圆锥曲线的配极（高中）

贡献者： JierPeter; 欄、停敘

定义 1　关于圆的极点与极线（极点在圆外）

　　

　　 给定一个圆 $C$，取 $C$ 外一点 $P$，如图 1 所示。

　　 过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A$ 和 $B$，则称直线 $AB$ 是点 $P$关于圆$C$ 的极线。

　　 反之，取圆 $C$ 的一根弦，与圆的交点为 $A$ 和 $B$，过这两个点作圆 $C$ 的切线，称其交点 $P$ 为直线 $AB$关于圆$C$ 的极点。

图 1：关于圆的极点与极线的示意图。点 $P$ 和直线互为关于给定圆的极点和极线。

　　 极点和极线总是成对出现，因此一定要强调 “关于圆的”。比如说，单独给定一个圆和一个点，不能说这个点就是圆的极点，因为没有 “圆的极点” 这种说法。

　　 定义 1 中只局限于关于圆的情况，且 $P$ 点在圆之外。事实上，极点和极线的相对关系可以关于所有圆锥曲线定义，点 $P$ 也可以在平面上任何位置。我们接下来就通过讨论逐步明晰这些概念。

　　 证明：

　　 如图 1 ，极线 $l=AB$ 与直线 $PO$ 正交，而 $PO$ 的斜率为 $y_0/x_0$，故 $AB$ 的斜率为 $-x_0/y_0$，因此易得其方程为

　　 如何确定 $c$ 呢？我们绕 $O$ 点旋转整个坐标系，则在此过程中 $AB$ 到 $O$ 的距离保持不变。如图 2 ，这个距离 $\left|OH\right|$ 满足

　　 对于本定理考虑的极点和极线的情况，旋转过程中 $x_0$ 和 $y_0$ 一直变化，但是 $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ 不变，恒为 $\left|OP\right|$，因此 $c$ 也保持不变。将 $B$ 旋转到 $(R,0)$ 的位置，将这个坐标代入直线 $AB$ 的表达式后易得

　　 综上得证。

　　 证毕。

　　 由定理 1 可见，给定了圆（相当于给定 $R$），再给定点 $P$（相当于给定 $x_0$ 和 $y_0$），则能唯一确定极线 $x_{0}x+y_{0}y=R^2$。反之，给定了圆和一条直线，则能唯一确定相对应的极点。更重要的是，这个互相确定的过程不需要限定 $P$ 在圆外，因此可以由此直接推广极点和极线的概念。

　　 更一般地，对于任意圆锥曲线 $E$，都可以成对定义关于 $E$ 的极点和极线。

1. ^ 用齐次坐标来表达，就是：点 $(z{x}_0,z{y}_0,z)$ 关于圆 $x^2+y^2=R^2{z}^2$ 的极线为 $x_{0}x+y_{0}y=R^{2}z$。