统计力学公式

             

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1. 微分关系

\begin{equation} H = E + PV \end{equation}
\begin{equation} G = E + PV - ST \end{equation}
\begin{equation} \mu \,\mathrm{d}{N} + N \,\mathrm{d}{\mu} = \,\mathrm{d}{G} = V \,\mathrm{d}{P} - S \,\mathrm{d}{T} + \mu \,\mathrm{d}{N} \end{equation}

2. 微正则系综

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} = \frac1T \,\mathrm{d}{E} + \frac{P}{T} \,\mathrm{d}{V} - \frac{\mu }{T} \,\mathrm{d}{N} \end{equation}

3. 正则系宗

\begin{equation} - kT\ln Q = F = E - ST \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} = -S \,\mathrm{d}{T} - P \,\mathrm{d}{V} + \mu \,\mathrm{d}{N} \end{equation}
\begin{equation} E = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q \end{equation}

4. 巨正则系综

\begin{equation} - PV = \Phi = E - ST - \mu N \end{equation}
\begin{equation} \Phi = - kT\ln \Xi \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\Phi} = - P \,\mathrm{d}{V} - S \,\mathrm{d}{T} - N \,\mathrm{d}{\mu} \end{equation}
\begin{equation} \left\langle n_i \right\rangle = \frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_i} \end{equation}

5. 理想气体

\begin{equation} V_n = \frac{\pi^{n/2} R^n}{\Gamma(1 + n/2)} \qquad \text{($N$ 维球体)} \end{equation}
\begin{equation} \Omega_0 = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{(3N/2)!} \qquad \text{($N$ 粒子能级密度)} \end{equation}
\begin{equation} a(\varepsilon) = \frac{2\pi V{(2m)^{3/2}}}{h^3} \varepsilon^{1/2} \qquad \text{(单粒子能及密度)} \end{equation}
\begin{equation} S = Nk \left(\ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac52 \right) \qquad \text{(熵)} \end{equation}
\begin{equation} N = zQ_1 \Rightarrow \mu = kT\ln \frac{N\lambda^3}{V} \qquad \text{(化学势)} \end{equation}
\begin{equation} \Xi = \ln N \qquad \text{(巨势)} \end{equation}

6. 量子气体

\begin{equation} N = Q_1 g_{3/2} (z) = \frac{V}{\lambda^3} g_{3/2} (z) \qquad\text{($BE$)} \end{equation}
\begin{equation} N = Q_1 f_{3/2} (z) \qquad\text{($FD$)} \end{equation}
\begin{equation} \frac{PV}{kT} = Q_1 g_{5/2} (z) = \frac{V}{\lambda^3} g_{5/2} (z) \qquad\text{($BE$)} \end{equation}
\begin{equation} \frac{PV}{kT} = Q_1 f_{5/2} (z) \qquad\text{($FD$)} \end{equation}
\begin{equation} PV = NkT\frac{g_{5/2}(z)}{g_{3/2}(z)} \qquad\text{($BE$)} \end{equation}
\begin{equation} PV = NkT\frac{f_{5/2}(z)}{f_{3/2}(z)} \qquad\text{($FD$)} \end{equation}
\begin{equation} E = \frac32 PV \qquad\text{($BE$ 和 $FD$)} \end{equation}
理论上可以通过三式中的任意两式消去 $z$, 但是不能写成解析形式.
\begin{equation} \begin{aligned} g_n(z) = z + \frac{z^2}{2^n} + \frac{z^3}{3^n}\dots\\ f_n(z) = z - \frac{z^2}{2^n} + \frac{z^3}{3^n}\dots \end{aligned} \end{equation}

7. $BE$ 凝聚态

\begin{equation} N = \frac{V}{\lambda_c^3} g_{3/2} (1) \Rightarrow T_c = \frac{h^2}{2\pi mk} \left(\frac{N}{2.612V} \right) ^{2/3} \end{equation}
\begin{equation} \frac{N_e}{N} = \frac{\lambda^3}{\lambda_c^3} \Rightarrow N_e = N \left(\frac{T}{T_c} \right) ^{3/2} \Rightarrow {N_0} = N \left[1 - \left(\frac{T}{T_c} \right) ^{3/2} \right] \end{equation}
\begin{equation} N_0 = \frac{1}{ \mathrm{e} ^{(\varepsilon_0 - \mu )/kT} - 1} = \frac{kT}{\varepsilon_0 - \mu} \end{equation}
\begin{equation} \varepsilon_0 - \mu \ll \varepsilon_1 - \varepsilon_0 \Rightarrow \varepsilon_0 - \mu \ll \varepsilon_1 - \mu \end{equation}
\begin{equation} N_1 = \frac{1}{ \mathrm{e} ^{(\varepsilon_1 - \mu )/kT} - 1} < \frac{kT}{\varepsilon_1 - \mu} \ll \frac{kT}{\varepsilon_0 - \mu } = N_0 \end{equation}

8. 范德瓦尔斯方程

\begin{equation} \left(P + \frac{aN^2}{V^2} \right) (V - bN) = NkT \end{equation}

9. 量子转子能级

   角量子数 $l$ 决定能级

\begin{equation} E_l = l (l + 1)\frac{\hbar^2}{2IkT} \end{equation}
$2l+1$ 重简并,其中 $I = m_1 m_2 r_{12}^2/(m_1 + m_2)$ 为质心转动惯量.当 $l$ 为偶数时,两粒子的波函数具有交换对称,奇数时反对称.两原子核的自旋共有 $s^2 = (2I + 1)^2$ 种状态,其中对称态占 $s(s + 1)/2$ 种,反对称太占 $s(s - 1)/2$ 种.若两粒子都是费米子($I$ 为半整数),则总波函数反对称,即 $l$ 为单数核自旋对称,或 $l$ 为偶数核自旋反对称.

10. 弹簧振子能级

\begin{equation} E_n = \hbar \omega \left(n + \frac12 \right) \end{equation}
非简并.

   为什么书上说 $m = 0 $(能级密度与 $\varepsilon^m$ 成正比)不能产生凝聚态,然而我在模拟中做到了?

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