等温过程

             

预备知识 理想气体状态方程

   等温过程的特征是系统的温度保持不变,即 $\mathrm dT=0$.由于理想气体的内能只取决于温度,所以在等温过程中,理想气体的内能也保持不变,也就是说 $\mathrm dE=0$.

   设想一汽缸壁是绝对不导热的,而底部则是绝对导热的(图 1 ).现在将气缸的底部和一恒温热源相接触,当活塞上的外界压强无限缓慢地降低时,缸内气体也将随之逐渐膨胀,对外做功气体内能就随之缓慢减少,温度也将随之略微降低.然而,由于气体与恒温热源相接触,当气体温度比热源温度略低时,就有微小的热量传给气体,使气体温度维持原值不变.这一准静态过程就是一个等温过程(isothermal process)

图
图 1:气体的等温膨胀

   在等温过程中,$p_1V_1=p_2V_2$,系统对外做的功为

\begin{equation} W= \int_{V_{1}}^{V_{2}} p \mathrm{d} V=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{p_{1} V_{1}}{V} \mathrm{d} V=p_{1} V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=p_{1} V_{1} \ln \frac{p_{1}}{p_{2}} \end{equation}

   根据理想气体状态方程可得

\begin{equation} W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{p_{1}}{p_{2}} \end{equation}

   又根据热力学第一定律,系统在等温过程中所吸收的热量应和它所做的功相等,即

\begin{equation} Q_{T}=W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{p_{1}}{p_{2}} \end{equation}

   那么等温过程在 $p-V$ 图上长什么样呢?当然是一条双曲线上的一段.这种双曲线就叫做等温线(isotherm).如图 2 所示,$\rm I\to II$ 就是一个等温膨胀过程.在等温膨胀过程中,理想气体所吸取的热量全部转化为对外所做的功;反之,在等温压缩时.外界对理想气体所做的功,将全部转化为传给恒温热源的热量.

图
图 2:等温过程中功的计算
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