浸渐不变量

贡献者：零穹

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　　当系统由一些缓变参数 $λ_{i}$ 确定时，系统在运动过程中保持不变的（作为能量 $E$ 和 $λ$ 的函数）量称为系统的浸渐不变量。这样的系统可以理解为处于一个外场当中，而参数 $λ_{i}$ 描述了系统所处外场的性质。例如处于三维静电场中的二维平面上的电荷系统，系统受到的场的作用与平面所处的位置有关，那么系统所处电场的性质可以用平面所处的 $z$ 坐标来描述（以平面作为 $x O y$ 平面）。为简单起见，我们假设只有一个参数 $λ$ 。

　　所谓的 “缓变”，是指在一个运动周期 $T$ 内 $λ$ 的变化很小，即

\begin{matrix} (1) & \frac{λ (t + T) - λ (t)}{λ (t)} \to 0 . \end{matrix}

由于

λ (t + T) - λ (t) \approx T \frac{d λ}{d t}

，上式可写为（这里简单假设了

λ > 0

）

\begin{matrix} (2) & T \frac{d λ}{d t} ≪ λ . \end{matrix}

若

λ

为常数，则系统是封闭的且能量守恒；若

λ

非常数，则系统不封闭，能量不守恒。

1. 浸渐不变量的具体形式

　　设 $H (p, q, λ)$ 是依赖于参数 $λ$ 的系统的哈密顿量。由（链接）(注意哈密顿量就是能量)：

\begin{matrix} (3) & \frac{d E}{d t} = \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial λ} \frac{d λ}{d t} . \end{matrix}

上式右端不仅依赖于缓变量

λ

，还依赖于快变量

p, q

。为了消除快变量的影响，可以按周期取平均（图 1 ）。

图 1：按周期取平均后，快变量平均值为 0，故可消除快变量的影响

　　在周期 $T$ 内取平均时，由于 $λ$ 变化缓慢（ $\dot{λ}$ 也看成缓变量），可以将 $λ, \frac{d λ}{d t}$ 看成常数，从而 $\frac{d λ}{d t}$ 可移到平均化符号外，于是式 3 取平均后有

\begin{matrix} (4) & \overset{―}{\frac{d E}{d t}} = \frac{d λ}{d t} \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} = \frac{1}{T} \int_{τ}^{τ + T} \frac{\partial H}{\partial λ} d t, \end{matrix}

根据正则方程（式 5 ）

\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}

，有

\begin{matrix} (6) & d t = \frac{d q}{\partial H / \partial p} . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (7) & T = \int_{τ}^{τ + T} d t = \oint \frac{d q}{\partial H / \partial p} . \end{matrix}

上式的符号

\oint

是因为周期运动，

q

的变化区域应形成个闭环。于是式 5 成为

\begin{matrix} (8) & \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} = \frac{\oint \frac{\partial H / \partial λ}{\partial H / \partial p} d q}{\oint \frac{d q}{\partial H / \partial p}} . \end{matrix}

　　进而式 4 成为

\begin{matrix} (9) & \overset{―}{\frac{d E}{d t}} = \frac{d λ}{d t} \frac{\oint \frac{\partial H / \partial λ}{\partial H / \partial p} d q}{\oint \frac{d q}{\partial H / \partial p}} . \end{matrix}

　　前面说过，在取平均值时 $λ$ 应看成常数，即上式中的积分是沿着 $λ$ 为常数的运动轨道进行的，即沿积分路径哈密顿量保持常值 $E$ 。而沿着运动路径， $\dot{q}$ 是 $q$ 的函数，拉氏量 $L$ 是 $q, \dot{q}, E, λ$ 的函数，所以 $p$ 可看成 $q, E, λ$ 的函数 $p (q; E, λ)$ 。故将方程 $H (p, q, λ) = E$ 对 $λ$ 求导，就有

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial H}{\partial λ} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial λ} = 0 . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial H / \partial λ}{\partial H / \partial p} = - \frac{\partial p}{\partial λ}, \end{matrix}

并且

\begin{matrix} (12) & \frac{d q}{\partial H / \partial p} = \frac{\partial p}{\partial E} d q . \end{matrix}

　　于是式 9 成为

\begin{matrix} (13) & \overset{―}{\frac{d E}{d t}} = - \frac{d λ}{d t} \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial λ} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q}, \end{matrix}

上式可写为

\begin{matrix} (14) & \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \overset{―}{\frac{d E}{d t}} + \frac{d λ}{d t} \frac{\partial p}{\partial λ}) d q = 0, \end{matrix}

上式相对于

\begin{matrix} (15) & \overset{―}{\frac{d I}{d t}} = 0, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (16) & I = \frac{1}{2 π} \oint p d q . \end{matrix}

式 15 表明，当

λ

缓慢变化时，在这里考虑的近似下（即将

λ, \dot{λ}

看作沿闭合路径保持不变）

I

保持常数，即

I

是浸渐不变量。

习题 1　

　　试证明式 14 与式 15 等价。

　　 证明： 式 14 与式 15 等价是因为 $I$ 中的积分变量是 $q$ ，积分完后 $I$ 与 $q$ 无关，而 $p = p (q; E, λ)$ ，所以最后 $I = I (E, λ)$ ，那么（注意 $E, λ$ 可看作只是 $t$ 的函数。）

\begin{matrix} (17) & \frac{d I}{d t} = \frac{\partial I}{\partial E} \frac{d E}{d t} + \frac{\partial I}{\partial λ} \frac{d λ}{d t} = \frac{1}{2 π} \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \frac{d E}{d t} + \frac{d λ}{d t} \frac{\partial p}{\partial λ}) d q . \end{matrix}

因为

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} \overset{―}{\frac{\partial I}{\partial E} \frac{d E}{d t}} & = \frac{1}{T} \int_{t}^{t + T} \oint \frac{\partial p}{\partial E} \frac{d E}{d t} d q d t \\ = \oint \frac{\partial p}{\partial E} (\frac{1}{T} \int_{t}^{t + T} \frac{d E}{d t} d t) d q \\ = \oint \frac{\partial p}{\partial E} \overset{―}{\frac{d E}{d t}} d q, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (19) & \overset{―}{\frac{d I}{d t}} = \frac{1}{2 π} \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \overset{―}{\frac{d E}{d t}} + \frac{d λ}{d t} \frac{\partial p}{\partial λ}) d q . \end{matrix}

所以式 14 与式 15 等价。

　　 证毕！

2. 一些重要的例子

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