量类和单位

贡献者：零穹

1. 量类

　　现象、物体或物质可定性区别并能定量测量的属性称为物理量（简称量）。量的具体意义指大小、轻重、长短等概念，并不是所有的量都可以相互比较，比如表示长短的量和表示大小的量不能相互比较，但表示同一具体意义的量之间可以相互比较。

　　我们把可以相互比较的量称为同类量，比较的结果是一个数。以粗体字母表示量，如 $A$ ，细体字母表示数，如 $A$ 。若量 $A_{1}$ 和量 $A_{2}$ 可相互比较，则称量 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 同类。对于所有量构成的集合 $M$ ，其上的同类关系显然为一等价关系，由该等价关系确定的等价类称为量类。对任一量 $Q$ ，与它同类的所有量构成的集合称为 $Q$ 的量类，记作 $\tilde{Q}$ 。显然 $Q$ 是 $\tilde{Q}$ 的元素，可记作 $Q \in \tilde{Q}$ ，每个 $Q$ 可称为 $\tilde{Q}$ 的量值。例如，所有长度量的集合称为长度量类（记作 $\tilde{l}$ ）。类似的，还有质量量类 $\tilde{m}$ 、时间量类 $\tilde{t}$ 、速度量类 $\tilde{v}$ 等。

　　设 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ 是同类量，将 $Q_{2}$ 和 $Q_{1}$ 进行比较得数为 $Q$ ，也称用 $Q_{1}$ 测量 $Q_{2}$ 得数 $Q$ ，记作

\begin{matrix} (1) & Q_{2} = Q Q_{1} . \end{matrix}

等式式 1 称为 同类量等式。

定义 1　

　　若 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ 满足同类量等式式 1 ，则称

\begin{matrix} (2) & \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = Q \end{matrix}

为同类量

Q_{2}

与

Q_{1}

的商。

2. 单位

　　在量类 $\tilde{Q}$ 中任选一个非零元素（即该元素测量其它非零元素得数不为 0） $\hat{Q}$ 测量其它元素，就可把每一个元素映射到一个实数，这个 $\hat{Q}$ 称为单位。

　　设用 $\hat{Q}$ 测 $Q$ 得数 $Q$ ，即

\begin{matrix} (3) & Q = Q \hat{Q}, \end{matrix}

如果改用另一单位

\hat{Q^{'}}

测

Q

，得数为

Q^{'}

，即

\begin{matrix} (4) & Q = Q^{'} \hat{Q^{'}} . \end{matrix}

为由式 3 和式 4 推得

\hat{Q}

和

\hat{Q^{'}}

的关系，需要用到如下的测量公理。

　　 测量公理：对同类量 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ ，若用 $Q_{1}$ 测量 $Q_{2}$ 得数为 $α$ ，用 $Q_{2}$ 测量 $Q_{3}$ 得数为 $β$ ，则用 $Q_{1}$ 测量 $Q_{3}$ 得数为 $α β$ 。即若

\begin{matrix} (5) & Q_{2} = α Q_{1}, Q_{3} = β Q_{2} \Rightarrow Q_{3} = (α β) Q_{1} . \end{matrix}

定理 1　

　　 $α Q$ 是一个与 $Q$ 同类的量，并且

\begin{matrix} (6) & α (β Q) = (α β) Q . \end{matrix}

　　 证明：因为 $α Q = α Q$ ，即用 $Q$ 测量 $α Q$ 得数 $α$ ，这表明 $α Q$ 与 $Q$ 同类。

　　因为

\begin{matrix} (7) & α (β Q) = α (β Q), β Q . = β Q \end{matrix}

由测量公理式 5 ，即得式 6 ，定理得证。

　　有了测量公理，便可讨论 $\hat{Q}$ 和 $\hat{Q^{'}}$ 的关系。由商的定义式 2 ，可知 $\hat{Q}$ 测量 $\hat{Q^{'}}$ 得数为 $\frac{\hat{Q^{'}}}{\hat{Q}}$ ，又 $\hat{Q^{'}}$ 测 $Q$ 得数 $Q^{'}$ ，所以由测量公理， $\hat{Q}$ 测 $Q$ 得数 $Q^{'} \frac{\hat{Q^{'}}}{\hat{Q}}$ ，又由式 3 ，得

\begin{matrix} (8) & Q^{'} \frac{\hat{Q^{'}}}{\hat{Q}} = Q, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (9) & \frac{\hat{Q^{'}}}{\hat{Q}} = \frac{Q}{Q^{'}} . \end{matrix}

