Baker-Hausdorff 公式

贡献者：零穹; addis; 叶月2_

预备知识 1　组合

添加量子力学的例子

　　¹Baker-Hausdorff 公式是一个相当有用的公式。在数学上，它可用于给出李群-李代数对应的深层结果的相对简单的证明；在量子力学中，它可实现系统哈密顿量在薛定谔绘景和海森堡绘景的转换，并在微扰论中也有诸多应用。本节将给出该公式的一个证明和由它导出的一些重要的结果。

　　 Baker-Hausdorff 公式是指

\begin{matrix} (1) & e^{A} B e^{- A} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{(n)} . \end{matrix}

其中，

\begin{matrix} (2) & A^{(n)} \equiv \underset{n 个}{\underset{⏟}{[A, [A, \dots, [A}}, B] \dots] = \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{n - m} C_{n}^{m} A^{m} B A^{n - m} . \end{matrix}

1. 证明

　　在证明 Baker-Hausdorff 公式式 1 之前，我们先证明式 2 。

　　 式 2 的证明：我们用数学归纳法来证明。 $A^{(0)}, A^{(1)}$ 显然成立：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} A^{(0)} & = B = \sum_{m = 0}^{0} (- 1)^{0 - m} C_{0}^{m} A^{m} B A^{0 - m}, \\ A^{(1)} = & [A, B] = A B - B A = \sum_{m = 0}^{1} (- 1)^{1 - m} C_{1}^{m} A^{m} B A^{1 - m} . \end{aligned} \end{matrix}

假设对

n = k - 1

时式 2 成立，则

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} A^{(k)} & = [A, A^{(k - 1)}] = A A_{k - 1} - A_{k - 1} A \\ = A \sum_{m = 0}^{k - 1} (- 1)^{k - 1 - m} C_{k - 1}^{m} A^{m} B A^{k - 1 - m} - (\sum_{m = 0}^{k - 1} (- 1)^{k - 1 - m} C_{k - 1}^{m} A^{m} B A^{k - 1 - m}) A \\ = \sum_{m = 0}^{k - 1} (- 1)^{k - 1 - m} C_{k - 1}^{m} A^{m + 1} B A^{k - 1 - m} - \sum_{m = 0}^{k - 1} (- 1)^{k - 1 - m} C_{k - 1}^{m} A^{m} B A^{k - m} \\ = A^{k} B + \sum_{m = 0}^{k - 2} (- 1)^{k - 1 - m} (C_{k - 1}^{m} + C_{k - 1}^{m + 1}) A^{m + 1} B A^{k - 1 - m} - (- 1)^{k - 1} B A^{k} \\ = A^{k} B + \sum_{m = 0}^{k - 2} (- 1)^{k - 1 - m} C_{k}^{m + 1} A^{m + 1} B A^{k - 1 - m} - (- 1)^{k - 1} B A^{k} \\ = A^{k} B + \sum_{m = 1}^{k - 1} (- 1)^{k - m} C_{k}^{m} A^{m} B A^{k - m} + (- 1)^{k} B A^{k} \\ = \sum_{m = 0}^{k} (- 1)^{k - m} C_{k}^{m} A^{m} B A^{k - m} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由数学归纳法原理，式 2 得证。上面证明中 $C_{n}^{m}$ 为组合数。

　　现在，我们将用两种方法证明 Baker-Hausdorff 公式。

纯数学证明

　　²先来证明下面得引理。

引理 1　

\begin{matrix} (5) & A^{n} B = \sum_{m = 0}^{n} C_{n}^{m} A^{(m)} A^{n - m} . \end{matrix}

　　 证明：这里同样用数学归纳法来证明。当 $n = 1$ 时，式 5 显然成立：

\begin{matrix} (6) & A B = B A + [A, B] . \end{matrix}

假设

n = k - 1

时式 5 成立，则

\begin{matrix} (7) & \begin{array}{r} A^{k} B = A \sum_{m = 0}^{k - 1} C_{k - 1}^{m} A^{(m)} A^{k - 1 - m} = \sum_{m = 0}^{k - 1} C_{k - 1}^{m} A A^{(m)} A^{k - 1 - m} . \end{array} \end{matrix}

