电容

                     

贡献者: addis

预备知识 电势 电势能

1. 单个导体的电容量

   一个导体的电容量(capacitance)等于电荷量除以导体电势(导体平衡时为等势体)

(1)C=QV .
要证明任意导体的势能和电荷量成正比,根据式 21 ,当导体上的电荷密度分布 ρ(r) 乘以常数 λ,空间中任意一点的电势同样会乘以 λ。所以对于某个形状的导体,其电容是固定的。

例 1 导体球的电容

   若规定无穷远处为零势点,由高斯定律,半径为 R,带电为 Q 的导体球的电势为 V=Q/(4πϵ0R),所以其电容为

(2)C=QV=4πϵ0R .

2. 两导体之间的电容量

   若两导体带等量异种电荷1 ±Q,电势差为 V,则两导体间的电容量同样被定义为

(3)C=QV .
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状,相对位置以及空间中的电介质分布有关,而与电荷量无关。这就要求证明电势差始终与电荷 Q 成正比,如果我们假设两导体表面的电荷面密度 σ 始终与 Q 成正比(证明见,那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 Q 成正比。而电势差
(4)V=+E(r)dl .
(式中的 “±” 分别代表带电荷量为 ±Q 的导体表面上的一点,积分路径任意选取)和场强成正比也就是和 Q 成正比。证毕。

   注意若无特殊说明,小时百科中电流和电压的方向按照被动符号规定(子节 1 ),即先规定一个正方向,电流延该方向为正,反之为负,电势延正方向下降为正,反之为负。正方向的电流流入电压为正的电容的带正电荷的极板中。

例 2 平行板电容器

  

图
图 1:平行板电容器,两板间距为 d

   电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器,我们假设空间中存在均匀的电介质,介电常数为 ϵ。两块面积为 S 的方形导体板相距为 d 平行放置,带电量分别是 ±Q,如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场),由高斯定律,两板之间的电场为 E=σ/ϵ=Q/(Sϵ),电势差为 V=Ed=Qd/(Sϵ),所以电容等于

(5)C=QV=ϵSd .
可见在相同介质中,平行板电容器的电容量与板的面积成正比,与距离成反比,比例系数为 ϵ。这就是为什么 ϵ 也被称为电容率。当不存在电介质时,ϵ=ϵ0,所以 ϵ0 被称为真空中的电容率。

例 3 同心球壳电容器

   若有两个半径分别为 rR 的同心球壳导体(r<R),电荷量分别为 +QQ,求两球壳间的电容量。

   由高斯定律两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关,所以两球壳的电势差为

(6)V=Q4πϵ0(1r1R) ,
所以电容量为
(7)C=QV=4πϵ0rRRr .
rR 时,球壳的面积为 S=4πR2,两板间距为 d=Rr,则上式的电容趋于平行板电容器的电容。

   对比式 7 式 2 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多,这也是为什么电路中的电容都有两个极。

3. 电压与电流的关系

   若电容器两端的电压随时间变化为 V(t),那么如何计算流过电容器的电流2呢?如果我们同样使用被动符号规定(见子节 1 ),令 QV 的正负号相同,那么 I=dQ/dt,对 Q=CV 两边求时间导数得

(8)I=CdVdt .

习题 1 

   试证明在交流电路中,流经电容的电流的相位比电压的相位提前 π/2

4. 电容器的能量

   为了改变电容器的电荷量 Q,我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体,为了不影响电荷及电场的分布,从 Q=0 开始,我们每次只从 Q 移动极少量的电荷 ΔQ+Q,移动的过程中外力需要克服电场力做功 VΔQ,而 V 又是 Q 的函数,第 i 次移动前,电荷量为 ±Qi,由定积分的思想

(9)W=V(Q)dQ=QCdQ=12Q2C=12CV2 ,
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比。注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能,所以另一种计算上式的方法就是直接使用式 26
(10)W=12[QV++(Q)V]=12QV=12Q2C=12CV2 .


1. ^ 这里的 Q 不一定要求大于零,± 号只是一个用于区分两个导体的记号而已,不代表电荷的正负。
2. ^ 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”,而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极。


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