逆序数

             

预备知识 排列

  1我们把集合 $ \left\{1,\dots,N \right\} $ 的某种排列记为 $\pi$,该排列的元素按照顺序分别记为 $\pi_1, \dots, \pi_N$.对于任意 $i < j$,如果满足 $\pi_i > \pi_j$ 我们就把 $i, j$ 或者 $\pi_i, \pi_j$ 称为排列 $\pi$ 的一个逆序对(inversion).一个排列中所有逆序对的个数就叫逆序数(inversion number)

   逆序数主要的应用有定义行列式和列维—奇维塔(Levi-Civita)符号.在这两个应用中,我们只对逆序数的奇偶性感兴趣.我们把逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.把按从小到大的顺序排列叫做标准排列.标准排列逆序数为零,是一个偶排列.

例 1 

  • 标准排列 $1,2,3,4$ 中对任意 $i < j$ 都有 $\pi_i < \pi_j$,不存在逆序对,逆序数为零.
  • $4,3,2,1$ 中对任意 $i < j$ 都有 $\pi_i > \pi_j$,任何两个元素都是逆序对,逆序数等于组合 $C_4^2 = 6$.
  • 排列 $1,6,2,5,3,4$ 中,逆序对有 $(6,2)$,$(6,5)$,$(6,3)$,$(6,4)$,$(5,3)$,$(5,4)$.共 $6$ 个.

   一般情况下,要计算逆序数,我们可以依次令 $i = 1, \dots, N$,对每个 $i$,将其右边所有小于 $\pi_i$ 的元素数求和即可.

定理 1 

   交换排列中任意两个不同元素,逆序数奇偶性改变.

证明

   在排列 $p_n$ 中,考虑第 $i, j$($i < j$)两个元素的置换,不妨把他们的值分别记为 $m, n$.不妨假设 $m < n$($n < m$ 的讨论同理).为了方便讨论,我们把任意两个不同元素都用弧线连起来,这些弧线有的代表逆序对,有的不是.我们可以把这些连线分为 4 类来讨论:

  1. 对于不连接到 $m$ 或 $n$ 的线,置换不改变它们之中的逆序数.
  2. 对于从 $m$ 或 $n$ 连接到 $m$ 左边或 $n$ 右边的线,置换同样不改变他们之中的逆序数.
  3. 若 $m,n$ 不相邻,对于从 $m$ 或 $n$ 连接到 $m, n$ 之间某个元素 $q$ 的两条线,只有当 $m < q < n$ 时逆序数会改变:从两个非逆序对变为逆序对.但无论有多少满足条件的 $q$,逆序数只会增加偶数个.
  4. $m,n$ 在置换前不是逆序对,置换后变为逆序对,使逆序数增加 1,改变逆序数的奇偶性.

   综上所述,逆序对在置换后必定改变奇数个,所以逆序数奇偶性发生变化.证毕.

推论 1 

   把奇排列变为标准排列需要置换奇数次,把偶排列变为标准排列需要置换偶数次.

   证明显然.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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