圆锥曲线的光学性质

贡献者：待更新

预备知识　椭圆，抛物线，双曲线

　　首先，对于本文涉及到的部分几何概念作出如下规定：

角度：所有角大小均取弧度制 $[0, π]$ 范围内的值（不区分始边终边，不区分正负角）；
补角：角的其中一条边的反向延长线与该角的另一条边所形成的角，称为该角的补角（如图 1， $∠ A^{'} B C$ 是 $∠ A B C$ 的补角， $∠ A^{'} B C + ∠ A B C = π$ ）；

图 1：补角
角平分线：到角两边的距离相等的点的集合（把角分为大小相等的两部分的直线），称为该角的角平分线。

　　对两种特殊角的情形作出如下补充：

零角（如图 2， $∠ A B C = 0$ ）的补角为平角（ $∠ A B A^{'} = π$ ），零角的平分线与角两边重合（直线 $A A^{'}$ 即 $∠ A B C$ 的平分线）；
平角（如图 2， $∠ A B A^{'} = π$ ）的补角为零角（ $∠ A B C = 0$ ），平角的平分线与角两边垂直（ $A A^{'}$ 的垂线 $B N$ 即 $∠ A B A^{'}$ 的平分线）。

图 2：零角和平角

　　显然，对所有角而言，角平分线与该角的补角平分线互相垂直。

1. 椭圆的光学性质

　　 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点， $P$ 是椭圆上任意一点，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的补角平分线 $P T$ 是椭圆的切线。

图 3：椭圆的光学性质

几何法证明

　　作点 $F_{2}$ 关于直线 $P T$ 的对称点 $F_{2}^{'}$ 。由于 $P T$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的补角平分线，则 $F_{2}^{'}$ 在 $F_{1} P$ 的延长线上。

　　记 $Q$ 是直线 $P T$ 上的任意一点。于是

\begin{matrix} (1) & F_{1} Q + F_{2} Q = F_{1} Q + F_{2}^{'} Q ⩾ F_{1} F_{2}^{'} = F_{1} P + F_{2} P . \end{matrix}

当且仅当

P

，

Q

重合时，不等式（式 1 ）为等式。

　　椭圆的一种定义为：平面上到两焦点的距离之和为定值的点的集合。显然，椭圆内任意一点到两焦点距离之和小于该定值，而椭圆外任意一点到两焦点距离之和大于该定值。

　　所以，直线 $P T$ 上有且仅有点 $P$ 在椭圆上，其他点都在椭圆外。这就证明了 $P T$ 是椭圆的切线。

等价的命题

　　结合光在同一介质中直线传播的性质，以及光的反射定律 —— 反射角等于入射角，不难推知，上述几何命题等价于物理命题 “真空或同种均匀介质中，从椭圆一个焦点处射出的光线经过在椭圆上的反射后，反射光线都汇聚于另一个焦点”。

解析法推导

　　记椭圆的直角坐标方程为

\begin{matrix} (2) & b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} . \end{matrix}

其中

a > b > 0, c > 0

且

c^{2} = a^{2} - b^{2}

，椭圆焦距为

2 c

。

　　将 $y$ 视作 $x$ 的函数，对方程式 2 等号两边关于 $x$ 求导，可得

\begin{matrix} (3) & b^{2} x + a^{2} y y^{'} = 0 . \end{matrix}

　　 $P (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆上任意一点，则点 $P$ 处的椭圆切线方程为

\begin{matrix} (4) & a^{2} y_{0} (y - y_{0}) = - b^{2} x_{0} (x - x_{0}) \Rightarrow b^{2} x_{0} x + a^{2} y_{0} y = a^{2} b^{2}, \end{matrix}

