量类和单位

             

1. 量类

   现象、物体或物质可定性区别并能定量测量的属性称为物理量(简称).量的具体意义指大小、轻重、长短等概念,并不是所有的量都可以相互比较,比如表示长短的量和表示大小的量不能相互比较,但表示同一具体意义的量之间可以相互比较.

   我们把可以相互比较的量称为同类量,比较的结果是一个数.以粗体字母表示量,如 $\boldsymbol{A}$,细体字母表示数,如 $A$.若量 $\boldsymbol{A_1}$ 和量 $\boldsymbol{A_2}$ 可相互比较,则称量 $\boldsymbol{A_1}$ 和 $\boldsymbol{A_2}$ 同类.对于所有量构成的集合 $\mathcal{M}$,其上的同类关系显然为一等价关系, 由该等价关系确定的等价类称为量类.对任一量 $\boldsymbol{Q}$,与它同类的所有量构成的集合称为 $\boldsymbol{Q}$ 的量类,记作 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$.显然 $\boldsymbol{Q}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的元素,可记作 $\boldsymbol{Q}\in \tilde{\boldsymbol{Q}}$,每个 $\boldsymbol{Q}$ 可称为 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的量值.例如,所有长度量的集合称为长度量类(记作 $\tilde{\boldsymbol{l}}$).类似的,还有质量量类$\tilde{\boldsymbol{m}}$、时间量类$\tilde{\boldsymbol{t}}$、速度量类$\tilde{\boldsymbol{v}}$ 等.

   设 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$ 是同类量,将 $\boldsymbol{Q_2}$ 和 $\boldsymbol{Q_1}$ 进行比较得数为 $Q$,也称用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数 $Q$,记作

\begin{equation} \boldsymbol{Q_2}=Q\boldsymbol{Q_1} \end{equation}
等式式 1 称为 同类量等式

定义 1 

   若 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$ 满足同类量等式式 1 ,则称

\begin{equation} \frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=Q \end{equation}
为同类量 $\boldsymbol{Q_2}$ 与 $\boldsymbol{Q_1}$ 的

2. 单位

   在量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 中任选一个非零元素(即该元素测量其它非零元素得数不为 0)$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量其它元素,就可把每一个元素映射到一个实数,这个 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 称为单位

   设用 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q$,即

\begin{equation} \boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}} \end{equation}
如果改用另一单位 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$,得数为 $Q'$,即
\begin{equation} \boldsymbol{Q}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}} \end{equation}
为由式 3 式 4 推得 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 的关系,需要用到如下的测量公理.

   测量公理:对同类量 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$、$\boldsymbol{Q_3}$,若用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\alpha$,用 $\boldsymbol{Q_2}$ 测量 $\boldsymbol{Q_3}$ 得数为 $\beta$,则用 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_3}$ 得数为 $\alpha\beta$.即若

\begin{equation} \boldsymbol{Q_2}=\alpha\boldsymbol{Q_1},\boldsymbol{Q_3}=\beta\boldsymbol{Q_2}\quad\Rightarrow \quad\boldsymbol{Q_3}=(\alpha\beta)\boldsymbol{Q_1} \end{equation}

定理 1 

   $\alpha \boldsymbol{Q}$ 是一个与 $\boldsymbol{Q}$ 同类的量,并且

\begin{equation} \alpha \left(\beta \boldsymbol{Q} \right) = \left(\alpha\beta \right) \boldsymbol Q \end{equation}

   证明:因为 $\alpha\boldsymbol{Q}=\alpha\boldsymbol{Q}$,即用 $\boldsymbol{Q}$ 测量 $\alpha\boldsymbol{Q}$ 得数 $\alpha$,这表明 $\alpha\boldsymbol{Q}$ 与 $\boldsymbol{Q}$ 同类.

   因为

\begin{equation} \alpha(\beta\boldsymbol{Q})=\alpha(\beta\boldsymbol{Q}),\beta\boldsymbol{Q}=\beta\boldsymbol{Q} \end{equation}
由测量公理式 5 ,即得式 6 ,定理得证.

   有了测量公理,便可讨论 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 的关系.由商的定义式 2 ,可知 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 得数为 $\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}$,又 $\hat{\boldsymbol{Q'}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q'$,所以由测量公理,$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\boldsymbol{Q}$ 得数 $Q'\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}$,又由式 3 ,得

\begin{equation} Q'\frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}=Q \end{equation}
\begin{equation} \frac{\hat{\boldsymbol{Q'}}}{\hat{\boldsymbol{Q}}}=\frac{Q}{Q'} \end{equation}

   定理 1 式 9 是由测量公理得出的,结合二者,我们得到下面的定理.

