电容

             

预备知识 电势 电势能

1. 单个导体的电容量

   一个导体的电容量(capacitance)等于电荷量除以导体电势(导体平衡时为等势体)

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} \end{equation}
要证明任意导体的势能和电荷量成正比,根据式 21 ,当导体上的电荷密度分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 乘以常数 $\lambda$,空间中任意一点的电势同样会乘以 $\lambda$.所以对于某个形状的导体,其电容是固定的.

例 1 导体球的电容

   若规定无穷远处为零势点,由高斯定律,半径为 $R$,带电为 $Q$ 的导体球的电势为 $V = Q/(4\pi\epsilon_0 R)$,所以其电容为

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = 4\pi\epsilon_0 R \end{equation}

2. 两导体之间的电容量

   若两导体带等量异种电荷1 $\pm Q$,电势差为 $V$,则两导体间的电容量同样被定义为

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} \end{equation}
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状,相对位置以及空间中的电介质分布有关,而与电荷量无关.这就要求证明电势差始终与电荷 $Q$ 成正比,如果我们假设量导体表面的电荷面密度 $\sigma$ 始终与 $Q$ 成正比(证明见,那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 $Q$ 成正比.而电势差
\begin{equation} V = \int_+^- \boldsymbol{\mathbf{E}} (r) \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
(式中的 “$\pm$” 分别代表带电荷量为 $\pm Q$ 的导体表面上的一点,积分路径任意选取)和场强成正比也就是和 $Q$ 成正比.证毕.

   注意本书中电流和电压的方向按照被动符号规定(子节 1 ),即先规定一个正方向,电流延该方向为正,反之为负,电势延正方向下降为正,反之为负.正方向的电流流入电压为正的电容的带正电荷的极板中.

例 2 平行板电容器

  

图
图 1:平行板电容器,两板间距位 $d$

   电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器,我们假设空间中存在均匀的电介质,介电常数为 $\epsilon$.两块面积为 $S$ 的方形导体板相距为 $d$ 平行放置,带电量分别是 $\pm Q$,如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场),由高斯定律,两板之间的电场为 $E = {\sigma}/{\epsilon} = Q/(S\epsilon)$,电势差为 $V = Ed = Qd/(S\epsilon)$,所以电容等于

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = \epsilon \frac sd \end{equation}
可见在相同介质中,平行板电容器的电容量与板的面积成正比,与距离成反比,比例系数为 $\epsilon$.这就是为什么 $\epsilon$ 也被称为电容率.当不存在电介质时,$\epsilon = \epsilon_0$,所以 $\epsilon_0$ 被称为真空中的电容率.

例 3 同心球壳电容器

   若有两个半径分别为 $r$ 和 $R$ 的同心球壳导体($r < R$),电荷量分别为 $+Q$ 和 $-Q$,求两球壳间的电容量.

   由高斯定律两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关,所以两球壳的电势差为

\begin{equation} V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac 1r - \frac 1R \right) \end{equation}
所以电容量为
\begin{equation} C = \frac QV = \frac{4\pi\epsilon_0 rR}{R - r} \end{equation}
当 $r\to R$ 时,球壳的面积为 $S = 4\pi R^2$,两板间距为 $d = R - r$,则上式的电容趋于平行板电容器的电容.

   对比式 7 式 2 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多,这也是为什么电路中的电容都有两个极.

3. 电压与电流的关系

   若电容器两端的电压随时间变化为 $V(t)$,那么如何计算流过电容器的电流2呢?如果我们同样使用被动符号规定(见子节 1 ),令 $Q$ 和 $V$ 的正负号相同,那么 $I = \mathrm{d}{Q}/\mathrm{d}{t} $,对 $Q = CV$ 两边求时间导数得

\begin{equation} I = C \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}

习题 1 

   试证明在交流电路中,流经电容的电流的相位比电压的相位提前 $\pi/2$.

4. 电容器的能量

   为了改变电容器的电荷量 $Q$,我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体,为了不影响电荷及电场的分布,从 $Q = 0$ 开始,我们每次只从 $-Q$ 移动极少量的电荷 $\Delta Q$ 到 $+Q$,移动的过程中外力需要克服电场力做功 $V\Delta Q$,而 $V$ 又是 $Q$ 的函数,第 $i$ 次移动前,电荷量为 $\pm Q_i$,由定积分 的思想

\begin{equation} W = \int V(Q) \,\mathrm{d}{Q} = \int \frac{Q}{C} \,\mathrm{d}{Q} = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2 \end{equation}
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比.注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能,所以另一种计算上式的方法就是直接使用式 26
\begin{equation} W = \frac12 [QV_+ + (-Q)V_-] = \frac12 QV = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2 \end{equation}


1. ^ 这里的 $Q$ 不一定要求大于零,$\pm$ 号只是一个用于区分两个导体的记号而已,不代表电荷的正负.
2. ^ 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”,而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极.

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