轨道参数、时间变量

贡献者： addis

预备知识　开普勒第一定律的证明

　　在 “开普勒第一定律的证明” 中，我们得到了极坐标下的轨道方程

\begin{matrix} (1) & r = \frac{p}{1 + e \cos θ} . \end{matrix}

其中，

p = L^{2} / (m k)

，

e = A / (m k)

。

　　对于轨迹上任意一点，容易求出质点在该处的速度矢量。可将速度矢量分解为切向速度 $v_{τ}$ 与法向速度 $v_{n}$ 。在极坐标系中，切向速度可表示为 $v_{τ} = r \dot{θ}$ ，角动量为 $L = m r^{2} \dot{θ} \hat{z}$ ，因此，切向速度为

\begin{matrix} (2) & v_{τ} = \frac{L}{m r} . \end{matrix}

　　另有法向速度 $v_{n} = \dot{r}$ ，对式 1 求导可得

\begin{matrix} (3) & v_{n} = \frac{d r}{d t} = - \frac{e p \dot{θ} \sin θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} = - \frac{e p L \sin θ}{m r^{2} (1 + e \cos θ)^{2}} = - \frac{A \sin θ}{m L} . \end{matrix}

1. 初值条件

　　由轨道方程式 1 可知，轨道上 $θ = 0$ 的点距离坐标原点最近，并且由式 2 和式 3 可以发现，该点处的切向速度最大，法向速度为零。在恒星-行星系统中，称这个最近点为 “近日点”，通常取该点的运动状态为初值条件。记这个最近距离为 $r_{0}$ ，该点处速度为 $v_{0}$ 。由此初值条件可得

\begin{matrix} (4) & L = m v_{0} r_{0}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & A = m^{2} v_{0}^{2} r_{0} - m k = m^{2} (v_{0}^{2} r_{0} - G M), \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & e = \frac{A}{m k} = \frac{v_{0}^{2} r_{0}}{G M} - 1 . \end{matrix}

　　轨道上任意一点处，质点所具有的机械能为

\begin{matrix} (7) & E = \frac{1}{2} m (v_{τ} + v_{n})^{2} - \frac{k}{r} . \end{matrix}

由于系统不受外力或外力矩作用，故机械能守恒，由初值条件亦可求出系统机械能

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} E & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{k}{r_{0}} \\ = \frac{L^{2}}{2 m r_{0}^{2}} - \frac{k}{r_{0}} \\ = \frac{L^{2}}{2 m} \frac{(1 + e)^{2})}{p^{2}} - \frac{k (1 + e)}{p} \\ = \frac{m k^{2}}{2 L^{2}} (e^{2} - 1) . \end{aligned} \end{matrix}

式 8 与 “开普勒问题” 中式 2 所给出的轨道离心率与能量、角动量的关系式一致。

　　由此可见，初值条件可以唯一确定轨道的形状、大小等几何参数。

2. 时间变量

　　在许多实际应用中，往往需要确定天体位置与时间的关系。比如常见的椭圆轨道，我们不仅需要知道周期，还需要计算天体运行至任意位置的时间。下面就对时间参数展开讨论。

　　可将极坐标下的角动量表达式 $L = m r^{2} \dot{θ}$ 改写为

\begin{matrix} (9) & \frac{d θ}{d t} = \frac{L}{m r^{2}} . \end{matrix}

将轨道方程式 1 代入，并分离变量

\begin{matrix} (10) & d t = \frac{L^{3}}{m k^{2}} \frac{d θ}{(1 + e \cos θ)} . \end{matrix}

方程两边积分，可得

\begin{matrix} (11) & t - t_{0} = \frac{L^{3}}{m k^{2}} \int_{0}^{θ} \frac{d θ}{(1 + e \cos θ)^{2}} . \end{matrix}

其中

t_{0}

为初始时间，习惯上取

θ = 0

的时刻为时间的零点，即

t_{0} = 0

。等号右边的积分根据轨道形状有不同的形式。

圆轨道

　　圆轨道是最简单的情况，离心率 $e = 0$ ，可得

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} t & = \frac{L^{3}}{m k^{2}} θ, \\ v^{2} r & = G M . \end{aligned} \end{matrix}

沿圆轨道运动的天体，角速度恒定，即匀速圆周运动。令

θ = 2 π

可得运转周期为

\begin{matrix} (13) & T = \frac{2 π L^{3}}{m k^{2}} = \frac{2 π v^{3} r^{3}}{G M} = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}} . \end{matrix}

椭圆轨道

　　椭圆轨道是最常见的情形，离心率 $0 < e < 1$

\begin{matrix} (14) & t = \frac{L^{3}}{m k^{2} {(1 - e^{2})}^{\frac{3}{2}}} [2 \arctan (\sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan \frac{θ}{2}) - \frac{e \sqrt{1 - e^{2}} \sin θ}{1 + e \cos θ}] . \end{matrix}

规定当

(n - 1) π < θ ⩽ n π

时，

\arctan (\sqrt{\frac{1 - e}{1 + e}} \tan \frac{θ}{2})

在

(\frac{n - 1}{2} π, \frac{n}{2} π]

范围内取值。

　　同样的，令 $θ = 2 π$ 可得运转周期为

\begin{matrix} (15) & T = \frac{2 π L^{3}}{m k^{2} {(1 - e^{2})}^{\frac{3}{2}}} . \end{matrix}

　　根据式 14 绘制的时间—角度变化规律，如图 1 所示

图 1：椭圆轨道时间变量

抛物线轨道

　　抛物线轨道离心率 $e = 1$

\begin{matrix} (16) & t = \frac{L^{3}}{2 m k^{2}} \tan (\frac{θ}{2}) + \frac{1}{6} \tan^{3} (\frac{θ}{2}) . \end{matrix}

在抛物线轨道上运动的天体，其动能与势能之和为零。

双曲线线轨道

　　双曲线轨道离心率 $e > 1$

\begin{matrix} (17) & t = \frac{L^{3}}{m k^{2} (e^{2} - 1)} [\frac{e \sin θ}{1 + e \cos θ} - \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}} \ln (\frac{\sqrt{e + 1} + \sqrt{e - 1} \tan \frac{θ}{2}}{\sqrt{e + 1} - \sqrt{e - 1} \tan \frac{θ}{2}})] . \end{matrix}

双曲线轨道的时间—角度变化规律，如图 2 所示

图 2：双曲线轨道时间变量

　　由于式 11 中的被积函数在其有效定义域上为正值，因此所得的时间 $t$ 单调递增，即 $θ$ 与 $t$ 存在一一对应的关系。然而位置—时间的关系式往往涉及超越方程的求解，不能用初等函数式表达，只能借助牛顿迭代法等数值方法计算。

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