　　因为

\begin{matrix} (8) & A^{(m + 1)} = [A, A^{(m)}] \Rightarrow A A^{(m)} = A^{(m)} A + A^{(m + 1)}, \end{matrix}

所以式 7 可改写为

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} A^{k} B & = \sum_{m = 0}^{k - 1} C_{k - 1}^{m} A^{(m)} A^{k - m} + \sum_{m = 0}^{k - 1} C_{k - 1}^{m} A^{(m + 1)} A^{k - 1 - m} \\ = A^{(0)} A^{k} + \sum_{m = 1}^{k - 1} [C_{k - 1}^{m} + C_{k - 1}^{m - 1}] A^{(m)} A^{k - m} + A^{(k)} \\ = A^{(0)} A^{k} + \sum_{m = 1}^{k - 1} C_{k}^{m} A^{(m)} A^{k - m} + A^{(k)} \\ = \sum_{m = 0}^{k} C_{k}^{m} A^{(m)} A^{k - m} . \end{aligned} \end{matrix}

由数学归纳法原理，证得引理 1

　　现在，Baker-Hausdorff 公式就呼之欲出了！

　　 Baker-Hausdorff 公式的证明： 由引理 1

\begin{matrix} (10) & e^{A} B = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^{n} B}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} A^{(i)} A^{n - i} . \end{matrix}

　　将上式求和符号交换顺序，注意指标要求满足 $i \leq n$ ，可将式 10 改写为

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} e^{A} B & = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{n = i}^{\infty} \frac{1}{n!} C_{n}^{i} A^{(i)} A^{n - i} \\ = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} A^{(i)} \sum_{n = i}^{\infty} \frac{1}{(n - i)!} A^{n - i} \\ = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} A^{(i)} e^{A} . \end{aligned} \end{matrix}

式 11 两边作用于

e^{- A}

，证得式 1

较物理的证明

　　³现在，我们给出一种量子力学语言的证明方式。选择 $A$ 表象为工作空间，其基右矢集合为 ${| a_{n} ⟩}$ ，且 $A | a_{n} ⟩ = a_{n} | a_{n} ⟩$ 。为方便起见，仅考虑离散态的情况。完备性条件为

\begin{matrix} (12) & \sum_{n} | a_{n} ⟩ ⟨ a_{n} | = 1 . \end{matrix}

由式 2 ，关于

A

算符的矩阵表达式为：

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} A^{(n)} & = \sum_{i, j, k, l} \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{n - m} C_{n}^{m} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{i} | A^{m} | a_{k} ⟩ ⟨ a_{k} | B | a_{l} ⟩ ⟨ a_{l} | A^{n - m} | a_{j} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{i, j} \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{n - m} C_{n}^{m} {a_{i}}^{m} {a_{j}}^{n - m} ⟨ a_{i} | B | a_{j} ⟩ | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{i, j} \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{n - m} C_{n}^{m} {a_{i}}^{m} {a_{j}}^{n - m} B_{j}^{i} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{i, j} (a_{i} - a_{j})^{n} B_{j}^{i} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | . \end{aligned} \end{matrix}

e^{A} B e^{- A}

的矩阵表达式为

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} e^{A} B e^{- A} & = \sum_{i, j, k, l} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{i} | e^{A} | a_{k} ⟩ ⟨ a_{k} | B | a_{l} ⟩ ⟨ a_{l} | e^{- A} | a_{j} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{i, j} e^{a_{i} - a_{j}} B_{j}^{i} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{i, j} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (a_{i} - a_{j})^{n} B_{j}^{i} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{i, j} (a_{i} - a_{j})^{n} B_{j}^{i} | a_{i} ⟩ ⟨ a_{j} | . \end{aligned} \end{matrix}

对比式 13 和式 14 ，得

\begin{matrix} (15) & e^{A} B e^{- A} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^{(n)}, \end{matrix}