　　由切线方程可得椭圆在点 $P$ 处的一个法向量（与切线垂直的向量）为 $n = (b^{2} x_{0}, a^{2} y_{0})$ 。

　　向量 $\vec{F_{1} P} = (x_{0} + c, y_{0}), \vec{F_{2} P} = (x_{0} - c, y_{0})$ 。

　　记两个任意向量（ $s$ 和 $t$ ）的夹角为 $< s, t >$ 。则

\begin{matrix} (5) & \cos < n, \vec{F_{1} P} >= \frac{n \cdot \vec{F_{1} P}}{| n | | \vec{F_{1} P} |} = \frac{b^{2} x_{0} (x_{0} + c) + a^{2} y_{0}^{2}}{\sqrt{b^{4} x_{0}^{2} + a^{4} y_{0}^{2}} \sqrt{(x_{0} + c)^{2} + y_{0}^{2}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \cos < n, \vec{F_{2} P} >= \frac{n \cdot \vec{F_{2} P}}{| n | | \vec{F_{2} P} |} = \frac{b^{2} x_{0} (x_{0} - c) + a^{2} y_{0}^{2}}{\sqrt{b^{4} x_{0}^{2} + a^{4} y_{0}^{2}} \sqrt{(x_{0} - c)^{2} + y_{0}^{2}}} . \end{matrix}

　　式 5 和式 6 作比，并代入式 2 及 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 进行化简

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \frac{\cos ⟨ n, \vec{F_{1} P} ⟩}{\cos ⟨ n, \vec{F_{2} P} ⟩} & = \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c x_{0}}{a^{2} b^{2} - b^{2} c x_{0}} \sqrt{\frac{(x_{0} - c)^{2} + y_{0}^{2}}{(x_{0} + c)^{2} + y_{0}^{2}}} \\ = \frac{a^{2} + c x_{0}}{a^{2} - c x_{0}} \sqrt{\frac{a^{2} (x_{0} - c)^{2} + a^{2} b^{2} - b^{2} x_{0}^{2}}{a^{2} (x_{0} + c)^{2} + a^{2} b^{2} - b^{2} x_{0}^{2}}} \\ = \frac{a^{2} + c x_{0}}{a^{2} - c x_{0}} \sqrt{\frac{c^{2} x_{0}^{2} + a^{4} - 2 a^{2} c x_{0}}{c^{2} x_{0}^{2} + a^{4} + 2 a^{2} c x_{0}}} \\ = \frac{a^{2} + c x_{0}}{a^{2} - c x_{0}} \sqrt{\frac{(a^{2} - c x_{0})^{2}}{(a^{2} + c x_{0})^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由于点 $P$ 在椭圆上，则 $- a ⩽ x_{0} ⩽ a$ ，则 $a^{2} - c x_{0} > 0$ ，因此

\begin{matrix} (8) & \frac{\cos ⟨ n, \vec{F_{1} P} ⟩}{\cos ⟨ n, \vec{F_{2} P} ⟩} = 1 . \end{matrix}

　　所以 $⟨ n, \vec{F_{1} P} ⟩ = ⟨ n, \vec{F_{2} P} ⟩$ ，满足入射角等于反射角的反射定律。由此用解析几何的方法推导出了椭圆的光学性质。

2. 抛物线的光学性质

　　 $F$ 是抛物线的焦点， $l$ 是准线， $P$ 是抛物线上的任意一点，作 $P P^{'} ⊥ l$ ，垂足为 $P^{'}$ ，则 $∠ F P P^{'}$ 的角平分线 $P T$ 是抛物线的切线。

　　等价命题：真空或同种均匀介质中，从抛物线焦点射出的光线，经过抛物线曲线的反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。

图 4：抛物线的光学性质

3. 双曲线的光学性质

　　 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的两个焦点， $P$ 是双曲线上的任意一点，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线 $P T$ 是双曲线的切线。

　　等价命题：真空或同种均匀介质中，从双曲线一个焦点射出的光线，经过双曲线的反射后，反射光的反向延长线汇聚于另一个焦点。

图 5：双曲线的光学性质

习题 1　证明题

　　仿照椭圆光学性质的证明和推导过程，证明抛物线和双曲线的光学性质。

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