位。为定义速度 v~（导出量类）的单位，考虑 “质点做匀速直线运动” 这一现象类（它包括质点以各种不同速度做匀速直线运动这一现象）。设质点在 ts 内走了 lcm，以 v 代表用任一速度单位 v^ 测质点速度 v 所得的数，则有如下物理规律：

(7)v=klt ,
其中 k 反应速度单位 v^ 的任意性，与具体现象无关。指定 k=1 便指定了一个确切的速度单位。具体说，k=1 使上式简化为
(8)v=lt .
上式起到给速度的 CGS 制单位 v^CGS 下定义的作用，称为导出单位 v^CGS 的定义方程。为看出这一 v^CGS 是怎样一种速度，可在这一现象类中选出任一现象：质点在 t=t0s 内走了 l=l0cm，代入式 8 得 v=l0/t0，即有
(9)v=l0t0v^CGS .
通常，我们令 l0=t0=1，这时 v=1v^CGS，即 v^CGS 代表每 s 走 1cm 这样一种速度。通常写为
(10)v^CGS=cm/s .
当然，任一现象都是可取的，因为对任一现象，都满足 v=vv^，而 v=v/1 表示质点每 s 走 vcm，即 v=vcm/s，与 v=vv^CGS 结合，得 v^CGS=cm/s.

　　 上面例子中，需注意 "cm/s" 只是 “每 s 走 1cm ” 这样一种速度 的记号，切莫看成量的除法。

例 2　CGS 制中加速度量类 a~ 单位的定义

　　 考虑 “质点从静止开始做匀加速直线运动” 这一现象类。设 ts 末的速度为 vcm/s，以 a 代表用任一加速度单位 a^ 测该质点加速度所得的数，则

(11)a=kvt ,
其中 k 反应 a^ 的任意性。指定 k=1 便指定了 CGS 制的加速度单位 a^CGS。k=1 使上式简化为
(12)a=v/t .
当 t=1 及 v=1 时 a=1，可见 a^CGS 是速度每 s 增加 1m/s 这样一种加速度，通常写成
(13)a^CGS=cm/s2 .
若将 a^CGS 的定义方程式 12 写成只涉及基本量类的形式，所得方程就称为 a^CGS 的终极定义方程。与之区别，定义方程式 11 称为原始定义方程。考虑现象类 “质点从静止开始开始做匀加速运动，然后以末速度做匀速运动” 显然在匀加速阶段，加速度、时间和末速度有式 12 的关系，而在匀速阶段，便有式 8 的关系，两式联立得
(14)a=l/t2 .
此即 a^CGS 的终极定义方程。也可考虑现象类 “质点从静止开始做匀加速运动”，并设它在 ts 内走了 l/2cm，也得到式 14

　　 上面两个例子里，给出导出单位的方程时都说明了它所依托的现象类。事实上，对于每一导出单位都必须给出其所依托的现象类，因为同一定义方程配以不同的现象类可能定义出不同的导出单位。下面是一个例子

例 3　

　　 许多单位制都选长度为一基本量类，选面积为导出量类，导出单位 S^ 的定义方程为 S=ab，其中 S 和 a,b 依次是矩形面积和每个边长。如长度基本单位是 m，则面积单位是 m2（方米）。可见导出单位 m2 的定义方程 S=ab 所依托的是矩形现象类。然而，若改用三角形现象类，同样的定义方程 S=ab 给出的是 角米。1角米=方米/2。

3. 量纲

　　 物理学中常常遇到改变单位制的情况，假定问题涉及两个单位制（分别称为 “旧制” 和 “新制”），人们当然关心任一物理量类 Q~ 在旧、新两制的单位的比值，即

(15)Q^Q′^ ,
其中 Q^,Q′^ 分别表示 Q~ 在旧、新两制中的单位。这一比值式 15 称为 Q~ 的量纲(dimension)，记作 dimQ~，即
(16)dimQ~=Q^Q′^ .
通常，记长度、质量、时间的量纲分别为 L,M,T，即
(17)L≡diml~ ,M≡dimm~ ,T≡dimt~ .

　　 所选单位制的基本量类的量纲称为该单位制的基本量纲。而 l~,m~,t~ 是国际制的基本量类，所以 L,M,T 其实就是国际制的基本量纲。

　　 由于导出单位由基本单位通过定义方程来定义，基本单位的改变自然会引起导出单位的改变。为描述导出量类的单位变换如何依从于基本量类的单位变换，需引入量纲式.

定义 1　

　　 描述导出量类 C^ 的量纲与基本量纲的关系式称为 量纲式。其中，导出量类的量纲称为导出量纲。

　　 现在有个问题尚需解决，如果两个单位制连基本量类都不同，如何谈导出单位随基本单位的改变而改变？这需要引进单位制族的概念。

定义 2　

　　 两个单位制称为同族的，若满足：

  1. 基本量类相同
  2. 所有导出单位的定义方程（及其所依托的现象类）在两制中是相同的。

　　 与单位制 Z 同族的所有单位制构成的集合记为 Z~。并称其为 Z 所在的单位制族.

　　 容易证明，若 Z 与 Z′ 同族，则 Z~=Z′~.

　　 由量纲式的定义可知，当谈及量纲式时必须是对于同族单位制而言。


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