统计力学公式

贡献者： addis

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1. 微分关系

\begin{matrix} (1) & H = E + P V . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & G = E + P V - S T . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & μ d N + N d μ = d G = V d P - S d T + μ d N . \end{matrix}

2. 微正则系综

\begin{matrix} (4) & d S = \frac{1}{T} d E + \frac{P}{T} d V - \frac{μ}{T} d N . \end{matrix}

3. 正则系综

\begin{matrix} (5) & - k T \ln Q = F = E - S T . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & d F = - S d T - P d V + μ d N . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & E = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Q / . \end{matrix}

4. 巨正则系综

\begin{matrix} (8) & - P V = Φ = E - S T - μ N . \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & Φ = - k T \ln Ξ . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & d Φ = - P d V - S d T - N d μ . \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & ⟨ n_{i} ⟩ = \frac{\partial Φ}{\partial ε_{i}} . \end{matrix}

5. 理想气体

\begin{matrix} (12) & V_{n} = \frac{π^{n / 2} R^{n}}{Γ (1 + n / 2)} （ N 维球体） . \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & Ω_{0} = \frac{V^{N}}{N! h^{3}} \frac{(2 π m E)^{3 N / 2}}{(3 N / 2)!} （ N 粒子能级密度） . \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & a (ε) = \frac{2 π V (2 m)^{3 / 2}}{h^{3}} ε^{1 / 2} （单粒子能及密度） . \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & S = N k (\ln \frac{V}{N λ^{3}} + \frac{5}{2}) （熵） . \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & N = z Q_{1} \Rightarrow μ = k T \ln \frac{N λ^{3}}{V} （化学势） . \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & Ξ = \ln N （巨势） . \end{matrix}

6. 量子气体

\begin{matrix} (18) & N = Q_{1} g_{3 / 2} (z) = \frac{V}{λ^{3}} g_{3 / 2} (z) （ B E ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (19) & N = Q_{1} f_{3 / 2} (z) （ F D ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & \frac{P V}{k T} = Q_{1} g_{5 / 2} (z) = \frac{V}{λ^{3}} g_{5 / 2} (z) （ B E ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (21) & \frac{P V}{k T} = Q_{1} f_{5 / 2} (z) （ F D ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (22) & P V = N k T \frac{g_{5 / 2} (z)}{g_{3 / 2} (z)} （ B E ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (23) & P V = N k T \frac{f_{5 / 2} (z)}{f_{3 / 2} (z)} （ F D ） . \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & E = \frac{3}{2} P V （ B E 和 F D ） . \end{matrix}

理论上可以通过三式中的任意两式消去

z

，但是不能写成解析形式。

\begin{matrix} (25) & \begin{array}{r} g_{n} (z) = z + \frac{z^{2}}{2^{n}} + \frac{z^{3}}{3^{n}} \dots \\ f_{n} (z) = z - \frac{z^{2}}{2^{n}} + \frac{z^{3}}{3^{n}} \dots \end{array} \end{matrix}

7. $B E$ 凝聚态

\begin{matrix} (26) & N = \frac{V}{λ_{c}^{3}} g_{3 / 2} (1) \Rightarrow T_{c} = \frac{h^{2}}{2 π m k} {(\frac{N}{2.612 V})}^{2 / 3} . \end{matrix}

\begin{matrix} (27) & \frac{N_{e}}{N} = \frac{λ^{3}}{λ_{c}^{3}} \Rightarrow N_{e} = N {(\frac{T}{T_{c}})}^{3 / 2} \Rightarrow N_{0} = N [1 - {(\frac{T}{T_{c}})}^{3 / 2}] . \end{matrix}

\begin{matrix} (28) & N_{0} = \frac{1}{e^{(ε_{0} - μ) / k T} - 1} = \frac{k T}{ε_{0} - μ} . \end{matrix}

\begin{matrix} (29) & ε_{0} - μ ≪ ε_{1} - ε_{0} \Rightarrow ε_{0} - μ ≪ ε_{1} - μ . \end{matrix}

\begin{matrix} (30) & N_{1} = \frac{1}{e^{(ε_{1} - μ) / k T} - 1} < \frac{k T}{ε_{1} - μ} ≪ \frac{k T}{ε_{0} - μ} = N_{0} . \end{matrix}

8. 范德瓦尔斯方程

\begin{matrix} (31) & (P + \frac{a N^{2}}{V^{2}}) (V - b N) = N k T . \end{matrix}

9. 量子转子能级

　　角量子数 $l$ 决定能级

\begin{matrix} (32) & E_{l} = l (l + 1) \frac{ℏ^{2}}{2 I k T} . \end{matrix}

2 l + 1

重简并，其中

I = m_{1} m_{2} r_{12}^{2} / (m_{1} + m_{2})

为质心转动惯量。当

l

为偶数时，两粒子的波函数具有交换对称，奇数时反对称。两原子核的自旋共有

s^{2} = (2 I + 1)^{2}

种状态，其中对称态占

s (s + 1) / 2

种，反对称太占

s (s - 1) / 2

种。若两粒子都是费米子（

I

为半整数），则总波函数反对称，即

l

为单数核自旋对称，或

l

为偶数核自旋反对称。

10. 弹簧振子能级

\begin{matrix} (33) & E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) \end{matrix}

非简并。

　　为什么书上说 $m = 0$ （能级密度与 $ε^{m}$ 成正比）不能产生凝聚态，然而我在模拟中做到了？

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