等温过程

贡献者： FFjet

预备知识　压强体积图

　　等温过程的特征是系统的温度保持不变，即 $\mathrm dT=0$。由于理想气体的内能只取决于温度，所以在等温过程中，理想气体的内能也保持不变，也就是说 $\mathrm dE=0$。

　　设想一汽缸壁是绝对不导热的，而底部则是绝对导热的（图 1 ）。现在将气缸的底部和一恒温热源相接触，当活塞上的外界压强无限缓慢地降低时，缸内气体也将随之逐渐膨胀，对外做功气体内能就随之缓慢减少，温度也将随之略微降低。然而，由于气体与恒温热源相接触，当气体温度比热源温度略低时，就有微小的热量传给气体，使气体温度维持原值不变。这一准静态过程就是一个等温过程（isothermal process）。

图 1：气体的等温膨胀

　　在等温过程中，$P_1V_1=P_2V_2$，系统对外做的功为

\begin{equation} W= \int_{V_{1}}^{V_{2}} p \mathrm{d} V=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{P_{1} V_{1}}{V} \mathrm{d} V=P_{1} V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=P_{1} V_{1} \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　根据理想气体状态方程可得

\begin{equation} W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　又根据热力学第一定律，系统在等温过程中所吸收的热量应和它所做的功相等，即

\begin{equation} Q_{T}=W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　那么等温过程在 $P$-$V$ 图上长什么样呢？当然是一条双曲线上的一段。这种双曲线就叫做等温线（isotherm）。如图 2 所示，$\rm I\to II$ 就是一个等温膨胀过程。在等温膨胀过程中，理想气体所吸取的热量全部转化为对外所做的功；反之，在等温压缩时。外界对理想气体所做的功，将全部转化为传给恒温热源的热量。

图 2：等温过程中功的计算

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