贡献者： 待更新
首先，对于本文涉及到的部分几何概念作出如下规定：
- 角度：所有角大小均取弧度制 $[0,\pi]$ 范围内的值（不区分始边终边，不区分正负角）；
- 补角：角的其中一条边的反向延长线与该角的另一条边所形成的角，称为该角的补角（如图 1，$\angle A'BC$ 是 $\angle ABC$ 的补角，$\angle A'BC + \angle ABC = \pi$）；
图 1：补角
- 角平分线：到角两边的距离相等的点的集合（把角分为大小相等的两部分的直线），称为该角的角平分线。
对两种特殊角的情形作出如下补充：
- 零角（如图 2，$\angle ABC = 0$）的补角为平角（$\angle ABA' = \pi$），零角的平分线与角两边重合（直线 $AA'$ 即 $\angle ABC$ 的平分线）；
- 平角（如图 2，$\angle ABA' = \pi$）的补角为零角（$\angle ABC = 0$），平角的平分线与角两边垂直（$AA'$ 的垂线 $BN$ 即 $\angle ABA'$ 的平分线）。
图 2：零角和平角
显然，对所有角而言，角平分线与该角的补角平分线互相垂直。
1. 椭圆的光学性质
$F_1$，$F_2$ 是椭圆的两个焦点，$ P $ 是椭圆上任意一点，则 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线 $ PT $ 是椭圆的切线。
图 3：椭圆的光学性质
几何法证明
作点 $F_2$ 关于直线 $PT$ 的对称点 $F_2'$。由于 $PT$ 是 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线，则 $F_2'$ 在 $F_1P$ 的延长线上。
记 $Q$ 是直线 $PT$ 上的任意一点。于是
\begin{equation}
F_1Q + F_2Q = F_1Q + F_2'Q \geqslant F_1F_2' = F_1P + F_2P~.
\end{equation}
当且仅当 $P$，$Q$ 重合时，不等式（
式 1 ）为等式。
椭圆的一种定义为：
平面上到两焦点的距离之和为定值的点的集合。显然，椭圆内任意一点到两焦点距离之和小于该定值，而椭圆外任意一点到两焦点距离之和大于该定值。
所以，直线 $PT$ 上有且仅有点 $P$ 在椭圆上，其他点都在椭圆外。这就证明了 $PT$ 是椭圆的切线。
等价的命题
结合光在同一介质中直线传播的性质，以及光的反射定律 —— 反射角等于入射角，不难推知，上述几何命题等价于物理命题 “真空或同种均匀介质中，从椭圆一个焦点处射出的光线经过在椭圆上的反射后，反射光线都汇聚于另一个焦点”。
解析法推导
记椭圆的直角坐标方程为
\begin{equation}
b^2 x^2 +a^2 y^2=a^2 b^2~.
\end{equation}
其中 $a>b>0,c>0$ 且 $c^2=a^2-b^2$，椭圆焦距为 $2c$。
将 $y$ 视作 $x$ 的函数，对方程式 2 等号两边关于 $x$ 求导，可得
\begin{equation}
b^2 x +a^2 yy'= 0~.
\end{equation}
$P(x_0,y_0)$ 是椭圆上任意一点，则点 $P$ 处的椭圆切线方程为
\begin{equation}
a^2 y_0 \left(y - y_0 \right) = - b^2 x_0 \left(x - x_0 \right) \quad
\Rightarrow \quad
b^2 x_0 x + a^2 y_0 y = a^2 b^2~,
\end{equation}
由切线方程可得椭圆在点 $P$ 处的一个法向量（与切线垂直的向量）为 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} = \left(b^2 x_0,a^2 y_0 \right) $。
向量 $\overrightarrow{F_1P}= \left(x_0 +c,y_0 \right) \; ,\; \overrightarrow{F_2P}= \left(x_0 -c,y_0 \right) $。
记两个任意向量（$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{t}} $）的夹角为 $< \boldsymbol{\mathbf{s}} , \boldsymbol{\mathbf{t}} >$。则
\begin{equation}
\cos< \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P}>=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{n}} \boldsymbol\cdot \overrightarrow{F_1P}}{| \boldsymbol{\mathbf{n}} | \; |\overrightarrow{F_1P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0+c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cos< \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P}>=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{n}} \boldsymbol\cdot \overrightarrow{F_2P}}{| \boldsymbol{\mathbf{n}} | \; |\overrightarrow{F_2P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0-c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}}~.
\end{equation}
式 5 和式 6 作比，并代入式 2 及 $c^2=a^2-b^2$ 进行化简
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\cos\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P}\rangle}{\cos\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P}\rangle} &=\frac{a^2 b^2+b^2cx_0}{a^2 b^2-b^2cx_0}\; \sqrt{\frac{(x_0-c)^2+y_0^2}{(x_0+c)^2+y_0^2}} \\
&=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{a^2(x_0-c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}{a^2(x_0+c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}} \\
&=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{c^2 x_0^2 + a^4 - 2a^2 c x_0}{c^2 x_0^2 + a^4 + 2a^2 c x_0}} \\
&=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{(a^2-cx_0)^2}{(a^2+cx_0)^2}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于点 $P$ 在椭圆上，则 $-a\leqslant x_0 \leqslant a$，则 $a^2-cx_0 >0$，因此
\begin{equation}
\frac{\cos\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P}\rangle}{\cos\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P}\rangle}=1~.
\end{equation}
所以 $\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_1P}\rangle=\langle \boldsymbol{\mathbf{n}} ,\overrightarrow{F_2P} \rangle$，满足入射角等于反射角的反射定律。由此用解析几何的方法推导出了椭圆的光学性质。
2. 抛物线的光学性质
$F$ 是抛物线的焦点，$l$ 是准线，$P$ 是抛物线上的任意一点，作 $PP' \perp l$，垂足为 $P'$，则 $\angle FPP' $ 的角平分线 $ PT $ 是抛物线的切线。
等价命题：真空或同种均匀介质中，从抛物线焦点射出的光线，经过抛物线曲线的反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。
图 4：抛物线的光学性质
3. 双曲线的光学性质
$F_1$，$F_2$ 是双曲线的两个焦点，$P$ 是双曲线上的任意一点，则 $\angle F_1PF_2 $ 的角平分线 $ PT $ 是双曲线的切线。
等价命题：真空或同种均匀介质中，从双曲线一个焦点射出的光线，经过双曲线的反射后，反射光的反向延长线汇聚于另一个焦点。
图 5：双曲线的光学性质
习题 1 证明题
仿照椭圆光学性质的证明和推导过程，证明抛物线和双曲线的光学性质。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
图 1：补角