Baker-Hausdorff 公式式 1 得证。

2. Baker-Campbell-Hausdorff 公式

预备知识 2　矩阵指数

　　 Baker-Campbell-Hausdorff 公式是下列方程关于 $Z$ 的解

\begin{matrix} (16) & e^{A} e^{B} = e^{Z}, \end{matrix}

我们将用 Baker-Hausdorff 公式导出 Baker-Campbell-Hausdorff 公式的一些性质。

　　如果算子 $A$ 与 $B$ 不对易，算子函数 $e^{A + B}$ 不能简单地分解为 $e^{A}$ 和 $e^{B}$ 乘积。只能引入另一个算子 $K (τ)$ 和 $K^{'} (τ)$ （ $A, B$ 与 $τ$ 无关），写成

\begin{matrix} (17) & e^{τ (A + B)} = e^{τ B} K (τ) e^{τ A} = e^{τ A} K^{'} (τ) e^{τ B}, \end{matrix}

式 17 中交换

A, B

。可由

K

导出

K^{'}

，故只需讨论

K (τ)

。下面我们来求

K (τ)

的具体形式。

　　式 17 对 $τ$ 微分，并利用式 5 ，可得关于算子 $K$ 的微分方程：

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} e^{τ (A + B)} A + e^{τ B} K (τ) e^{τ A} B & = B e^{τ B} K (τ) e^{τ A} + e^{τ B} \frac{\partial K}{\partial τ} e^{τ A} + e^{τ (A + B)} A, \\ ⇓ \\ \frac{\partial}{\partial τ} K & = K e^{τ A} B e^{- τ A} - B K . \end{aligned} \end{matrix}

　　将式 1 代入式 18 ：

\begin{matrix} (19) & \frac{\partial}{\partial τ} K = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{τ^{n}}{n!} K A^{(n)} - B K . \end{matrix}

由式 17 ，其初值条件为：

\begin{matrix} (20) & K (0) = 1, \end{matrix}

式 19 的具体求解依赖于

A, B

的性质。

例 1　

　　已知 $A^{(1)} = [A, B]$ 是个数， $A^{(n)} = 0 (n \geq 2)$ 。求 $e^{τ (A + B)}$

　　由式 19 ：

\begin{matrix} (21) & \frac{\partial}{\partial τ} K = K B + K τ [A, B] - B K . \end{matrix}

要求

K (τ)

是个数，则上式变为：

\begin{matrix} (22) & \frac{\partial}{\partial τ} K = K τ [A, B] . \end{matrix}

解得：

\begin{matrix} (23) & K = e^{\frac{1}{2} [A, B] τ^{2}}, \end{matrix}

将

K

中

A, B

交换，得到

\begin{matrix} (24) & K^{'} = e^{\frac{1}{2} [B, A] τ^{2}} . \end{matrix}

　　故

\begin{matrix} (25) & e^{τ (A + B)} = e^{τ B} e^{τ A} e^{\frac{1}{2} [A, B] τ^{2}} = e^{\frac{1}{2} [B, A] τ^{2}} e^{τ A} e^{τ B}, \end{matrix}

式 25 还可写为

\begin{matrix} (26) & \begin{aligned} e^{2 τ A + 2 τ B} & = e^{τ (A + B + A + B)} = e^{τ (A + B)} e^{τ (A + B)} e^{\frac{1}{2} [τ (A + B), τ (A + B)] τ^{2}} \\ = e^{τ (A + B)} e^{τ (A + B)} \\ e^{2 τ A + 2 τ B} & = e^{τ (A + B)} e^{τ (A + B)} \\ = e^{τ B} e^{τ A} e^{\frac{1}{2} [A, B] τ^{2}} e^{\frac{1}{2} [B, A] τ^{2}} e^{τ A} e^{τ B} \\ = e^{τ B} e^{2 τ A} e^{τ B} . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 参考樱井量子力学 [1]。
2. ^ 郝柏林。统计微扰论的生成泛函.1978 年统计物理讨论会综述报告
3. ^ 何勇。用算符矩阵表示方法简洁推导 Baker-Hausdorff 公式[J].大学物理，2015,34(1):30-31

[1] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition

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