贡献者： 零穹
当系统由一些缓变参数 $\lambda_i$ 确定时，系统在运动过程中保持不变的（作为能量 $E$ 和 $\lambda$ 的函数）量称为系统的浸渐不变量。这样的系统可以理解为处于一个外场当中，而参数 $\lambda_i$ 描述了系统所处外场的性质。例如处于三维静电场中的二维平面上的电荷系统，系统受到的场的作用与平面所处的位置有关，那么系统所处电场的性质可以用平面所处的 $z$ 坐标来描述（以平面作为 $xOy$ 平面）。为简单起见，我们假设只有一个参数 $\lambda$。
所谓的 “缓变”，是指在一个运动周期 $T$ 内 $\lambda$ 的变化很小，即
\begin{equation}
\frac{\lambda(t+T)-\lambda(t)}{\lambda(t)}\rightarrow0~.
\end{equation}
由于 $\lambda(t+T)-\lambda(t)\approx T \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $，上式可写为（这里简单假设了 $\lambda>0$）
\begin{equation}
T \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \ll\lambda~.
\end{equation}
若 $\lambda$ 为常数，则系统是封闭的且能量守恒；若 $\lambda$ 非常数，则系统不封闭，能量不守恒。
1. 浸渐不变量的具体形式
设 $H(p,q,\lambda)$ 是依赖于参数 $\lambda$ 的系统的哈密顿量。由（链接）(注意哈密顿量就是能量)：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial \lambda} \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
上式右端不仅依赖于缓变量 $\lambda$，还依赖于快变量 $p,q$。为了消除快变量的影响，可以按周期取平均（
图 1 ）。
图 1：按周期取平均后，快变量平均值为 0，故可消除快变量的影响
在周期 $T$ 内取平均时，由于 $\lambda$ 变化缓慢（$\dot\lambda$ 也看成缓变量），可以将 $\lambda, \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $ 看成常数，从而 $ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $ 可移到平均化符号外，于是式 3 取平均后有
\begin{equation}
\overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }= \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} }~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} }=\frac{1}{T}\int_\tau^{\tau+T} \frac{\partial H}{\partial \lambda} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
根据正则方程（
式 5 ）$\dot q= \frac{\partial H}{\partial p} $，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{t} =\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
T=\int_{\tau}^{\tau+T} \,\mathrm{d}{t} =\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}~.
\end{equation}
上式的符号 $\oint$ 是因为周期运动，$q$ 的变化区域应形成个闭环。于是
式 5 成为
\begin{equation}
\overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} }=\frac{\oint\frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}} \,\mathrm{d}{q} }
{\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}}~.
\end{equation}
进而式 4 成为
\begin{equation}
\overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }= \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}}
\frac{\oint\frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}} \,\mathrm{d}{q} }
{\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}}~.
\end{equation}
前面说过，在取平均值时 $\lambda$ 应看成常数，即上式中的积分是沿着 $\lambda$ 为常数的运动轨道进行的，即沿积分路径哈密顿量保持常值 $E$。而沿着运动路径，$\dot q$ 是 $q$ 的函数，拉氏量 $L$ 是 $q,\dot q,E,\lambda$ 的函数，所以 $p$ 可看成 $q,E,\lambda$ 的函数 $p(q;E,\lambda)$。故将方程 $H(p,q,\lambda)=E$ 对 $\lambda$ 求导，就有
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial \lambda} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial \lambda} =0~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}}=- \frac{\partial p}{\partial \lambda} ~,
\end{equation}
并且
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}= \frac{\partial p}{\partial E} \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
于是式 9 成为
\begin{equation}
\overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }=- \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}}
\frac{\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda} \,\mathrm{d}{q} }
{\oint \frac{\partial p}{\partial E} \,\mathrm{d}{q} }~,
\end{equation}
上式可写为
\begin{equation}
\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }+ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} =0~,
\end{equation}
上式相对于
\begin{equation}
\overline{ \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} }=0~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
I=\frac{1}{2\pi}\oint p \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
表明，当 $\lambda$ 缓慢变化时，在这里考虑的近似下（即将 $\lambda,\dot\lambda$ 看作沿闭合路径保持不变）$I$ 保持常数，即 $I$ 是
浸渐不变量。
习题 1
试证明式 14 与式 15 等价。
证明：
式 14 与式 15 等价是因为 $I$ 中的积分变量是 $q$，积分完后 $I$ 与 $q$ 无关，而 $p=p(q;E,\lambda)$，所以最后 $I=I(E,\lambda)$，那么（注意 $E,\lambda$ 可看作只是 $t$ 的函数。）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial I}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial I}{\partial \lambda} \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{1}{2\pi}\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\overline{ \frac{\partial I}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }&=\frac{1}{T}\int_t^{t+T}\oint \frac{\partial p}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{q} \,\mathrm{d}{t} \\
&=\oint \frac{\partial p}{\partial E} \left(\frac{1}{T}\int_t^{t+T} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \right) \,\mathrm{d}{q} \\
&=\oint \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} } \,\mathrm{d}{q} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\overline{ \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} }=\frac{1}{2\pi}\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }+ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
所以
式 14 与
式 15 等价。
证毕！
2. 一些重要的例子
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