Baker-Hausdorff 公式

             

贡献者: 零穹; addis

预备知识 组合
  • 添加量子力学的例子

  1Baker-Hausdorff 公式是一个相当有用的公式.在数学上,它可用于给出李群-李代数对应的深层结果的相对简单的证明;在量子力学中,它可实现系统哈密顿量在薛定谔绘景和海森堡绘景的转换,并在微扰论中也有诸多应用.本节将给出该公式的一个证明和由它导出的一些重要的结果.

   Baker-Hausdorff 公式是指

\begin{equation} \mathrm{e} ^{A}B \mathrm{e} ^{-A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^{(n)} \end{equation}
其中,
\begin{equation} A^{(n)}\equiv\underbrace{[A,[A,\cdots,[A}_{n\text{个}},B]\cdots] =\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n-m}C_{n}^{m}A^mBA^{n-m} \end{equation}

1. 证明

   在证明 Baker-Hausdorff 公式式 1 之前,我们先证明式 2

   式 2 的证明:我们用数学归纳法来证明. $A^{(0)},A^{(1)}$ 显然成立:

\begin{equation} \begin{aligned} A^{(0)}&=B=\sum_{m=0}^{0}(-1)^{0-m}C_{0}^{m}A^mBA^{0-m}\\ A^{(1)}=&[A,B]=AB-BA=\sum_{m=0}^{1}(-1)^{1-m}C_{1}^{m}A^mBA^{1-m} \end{aligned} \end{equation}

   假设对 $n=k-1$ 时式 2 成立,则

\begin{equation} \begin{aligned} A^{(k)}&=[A,A^{(k-1)}]=AA_{k-1}-A_{k-1}A\\ &=A\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{k-1-m}C_{k-1}^{m}A^mBA^{k-1-m}- \left(\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{k-1-m}C_{k-1}^{m}A^mBA^{k-1-m} \right) A\\ &=\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{k-1-m}C_{k-1}^{m}A^{m+1}BA^{k-1-m}-\sum_{m=0}^{k-1}(-1)^{k-1-m}C_{k-1}^{m}A^mBA^{k-m}\\ &=A^{k}B+\sum_{m=0}^{k-2}(-1)^{k-1-m} \left(C_{k-1}^{m}+C_{k-1}^{m+1} \right) A^{m+1}BA^{k-1-m}-(-1)^{k-1}BA^k\\ &=A^{k}B+\sum_{m=0}^{k-2}(-1)^{k-1-m}C_{k}^{m+1}A^{m+1}BA^{k-1-m}-(-1)^{k-1}BA^k\\ &=A^{k}B+\sum_{m=1}^{k-1}(-1)^{k-m}C_{k}^{m}A^{m}BA^{k-m}+(-1)^{k}BA^k\\ &=\sum_{m=0}^{k}(-1)^{k-m}C_{k}^{m}A^{m}BA^{k-m} \end{aligned} \end{equation}

   由数学归纳法原理,式 2 得证.上面证明中 $C_n^m$ 为组合数

   现在,我们将用两种方法证明 Baker-Hausdorff 公式.

纯数学证明

  2先来证明下面得引理.

引理 1 

  

\begin{equation} A^nB=\sum_{m=0}^{n}C_{n}^mA^{(m)}A^{n-m} \end{equation}

   证明:这里同样用数学归纳法来证明.当 $n=1$ 时,式 5 显然成立:

\begin{equation} AB=BA+[A,B] \end{equation}
假设 $n=k-1$ 时式 5 成立,则
\begin{equation} \begin{aligned} A^{k}B=A\sum_{m=0}^{k-1}C_{k-1}^mA^{(m)}A^{k-1-m}=\sum_{m=0}^{k-1}C_{k-1}^mAA^{(m)}A^{k-1-m} \end{aligned} \end{equation}

