二体问题综述

贡献者： addis

预备知识　中心力场问题

　　由两个质量相近的普通天体组成的系统，称为 “二体系统”。

　　一般情况下，两个天体的体积相比距离可以忽略不计，故可将天体视为质点，研究它们的相对位置的变化关系。

　　研究两个天体的相对运动，首先需要选取参考点，有两种常用的选择：

以其中一个天体为参考点，研究另一个天体的相对距离和相对速度变化；
以系统质心为参考点，分别研究两个天体相对质心的运动。

　　无外力作用下，系统质心的加速度为零，因此由质心为原点建立的参考系是惯性参考系，这也是最常用的参考系。

　　研究质点系的运动模式的方法，也有两种常用选择：

将每个质点的位置矢量 $r$ 视为时间 $t$ （或其他参数）的未知函数，建立运动微分方程 $\ddot{r} = f (t)$ ，求解该微分方程并代入初值条件，解出运动模式；
将每个质点每个时刻的位置矢量 $r$ 和动量矢量 $v$ 视为未知数，由动量定理、角动量定理、能量守恒等建立关于位置矢量和速度矢量的方程组，进而求解。

　　第一种方法最为常见，但是在天体力学和其他力学问题中，很多时候运动微分方程难以求解，因此需综合运用以上两种方法。

1. 相似性

　　以质心为原点建立坐标系。记天体 M 的质量为 $m_{1}$ 、位置矢量为 $r_{1}$ ，天体 N 的质量为 $m_{2}$ 、位置矢量为 $r_{2}$ 。

　　在此坐标系中，无外力作用下，由动量定理可得

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2} = 0 \\ m_{1} {\dot{r}}_{1} + m_{2} {\dot{r}}_{2} = 0 \end{cases} . \end{matrix}

　　可见，两天体的位置矢量和速度矢量分别成固定的比例关系，即两天体相对质心的运动模式是相似的，只需研究其中一个天体，就能得出系统的运动规律。

2. 平面性

　　记 $μ = m_{1} / m_{2}$ ，系统对质心的角动量为

\begin{matrix} (2) & L = r_{1} \times m_{1} {\dot{r}}_{1} + r_{2} \times {\dot{r}}_{2} = m_{1} (1 + μ) r_{1} \times {\dot{r}}_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \frac{d L}{d t} = {\dot{r}}_{1} \times {\dot{r}}_{1} + r_{1} \times {\ddot{r}}_{1} = r_{1} \times {\ddot{r}}_{1} . \end{matrix}

　　由万有引力定律可得

\begin{matrix} (4) & {\ddot{r}}_{1} = \frac{G m_{2}}{| r_{2} - r_{1} |^{3}} (r_{2} - r_{1}) = - \frac{G m_{2}}{(1 + μ)^{2} | r_{1} |^{3}} r_{1}, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (5) & \frac{d L}{d t} = r_{1} \times {\ddot{r}}_{1} = - r_{1} \times \frac{G m_{2}}{(1 + μ)^{2} | r_{1} |^{3}} r_{1} = 0 . \end{matrix}

即角动量守恒（角动量的方向和模长均守恒）。因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面，故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内，并且加速度矢量也在此平面内。因此，二体系统的运动问题是一个平面问题。

3. 轨道方程通解

　　记 $k = G m_{1} m_{2}$ ，则天体 M 的拉普拉斯-龙格-楞次矢量（L-R-L 矢量）可以表示为：

\begin{matrix} (6) & A_{1} = m_{1} {\dot{r}}_{1} \times L - \frac{m_{1} k}{(1 + μ) | r_{1} |} r_{1} . \end{matrix}

二体系统中，L-R-L 矢量

A_{1}

守恒（此处证明略，可参考文章 “拉普拉斯-龙格-楞次矢量”）。

　　矢量 $A_{1}$ 与位置矢量 $r_{1}$ 作內积，并取坐标形式为极坐标

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} A_{1} \cdot r_{1} & = m_{1} {\dot{r}}_{1} \times L \cdot r_{1} - \frac{m_{1} k}{(1 + μ)} r_{1} \\ = m_{1} (r_{1} \times {\dot{r}}_{1}) \cdot L - \frac{m_{1} k}{(1 + μ)} r_{1} \\ = \frac{L^{2} - m_{1} k}{1 + μ} r_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

图 1：L-R-L 矢量与位置矢量

　　令 $θ$ 为从矢量 $A_{1}$ 转向位置矢量 $r_{1}$ 的夹角（极轴与从矢量 $A_{1}$ 平行，如图 1 ）。则式 7 可化为

\begin{matrix} (8) & A_{1} r_{1} \cos θ = \frac{L^{2} - m_{1} k}{1 + μ} r_{1}, \end{matrix}

