贡献者: addis
1. 单个导体的电容量
一个导体的电容量(capacitance)等于电荷量除以导体电势(导体平衡时为等势体)
要证明任意导体的势能和电荷量成正比,根据
式 21 ,当导体上的电荷密度分布 乘以常数 ,空间中任意一点的电势同样会乘以 。所以对于某个形状的导体,其电容是固定的。
例 1 导体球的电容
若规定无穷远处为零势点,由高斯定律,半径为 ,带电为 的导体球的电势为 ,所以其电容为
2. 两导体之间的电容量
若两导体带等量异种电荷1 ,电势差为 ,则两导体间的电容量同样被定义为
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状,相对位置以及空间中的电介质分布有关,而与电荷量无关。这就要求证明电势差始终与电荷 成正比,如果我们假设两导体表面的电荷面密度 始终与 成正比(证明见,那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 成正比。而电势差
(式中的 “” 分别代表带电荷量为 的导体表面上的一点,积分路径任意选取)和场强成正比也就是和 成正比。证毕。
注意若无特殊说明,小时百科中电流和电压的方向按照被动符号规定(子节 1 ),即先规定一个正方向,电流延该方向为正,反之为负,电势延正方向下降为正,反之为负。正方向的电流流入电压为正的电容的带正电荷的极板中。
例 2 平行板电容器
图 1:平行板电容器,两板间距为
电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器,我们假设空间中存在均匀的电介质,介电常数为 。两块面积为 的方形导体板相距为 平行放置,带电量分别是 ,如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场),由高斯定律,两板之间的电场为 ,电势差为 ,所以电容等于
可见在相同介质中,平行板电容器的电
容量与板的面积成正比,与距离成反比,比例系数为 。这就是为什么 也被称为
电容率。当不存在电介质时,,所以 被称为真空中的电容率。
例 3 同心球壳电容器
若有两个半径分别为 和 的同心球壳导体(),电荷量分别为 和 ,求两球壳间的电容量。
由高斯定律两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关,所以两球壳的电势差为
所以电容量为
当 时,球壳的面积为 ,两板间距为 ,则上式的电容趋于平行板电容器的电容。
对比式 7 和式 2 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多,这也是为什么电路中的电容都有两个极。
3. 电压与电流的关系
若电容器两端的电压随时间变化为 ,那么如何计算流过电容器的电流2呢?如果我们同样使用被动符号规定(见子节 1 ),令 和 的正负号相同,那么 ,对 两边求时间导数得
习题 1
试证明在交流电路中,流经电容的电流的相位比电压的相位提前 。
4. 电容器的能量
为了改变电容器的电荷量 ,我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体,为了不影响电荷及电场的分布,从 开始,我们每次只从 移动极少量的电荷 到 ,移动的过程中外力需要克服电场力做功 ,而 又是 的函数,第 次移动前,电荷量为 ,由定积分的思想
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比。注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能,所以另一种计算上式的方法就是直接使用
式 26 得
1. ^ 这里的 不一定要求大于零, 号只是一个用于区分两个导体的记号而已,不代表电荷的正负。
2. ^ 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”,而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极。
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