   因为

\begin{equation} A^{(m+1)}=[A,A^{(m)}]\Rightarrow AA^{(m)}=A^{(m)}A+A^{(m+1)} \end{equation}
所以式 7 可改写为
\begin{equation} \begin{aligned} A^k B&=\sum_{m=0}^{k-1}C_{k-1}^mA^{(m)}A^{k-m}+\sum_{m=0}^{k-1}C_{k-1}^mA^{(m+1)}A^{k-1-m}\\ &=A^{(0)}A^{k}+\sum_{m=1}^{k-1} \left[C_{k-1}^m+C_{k-1}^{m-1} \right] A^{(m)}A^{k-m}+A^{(k)}\\ &=A^{(0)}A^{k}+\sum_{m=1}^{k-1}C_{k}^mA^{(m)}A^{k-m}+A^{(k)}\\ &=\sum_{m=0}^{k}C_{k}^mA^{(m)}A^{k-m} \end{aligned} \end{equation}
由数学归纳法原理,证得引理 1

   现在,Baker-Hausdorff 公式就呼之欲出了!

   Baker-Hausdorff 公式的证明:引理 1

\begin{equation} \mathrm{e} ^A B=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^nB}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{i=0}^{n}C_{n}^iA^{(i)}A^{n-i} \end{equation}

   将上式求和符号交换顺序,注意指标要求满足 $i\leq n$,可将式 10 改写为

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^A B&=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{1}{n!}C_{n}^iA^{(i)}A^{n-i}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}A^{(i)}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{1}{(n-i)!}A^{n-i}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}A^{(i)} \mathrm{e} ^A \end{aligned} \end{equation}
式 11 两边作用于 $ \mathrm{e} ^{-A}$,证得式 1

较物理的证明

  3现在,我们给出一种量子力学语言的证明方式.选择 $A$ 表象为工作空间,其基右矢集合为 $ \left\{ \left\lvert a_n \right\rangle \right\} $,且 $A \left\lvert a_n \right\rangle =a_n \left\lvert a_n \right\rangle $.为方便起见,仅考虑离散态的情况.完备性条件为

\begin{equation} \sum_{n} \left\lvert a_n \right\rangle \left\langle a_n \right\rvert =1 \end{equation}
式 2 ,关于 $A$ 算符的矩阵表达式为:
\begin{equation} \begin{aligned} A^{(n)}&=\sum_{i,j,k,l}\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n-m}C_{n}^{m}\ketbra{a_i}{a_i}A^m\ketbra{a_k}{a_k}B\ketbra{a_l}{a_l}A^{n-m}\ketbra{a_j}{a_j}\\ &=\sum_{i,j}\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n-m}C_n^m{a_i}^m{a_j}^{n-m} \left\langle a_i \right\rvert B \left\lvert a_j \right\rangle \ketbra{a_i}{a_j}\\ &=\sum_{i,j}\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n-m}C_n^m{a_i}^m{a_j}^{n-m}B^i_{\; j}\ketbra{a_i}{a_j}\\ &=\sum_{i,j}(a_i-a_j)^nB^i_{\; j}\ketbra{a_i}{a_j} \end{aligned} \end{equation}
$ \mathrm{e} ^{A}B \mathrm{e} ^{-A}$ 的矩阵表达式为
\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^{A}B \mathrm{e} ^{-A}&=\sum_{i,j,k,l}\ketbra{a_i}{a_i} \mathrm{e} ^{A}\ketbra{a_k}{a_k}B\ketbra{a_l}{a_l} \mathrm{e} ^{-A}\ketbra{a_j}{a_j}\\ &=\sum_{i,j} \mathrm{e} ^{a_i-a_j}B^{i}_{\;j}\ketbra{a_i}{a_j}\\ &=\sum_{i,j}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(a_i-a_j)^nB^{i}_{\;j}\ketbra{a_i}{a_j}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{i,j}(a_i-a_j)^nB^{i}_{\;j}\ketbra{a_i}{a_j} \end{aligned} \end{equation}
对比式 13 式 14 ,得
\begin{equation} \mathrm{e} ^{A}B \mathrm{e} ^{-A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^{(n)} \end{equation}
Baker-Hausdorff 公式式 1 得证.

2. Baker-Campbell-Hausdorff 公式

预备知识 矩阵指数

   Baker-Campbell-Hausdorff 公式是下列方程关于 $Z$ 的解

\begin{equation} \mathrm{e} ^{A} \mathrm{e} ^{B}= \mathrm{e} ^{Z} \end{equation}
我们将用 Baker-Hausdorff 公式导出 Baker-Campbell-Hausdorff 公式的一些性质.