　　定理 1 和式 9 是由测量公理得出的，结合二者，我们得到下面的定理。

定理 2　

　　 $Q$ 与任选单位无关。即任意 $\hat{Q}, \hat{Q^{'}} \in \tilde{Q}$ ，且 $Q = Q \hat{Q}, Q = Q^{'} \hat{Q^{'}}$ ，则

\begin{matrix} (10) & Q \hat{Q} = Q^{'} \hat{Q^{'}} . \end{matrix}

　　 证明：由商的定义式 2 ，式 9 可写成

\begin{matrix} (11) & \hat{Q^{'}} = \frac{Q}{Q^{'}} \hat{Q}, \end{matrix}

两边作用一个

Q^{'}

，并由定理 1 ，即得式 10 。定理得证。

　　同样的，我们可以得到下面的定理。

定理 3　

　　对量类 $\tilde{Q}$ 的两个元素 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ ，若

\begin{matrix} (12) & Q_{1} = Q_{1} \hat{Q}, Q_{2} = Q_{2} \hat{Q}, \end{matrix}

则

\begin{matrix} (13) & \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} . \end{matrix}

　　 证明：由商的定义式 2 ， $Q_{1}$ 测量 $Q_{2}$ 得数为 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}}$ ，由式 12 第一式， $\hat{Q}$ 测量 $Q_{1}$ 得数为 $Q_{1}$ ，由测量公理， $\hat{Q}$ 测量 $Q_{2}$ 得数为 $Q_{1} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}$ ，又由式 12 第二式，便有

\begin{matrix} (14) & Q_{1} \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = Q_{2} . \end{matrix}

式 14 即是式 13 等价形式，定理得证。

　　当 $Q_{2} > Q_{1}$ 时，我们说量 $Q_{2}$ 大于量 $Q_{1}$ ，并记作 $Q_{2} > Q_{1}$ 。如此，式 9 就可表达为：用不同单位测量同一量时，单位越大得数越小。

例 1　

　　若 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 同类，试证明以下式子

\begin{matrix} (15) & \frac{Q_{2} Q_{2}}{Q_{1} Q_{1}} = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} \frac{Q_{2}}{Q_{1}} . \end{matrix}

证明： 显然，用量

Q_{1}

测量

Q_{1} Q_{1}

得数为

Q_{1}

，用量

Q_{2}

测量

Q_{2} Q_{2}

得数为

Q_{2}

，即

\begin{matrix} (16) & \begin{array}{r} Q_{1} Q_{1} = Q_{1} Q_{1}, \\ Q_{2} Q_{2} = Q_{2} Q_{2} . \end{array} \end{matrix}

　　而用量 $Q_{1}$ 测量 $Q_{2}$ 得数为 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}}$ 。所以，由测量公理，下式成立

\begin{matrix} (17) & Q_{2} Q_{2} = (Q_{2} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}) Q_{1}, \end{matrix}

比较式 16 第一式和式 17 ，由定理 3 得：

\begin{matrix} (18) & \frac{Q_{2} Q_{2}}{Q_{1} Q_{1}} = \frac{Q_{2} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}}{Q_{1}} = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} \frac{Q_{2}}{Q_{1}} . \end{matrix}

得证。

例 2　

　　若 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 同类，试证明

\begin{matrix} (19) & \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{1}{\frac{Q_{1}}{Q_{2}}} . \end{matrix}

证明：由例 1 中式 16 第一式和式 17 ，根据定理 3 有

\begin{matrix} (20) & \frac{Q_{1} Q_{1}}{Q_{2} Q_{2}} = \frac{Q_{1} Q_{1}}{(Q_{2} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}) Q_{1}} = \frac{Q_{1}}{Q_{2} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}} . \end{matrix}

由式 15 ，上式可化为

\begin{matrix} (21) & \frac{Q_{1}}{Q_{2}} \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{Q_{1}}{Q_{2} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}} . \end{matrix}

上式两边可约去数

Q_{1} / Q_{2}

，便得待证式 19 .

　　式 19 说明， $Q_{1}$ 测 $Q_{2}$ 得数与 $Q_{2}$ 测 $Q_{1}$ 得数互为倒数，于是得下面定理。

定理 4　

　　对量类 $\tilde{Q}$ 的两个元素 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ ，若 $Q_{1}$ 测 $Q_{2}$ 得数为 $Q$ ，则 $Q_{2}$ 测 $Q_{1}$ 得数为 $1 / Q$ ，即

\begin{matrix} (22) & Q_{2} = Q Q_{1} \Rightarrow Q_{1} = \frac{1}{Q} Q_{2} . \end{matrix}

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