贡献者： addis
由两个质量相近的普通天体组成的系统，称为 “二体系统”。
一般情况下，两个天体的体积相比距离可以忽略不计，故可将天体视为质点，研究它们的相对位置的变化关系。
研究两个天体的相对运动，首先需要选取参考点，有两种常用的选择：
- 以其中一个天体为参考点，研究另一个天体的相对距离和相对速度变化；
- 以系统质心为参考点，分别研究两个天体相对质心的运动。
无外力作用下，系统质心的加速度为零，因此由质心为原点建立的参考系是惯性参考系，这也是最常用的参考系。
研究质点系的运动模式的方法，也有两种常用选择：
- 将每个质点的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为时间 $t$（或其他参数）的未知函数，建立运动微分方程 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }= \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$，求解该微分方程并代入初值条件，解出运动模式；
- 将每个质点每个时刻的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和动量矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 视为未知数，由动量定理、角动量定理、能量守恒等建立关于位置矢量和速度矢量的方程组，进而求解。
第一种方法最为常见，但是在天体力学和其他力学问题中，很多时候运动微分方程难以求解，因此需综合运用以上两种方法。
1. 相似性
以质心为原点建立坐标系。记天体 M 的质量为 $m_1$、位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$，天体 N 的质量为 $m_2$、位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$。
在此坐标系中，无外力作用下，由动量定理可得
\begin{equation}
\begin{cases}
m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 = 0\\
m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 + m_2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2=0
\end{cases}~.
\end{equation}
可见，两天体的位置矢量和速度矢量分别成固定的比例关系，即两天体相对质心的运动模式是相似的，只需研究其中一个天体，就能得出系统的运动规律。
2. 平面性
记 $\mu=m_1/m_2$，系统对质心的角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2 = m_1 (1+\mu) \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 + \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1~.
\end{equation}
由万有引力定律可得
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 = \frac{Gm_2}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right) = - \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1= 0~.
\end{equation}
即
角动量守恒（角动量的方向和模长均守恒）。因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面，故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内，并且加速度矢量也在此平面内。因此，二体系统的运动问题是一个
平面问题。
3. 轨道方程通解
记 $k=Gm_1m_2$，则天体 M 的拉普拉斯-龙格-楞次矢量（L-R-L 矢量）可以表示为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _1 = m_1\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m_1k}{(1+\mu)| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~.
\end{equation}
二体系统中，L-R-L 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 守恒（此处证明略，可参考文章 “
拉普拉斯-龙格-楞次矢量”）。
矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 与位置矢量 $r_1$ 作內积，并取坐标形式为极坐标
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 &= m_1\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1\\
&= m_1 \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1 \\
&= \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1~.
\end{aligned}
\end{equation}
图 1：L-R-L 矢量与位置矢量
令 $\theta$ 为从矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 转向位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 的夹角（极轴与从矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 平行，如图 1 ）。则式 7 可化为
\begin{equation}
A_1r_1\cos\theta = \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1~,
\end{equation}
移项整理可得轨道的极坐标方程
\begin{equation}
r_1=\frac{p}{1+e \cos\theta}~.
\end{equation}
其中，$p=L^2/(m_1k)$，$e=A_1(1+\mu)/(m_1k)$。
可见天体 M 的轨迹是圆锥曲线，其偏心率由 L-R-L 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 决定。天体 N 的轨迹与之相似。当两个天体的质量相差悬殊，则大质量的天体运动范围极小，且系统质心非常靠近大质量天体，两天体的相对运动模式则近似为单质点在引力场中的运动（即开普勒问题，恒星—行星运动模式）。
通过求解天体 M 的运动微分方程式 4 ，也可以得到相同的结果（推导过程参考 “开普勒问题” 和 “轨道方程—比耐公式”）。
在图 2 中展示了二体系统的四种运动轨迹，分别为圆形轨迹、椭圆形轨迹、抛物线形轨迹和双曲线形轨迹。
图 2：双体系统运动轨迹
若已知的轨迹上的一点，容易求出天体在该点处的速度矢量。对于天体 M，可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$。在极坐标系中，切向速度可表示为 $v_\tau =r_1 \boldsymbol\cdot {\theta}$，而上文已证明守恒的系统角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = m_1(1+\mu) \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= m_1(1+\mu)r_1^2\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
因此，切向速度为
\begin{equation}
v_\tau =\frac{L}{m_1(1+\mu)r_1}~,
\end{equation}
又因为法向速度 $v_n=\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1$，对式 9 求导可得
\begin{equation}
v_n = \frac{\mathrm{d}{r_1}}{\mathrm{d}{t}} =-\frac{ep\dot{\theta}\cos\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\cos\theta}{m_1(1+\mu)r_1^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A_1\cos\theta}{m_1L}~.
\end{equation}
4. 时间参数
通过对二体系统守恒量的分析，我们发现角动量和 L-R-L 矢量直接决定了轨道的形状和大小，再令极轴正方向与 L-R-L 矢量平行，则轨道方程在坐标系中就有唯一确定的表达式。以上的讨论中，我们避免了求解二阶运动微分方程的繁琐过程，然而美中不足的是，我们还没有建立天体运动的位置—时间关系式。下面就对时间参数展开讨论。
式 10 通过角动量的定义式建立了轨道的角度参数和时间的关系，可以将该式改写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{L}{ m_1(1+\mu)r_1^2}~.
\end{equation}
将轨道方程
式 9 代入，并分离变量
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{t} =\frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2}~
\end{equation}
方程两边积分，可得
\begin{equation}
t-t_0 = \frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2}~.
\end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间，习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点，即 $t_0=0$。等号右边的积分根据轨道形状有不同的表达式，以圆形和抛物线为例
\begin{equation}
\int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2} =
\left\{\begin{aligned}
&\theta &(e=0)\\
&\frac{1}{2} \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) +\frac{1}{6} \tan^{3}\left(\frac{\theta}{2}\right) &(e=1)
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
对应椭圆和双曲线的积分表达式非常复杂，有需要的读者可查阅标准数学手册积分表。
由于式 15 中的被积函数在其有效定义域上为正值，因此所得的时间 $t$ 单调递增，即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系。
综上所述，可以得出结论：二体系统的运动问题在给定的初始条件下具有确定解。
习题 1 关于系统机械能
试证明二体系统机械能守恒。
提示：可以选用以下两种方法
- 写出天体 M 和 N 的二阶运动微分方程，分别与其速度矢量内积；
- 系统机械能等于动能与引力势能的和，写出机械能表达式并适当代换，最终可用角动量和L-R-L 矢量表达系统机械能。
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