定理 2 

   $\boldsymbol{Q}$ 与任选单位无关.即任意 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$,且 $\boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}},\boldsymbol{Q}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}}$,则

\begin{equation} Q\hat{\boldsymbol{Q}}=Q'\hat{\boldsymbol{Q'}} \end{equation}

   证明:由商的定义式 2 式 9 可写成

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{Q'}}=\frac{Q}{Q'}\hat{\boldsymbol{Q}} \end{equation}
两边作用一个 $Q'$,并由定理 1 ,即得式 10 .定理得证.

   同样的,我们可以得到下面的定理.

定理 3 

   对量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的两个元素 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$,若

\begin{equation} \boldsymbol{Q_1}=Q_1\hat{\boldsymbol{Q}},\quad \boldsymbol{Q_2}=Q_2\hat{\boldsymbol{Q}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2}{Q_1} \end{equation}

   证明:由商的定义式 2 ,$\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$,由式 12 第一式,$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $Q_1$,由测量公理,$\hat{\boldsymbol{Q}}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q_1\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$,又由式 12 第二式,便有

\begin{equation} Q_1\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}=Q_2 \end{equation}
式 14 即是式 13 等价形式,定理得证.

   当 $Q_2 > Q_1$ 时,我们说量 $\boldsymbol{Q_2}$ 大于量 $\boldsymbol{Q_1}$,并记作 $\boldsymbol{Q_2} > \boldsymbol{Q_1}$.如此,式 9 就可表达为:用不同单位测量同一量时,单位越大得数越小.

例 1 

   若 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$ 同类,试证明以下式子

\begin{equation} \frac{Q_2\boldsymbol{Q_2}}{Q_1\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2}{Q_1}\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \end{equation}
证明: 显然,用量 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $Q_1\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $Q_1$,用量 $\boldsymbol{Q_2}$ 测量 $Q_2\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q_2$,即
\begin{equation} \begin{aligned} Q_1\boldsymbol{Q_1}=Q_1\boldsymbol{Q_1}\\ Q_2\boldsymbol{Q_2}=Q_2\boldsymbol{Q_2} \end{aligned} \end{equation}

   而用量 $\boldsymbol{Q_1}$ 测量 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}$.所以,由测量公理,下式成立

\begin{equation} Q_2\boldsymbol{Q_2}= \left(Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \right) \boldsymbol{Q_1} \end{equation}
比较式 16 第一式和式 17 ,由定理 3 得:
\begin{equation} \frac{Q_2\boldsymbol{Q_2}}{Q_1\boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}}{Q_1}=\frac{Q_2}{Q_1}\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \end{equation}
得证.

例 2 

   若 $\boldsymbol{Q_1}$、$\boldsymbol{Q_2}$ 同类,试证明

\begin{equation} \frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{{Q_1}}}=\frac{1}{\frac{\boldsymbol{Q_1}}{\boldsymbol{Q_2}}} \end{equation}
证明:例 1 式 16 第一式和式 17 ,根据定理 3
\begin{equation} \frac{Q_1\boldsymbol{Q_1}}{Q_2\boldsymbol{Q_2}}=\frac{Q_1\boldsymbol{Q_1}}{ \left(Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}} \right) \boldsymbol{Q_1}}=\frac{Q_1}{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}} \end{equation}
式 15 ,上式可化为
\begin{equation} \frac{Q_1}{Q_2}\frac{\boldsymbol{Q_1}}{\boldsymbol{Q_2}}=\frac{Q_1}{Q_2\frac{\boldsymbol{Q_2}}{\boldsymbol{Q_1}}} \end{equation}
上式两边可约去数 $Q_1/Q_2$,便得待证式 19 .

   式 19 说明,$\boldsymbol{Q_1}$ 测 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数与 $\boldsymbol{Q_2}$ 测 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数互为倒数,于是得下面定理.

定理 4 

   对量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的两个元素 $\boldsymbol{Q_1}$ 和 $\boldsymbol{Q_2}$,若 $\boldsymbol{Q_1}$ 测 $\boldsymbol{Q_2}$ 得数为 $Q$,则 $\boldsymbol{Q_2}$ 测 $\boldsymbol{Q_1}$ 得数为 $1/Q$,即

\begin{equation} \boldsymbol{Q_2}=Q\boldsymbol{Q_1}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{Q_1}=\frac{1}{Q}\boldsymbol{Q_2} \end{equation}

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