理想气体单粒子能级密度

贡献者： addis; _Eden_

1. 相空间法

　　这里只考虑单粒子共 $6$ 个自由度构成的相空间。满足能量 $< ϵ$ 的状态数为

\begin{matrix} (1) & Ω_{0} = \frac{1}{h^{3}} \int_{\sum p^{2} ⩽ 2 m ϵ} d^{3} q d^{3} p = \frac{V}{h^{3}} \frac{4}{3} π p^{3} = \frac{V}{h^{3}} \frac{4}{3} π (2 m ε)^{3 / 2} . \end{matrix}

相空间中的能量密度为

(Ω_{0} (E + Δ E) - Ω_{0} (E)) / Δ E (Δ E \to 0)

，即

\begin{matrix} (2) & a (ε) = \frac{d Ω_{0}}{d ε} = \frac{2 π V (2 m)^{3 / 2}}{h^{3}} ε^{1 / 2} . \end{matrix}

对于多粒子体系，也有类似公式式 4 。

　　在这种计算方法中，我们假定了每个状态点占据相空间的体积为 $h^{3}$ （对于单粒子而言）。然而为什么是 $h^{3}$ 我们不清楚，只是从量子力学的不确定原理给出了一个 “说法”，没有给出证明。下面我们将从量子力学的角度来解释这件事情。

2. 量子力学法

　　在量子力学中，束缚态的能级是分立的。盒子对粒子的波函数有一定束缚，可看作是三维的无限深方势阱¹。单粒子的能级为

\begin{matrix} (3) & ε = \frac{ℏ^{2}}{2 m} [{(\frac{π n_{x}}{L_{x}})}^{2} + {(\frac{π n_{y}}{L_{y}})}^{2} + {(\frac{π n_{z}}{L_{z}})}^{2}] = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) . \end{matrix}

在

k

空间中，每个能级所占的体积为

\begin{matrix} (4) & V_{1} = \frac{π^{3}}{L_{x} L_{y} L_{z}} = \frac{π^{3}}{V} . \end{matrix}

k

空间中，能量小于

E

的量子态数为（注意

n

为正值，所以只求一个卦限的体积，要乘

1 / 8

）

\begin{matrix} (5) & Ω_{0} = \frac{1}{8} \cdot \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{4}{3} π k^{3} / \frac{π^{2}}{V} = \frac{V}{h^{3}} \frac{4}{3} π (2 m ε)^{3 / 2} . \end{matrix}

这恰好就是式 1 ，对能量求导得式 2 。于是我们能明白为什么要取相格的体积为

h^{3}

，这样推导出的微观状态数才与量子态数相符。

1. ^ 在一些教材中，会用周期性边界条件进行推导，读者不妨尝试一下，两种边界条件退出来的相格的大小都是相同的。

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