浸渐不变量

                     

贡献者: 零穹

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   当系统由一些缓变参数 $\lambda_i$ 确定时,系统在运动过程中保持不变的(作为能量 $E$ 和 $\lambda$ 的函数)量称为系统的浸渐不变量。这样的系统可以理解为处于一个外场当中,而参数 $\lambda_i$ 描述了系统所处外场的性质。例如处于三维静电场中的二维平面上的电荷系统,系统受到的场的作用与平面所处的位置有关,那么系统所处电场的性质可以用平面所处的 $z$ 坐标来描述(以平面作为 $xOy$ 平面)。为简单起见,我们假设只有一个参数 $\lambda$。

   所谓的 “缓变”,是指在一个运动周期 $T$ 内 $\lambda$ 的变化很小,即

\begin{equation} \frac{\lambda(t+T)-\lambda(t)}{\lambda(t)}\rightarrow0 \end{equation}
由于 $\lambda(t+T)-\lambda(t)\approx T \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $,上式可写为(这里简单假设了 $\lambda > 0$)
\begin{equation} T \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \ll\lambda \end{equation}
若 $\lambda$ 为常数,则系统是封闭的且能量守恒;若 $\lambda$ 非常数,则系统不封闭,能量不守恒。

1. 浸渐不变量的具体形式

   设 $H(p,q,\lambda)$ 是依赖于参数 $\lambda$ 的系统的哈密顿量。由(链接)(注意哈密顿量就是能量):

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial \lambda} \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
上式右端不仅依赖于缓变量 $\lambda$,还依赖于快变量 $p,q$。为了消除快变量的影响,可以按周期取平均(图 1 )。

图
图 1:按周期取平均后,快变量平均值为 0,故可消除快变量的影响

   在周期 $T$ 内取平均时,由于 $\lambda$ 变化缓慢($\dot\lambda$ 也看成缓变量),可以将 $\lambda, \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $ 看成常数,从而 $ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} $ 可移到平均化符号外,于是式 3 取平均后有

\begin{equation} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }= \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} } \end{equation}
其中
\begin{equation} \overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} }=\frac{1}{T}\int_\tau^{\tau+T} \frac{\partial H}{\partial \lambda} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
根据正则方程(式 5 )$\dot q= \frac{\partial H}{\partial p} $,有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{t} =\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}} \end{equation}
于是
\begin{equation} T=\int_{\tau}^{\tau+T} \,\mathrm{d}{t} =\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}} \end{equation}
上式的符号 $\oint$ 是因为周期运动,$q$ 的变化区域应形成个闭环。于是式 5 成为
\begin{equation} \overline{ \frac{\partial H}{\partial \lambda} }=\frac{\oint\frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}} \,\mathrm{d}{q} } {\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}} \end{equation}

   进而式 4 成为

\begin{equation} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }= \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\oint\frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}} \,\mathrm{d}{q} } {\oint\frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}} \end{equation}

   前面说过,在取平均值时 $\lambda$ 应看成常数,即上式中的积分是沿着 $\lambda$ 为常数的运动轨道进行的,即沿积分路径哈密顿量保持常值 $E$。而沿着运动路径,$\dot q$ 是 $q$ 的函数,拉氏量 $L$ 是 $q,\dot q,E,\lambda$ 的函数,所以 $p$ 可看成 $q,E,\lambda$ 的函数 $p(q;E,\lambda)$。故将方程 $H(p,q,\lambda)=E$ 对 $\lambda$ 求导,就有

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial \lambda} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial \lambda} =0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial{H}/\partial{\lambda}}{\partial{H}/\partial{p}}=- \frac{\partial p}{\partial \lambda} \end{equation}
并且
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{q} }{\partial{H}/\partial{p}}= \frac{\partial p}{\partial E} \,\mathrm{d}{q} \end{equation}

   于是式 9 成为

\begin{equation} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }=- \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda} \,\mathrm{d}{q} } {\oint \frac{\partial p}{\partial E} \,\mathrm{d}{q} } \end{equation}
上式可写为
\begin{equation} \oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }+ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} =0 \end{equation}
上式相对于
\begin{equation} \overline{ \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} }=0 \end{equation}
其中
\begin{equation} I=\frac{1}{2\pi}\oint p \,\mathrm{d}{q} \end{equation}
式 15 表明,当 $\lambda$ 缓慢变化时,在这里考虑的近似下(即将 $\lambda,\dot\lambda$ 看作沿闭合路径保持不变)$I$ 保持常数,即 $I$ 是浸渐不变量

习题 1 

   试证明式 14 式 15 等价。

   证明: 式 14 式 15 等价是因为 $I$ 中的积分变量是 $q$,积分完后 $I$ 与 $q$ 无关,而 $p=p(q;E,\lambda)$,所以最后 $I=I(E,\lambda)$,那么(注意 $E,\lambda$ 可看作只是 $t$ 的函数。)

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial I}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial I}{\partial \lambda} \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{1}{2\pi}\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} \end{equation}
因为
\begin{equation} \begin{aligned} \overline{ \frac{\partial I}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }&=\frac{1}{T}\int_t^{t+T}\oint \frac{\partial p}{\partial E} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{q} \,\mathrm{d}{t} \\ &=\oint \frac{\partial p}{\partial E} \left(\frac{1}{T}\int_t^{t+T} \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \right) \,\mathrm{d}{q} \\ &=\oint \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} } \,\mathrm{d}{q} \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} \overline{ \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} }=\frac{1}{2\pi}\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{ \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{t}} }+ \frac{\mathrm{d}{\lambda}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial p}{\partial \lambda} \right) \,\mathrm{d}{q} \end{equation}
所以式 14 式 15 等价。

   证毕!

2. 一些重要的例子


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