   如果算子 $A$ 与 $B$ 不对易,算子函数 $ \mathrm{e} ^{A+B}$ 不能简单地分解为 $ \mathrm{e} ^{A}$ 和 $ \mathrm{e} ^{B}$ 乘积.只能引入另一个算子 $K(\tau)$ 和 $K'(\tau)$($A,B$ 与 $\tau$ 无关),写成

\begin{equation} \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}= \mathrm{e} ^{\tau B}K(\tau) \mathrm{e} ^{\tau A}= \mathrm{e} ^{\tau A}K'(\tau) \mathrm{e} ^{\tau B} \end{equation}
式 17 中交换 $A,B$.可由 $K$ 导出 $K'$,故只需讨论 $K(\tau)$.下面我们来求 $K(\tau)$ 的具体形式.

   式 17 对 $\tau$ 微分,并利用式 5 ,可得关于算子 $K$ 的微分方程:

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}A+ \mathrm{e} ^{\tau B}K(\tau) \mathrm{e} ^{\tau A}B&=B \mathrm{e} ^{\tau B}K(\tau) \mathrm{e} ^{\tau A}+ \mathrm{e} ^{\tau B} \frac{\partial K}{\partial \tau} \mathrm{e} ^{\tau A}+ \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}A\\ &\Downarrow\\ \frac{\partial }{\partial \tau} K&=K \mathrm{e} ^{\tau A}B \mathrm{e} ^{-\tau A}-BK \end{aligned} \end{equation}

   将式 1 带入式 18

\begin{equation} \frac{\partial }{\partial \tau} K=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\tau^n}{n!}KA^{(n)}-BK \end{equation}
式 17 ,其初值条件为:
\begin{equation} K(0)=1 \end{equation}
式 19 的具体求解依赖于 $A,B$ 的性质.

例 1 

   已知 $A^{(1)}=[A,B]$ 是个数,$A^{(n)}=0(n\geq 2)$.求 $ \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}$

   由式 19

\begin{equation} \frac{\partial }{\partial \tau} K=KB+K\tau[A,B]-BK \end{equation}
要求 $K(\tau)$ 是个数,则上式变为:
\begin{equation} \frac{\partial }{\partial \tau} K=K\tau[A,B] \end{equation}
解得:
\begin{equation} K= \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[A,B]\tau^2} \end{equation}
将 $K$ 中 $A,B$ 交换,得到
\begin{equation} K'= \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[B,A]\tau^2} \end{equation}

   故

\begin{equation} \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}= \mathrm{e} ^{\tau B} \mathrm{e} ^{\tau A} \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[A,B]\tau^2}= \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[B,A]\tau^2} \mathrm{e} ^{\tau A} \mathrm{e} ^{\tau B} \end{equation}
式 25 还可写为
\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^{2\tau A+2\tau B}&= \mathrm{e} ^{\tau(A+B+A+B)}= \mathrm{e} ^{\tau (A+B)} \mathrm{e} ^{\tau (A+B)} \mathrm{e} ^{\frac{1}{2} \left[\tau(A+B),\tau(A+B) \right] \tau^2}\\ &= \mathrm{e} ^{\tau(A+B)} \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}\\ \mathrm{e} ^{2\tau A+2\tau B}&= \mathrm{e} ^{\tau(A+B)} \mathrm{e} ^{\tau(A+B)}\\ &= \mathrm{e} ^{\tau B} \mathrm{e} ^{\tau A} \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[A,B]\tau^2} \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}[B,A]\tau^2} \mathrm{e} ^{\tau A} \mathrm{e} ^{\tau B}\\ &= \mathrm{e} ^{\tau B} \mathrm{e} ^{2\tau A} \mathrm{e} ^{\tau B} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 参考樱井量子力学 [21]
2. ^ 郝柏林.统计微扰论的生成泛函.1978 年统计物理讨论会综述报告
3. ^ 何勇.用算符矩阵表示方法简洁推导 Baker-Hausdorff 公式[J].大学物理,2015,34(1):30-31


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