移项整理可得轨道的极坐标方程

\begin{matrix} (9) & r_{1} = \frac{p}{1 + e \cos θ} . \end{matrix}

其中，

p = L^{2} / (m_{1} k)

，

e = A_{1} (1 + μ) / (m_{1} k)

。

　　可见天体 M 的轨迹是圆锥曲线，其偏心率由 L-R-L 矢量 $A_{1}$ 决定。天体 N 的轨迹与之相似。当两个天体的质量相差悬殊，则大质量的天体运动范围极小，且系统质心非常靠近大质量天体，两天体的相对运动模式则近似为单质点在引力场中的运动（即开普勒问题，恒星—行星运动模式）。

　　通过求解天体 M 的运动微分方程式 4 ，也可以得到相同的结果（推导过程参考 “开普勒问题” 和 “轨道方程—比耐公式”）。

　　在图 2 中展示了二体系统的四种运动轨迹，分别为圆形轨迹、椭圆形轨迹、抛物线形轨迹和双曲线形轨迹。

图 2：双体系统运动轨迹

　　若已知的轨迹上的一点，容易求出天体在该点处的速度矢量。对于天体 M，可将速度矢量分解为切向速度 $v_{τ}$ 与法向速度 $v_{n}$ 。在极坐标系中，切向速度可表示为 $v_{τ} = r_{1} \cdot θ$ ，而上文已证明守恒的系统角动量为

\begin{matrix} (10) & L = m_{1} (1 + μ) r_{1} \times {\dot{r}}_{1} = m_{1} (1 + μ) r_{1}^{2} \dot{θ} \hat{z} . \end{matrix}

因此，切向速度为

\begin{matrix} (11) & v_{τ} = \frac{L}{m_{1} (1 + μ) r_{1}}, \end{matrix}

　　又因为法向速度 $v_{n} = {\dot{r}}_{1}$ ，对式 9 求导可得

\begin{matrix} (12) & v_{n} = \frac{d r_{1}}{d t} = - \frac{e p \dot{θ} \cos θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} = - \frac{e p L \cos θ}{m_{1} (1 + μ) r_{1}^{2} (1 + e \cos θ)^{2}} = - \frac{A_{1} \cos θ}{m_{1} L} . \end{matrix}

4. 时间参数

　　通过对二体系统守恒量的分析，我们发现角动量和 L-R-L 矢量直接决定了轨道的形状和大小，再令极轴正方向与 L-R-L 矢量平行，则轨道方程在坐标系中就有唯一确定的表达式。以上的讨论中，我们避免了求解二阶运动微分方程的繁琐过程，然而美中不足的是，我们还没有建立天体运动的位置—时间关系式。下面就对时间参数展开讨论。

　　式 10 通过角动量的定义式建立了轨道的角度参数和时间的关系，可以将该式改写为

\begin{matrix} (13) & \frac{d θ}{d t} = \frac{L}{m_{1} (1 + μ) r_{1}^{2}} . \end{matrix}

将轨道方程式 9 代入，并分离变量

\begin{matrix} (14) & d t = \frac{(1 + μ) L^{3}}{m_{1} k^{2}} \frac{d θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} \end{matrix}

方程两边积分，可得

\begin{matrix} (15) & t - t_{0} = \frac{(1 + μ) L^{3}}{m_{1} k^{2}} \int_{0}^{θ} \frac{d θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} . \end{matrix}

其中

t_{0}

为初始时间，习惯上取

θ = 0

的时刻为时间的零点，即

t_{0} = 0

。等号右边的积分根据轨道形状有不同的表达式，以圆形和抛物线为例

\begin{matrix} (16) & \int_{0}^{θ} \frac{d θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} = {\begin{aligned} θ & (e = 0) \\ \frac{1}{2} \tan (\frac{θ}{2}) + \frac{1}{6} \tan^{3} (\frac{θ}{2}) & (e = 1) \end{aligned} . \end{matrix}

对应椭圆和双曲线的积分表达式非常复杂，有需要的读者可查阅标准数学手册积分表。

　　由于式 15 中的被积函数在其有效定义域上为正值，因此所得的时间 $t$ 单调递增，即 $θ$ 与 $t$ 存在一一对应的关系。

　　综上所述，可以得出结论：二体系统的运动问题在给定的初始条件下具有确定解。

习题 1　关于系统机械能

　　试证明二体系统机械能守恒。

　　提示：可以选用以下两种方法

写出天体 M 和 N 的二阶运动微分方程，分别与其速度矢量内积；
系统机械能等于动能与引力势能的和，写出机械能表达式并适当代换，最终可用角动量和L-R-L 矢量表达系统机械能。