电容

                     

贡献者： addis

1. 单个导体的电容量

　　 一个导体的电容量（capacitance）等于电荷量除以导体电势（导体平衡时为等势体）

要证明任意导体的势能和电荷量成正比，根据式 21 ，当导体上的电荷密度分布 $\rho (\mathbf{r})$ 乘以常数 $\lambda$，空间中任意一点的电势同样会乘以 $\lambda$。所以对于某个形状的导体，其电容是固定的。

2. 两导体之间的电容量

　　 若两导体带等量异种电荷¹ $\pm Q$，电势差为 $V$，则两导体间的电容量同样被定义为

现在来证明两导体间的电容只与他们的形状，相对位置以及空间中的电介质分布有关，而与电荷量无关。这就要求证明电势差始终与电荷 $Q$ 成正比，如果我们假设两导体表面的电荷面密度 $\sigma$ 始终与 $Q$ 成正比（证明见，那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 $Q$ 成正比。而电势差 （式中的 “$\pm$” 分别代表带电荷量为 $\pm Q$ 的导体表面上的一点，积分路径任意选取）和场强成正比也就是和 $Q$ 成正比。证毕。

　　 注意若无特殊说明，小时百科中电流和电压的方向按照被动符号规定（子节 1 ），即先规定一个正方向，电流延该方向为正，反之为负，电势延正方向下降为正，反之为负。正方向的电流流入电压为正的电容的带正电荷的极板中。

　　 对比式 7 和式 2 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多，这也是为什么电路中的电容都有两个极。

3. 电压与电流的关系

　　 若电容器两端的电压随时间变化为 $V(t)$，那么如何计算流过电容器的电流²呢？如果我们同样使用被动符号规定（见子节 1 ），令 $Q$ 和 $V$ 的正负号相同，那么 $I=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$，对 $Q=CV$ 两边求时间导数得

4. 电容器的能量

　　 为了改变电容器的电荷量 $Q$，我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体，为了不影响电荷及电场的分布，从 $Q=0$ 开始，我们每次只从 $-Q$ 移动极少量的电荷 $\mathrm{\Delta }Q$ 到 $+Q$，移动的过程中外力需要克服电场力做功 $V\mathrm{\Delta }Q$，而 $V$ 又是 $Q$ 的函数，第 $i$ 次移动前，电荷量为 $\pm Q_i$，由定积分的思想

可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比。注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能，所以另一种计算上式的方法就是直接使用式 26 得

---

1. ^ 这里的 $Q$ 不一定要求大于零，$\pm$ 号只是一个用于区分两个导体的记号而已，不代表电荷的正负。
2. ^ 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”，而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极。