超导唯象解释——伦敦方程

             

预备知识 麦克斯韦方程,库伦规范

   本文为唯象论,不涉及超导本质.考虑超导本质需用量子的角度去解释即 BCS 理论.

1. 伦敦第一方程

   假定超导体中有两种载流电子——正常传到电子与超导电子,对于超导电子有

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\alpha \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s$ 代表超导体中的超导电流密度,$\alpha=n\dfrac {n_se^2}m$,该方程理解,在超导电子运动速度远小于光速 $c$ 的情况下,磁力对超导电子的影响忽略,此时由 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 写在电场中的形式 $m \frac{\partial v}{\partial t} =-e \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 推出. 实验证明与超导体的相关性质吻合.为第二方程引出给出先决条件 $E=0$,否则电子速度会不断上升.

2. 伦敦第二方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
式 1 取旋度加之 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} E= \frac{\partial B}{\partial t} $ 推得.

3. 伦敦规范

   在库伦规范的前提下,矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不唯一,为了使矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 唯一确定,而在超导体表面 $S$ 上引入限定 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的法向分量为 $0$,即

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{e}} _n \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} |_s=0 \end{equation}

4. 伦敦方程解释超导现象

定理 1 迈斯纳效应

   当材料处于超导态时,随着进入导体内部深度的增加,磁场迅速衰减,磁场主要存在于导体表面一定厚度的薄层内.

   恒定情形时(正常电子所导致的电流为零,超导电流与深度有关.)对于超导体内的磁场和电流满足的麦克斯韦—伦敦方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} =0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
式 6 取旋度,按照矢量乘积展开,同时代入式 5 式 2
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} =\dfrac{1}{\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
其中 $\lambda_L= 1/\sqrt{\mu_0\alpha}=\sqrt{\dfrac m {\mu_0n_se^2}}$,由此可以看出磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 随着位置变化迅速变化.方程解亦可能形式为磁场随着位置变化迅速上升或下降,但当考虑现实情况迈斯纳效应时,可以确定真解.

   求解超导电流,通过对式 2 取旋度,及式 6 式 5 的代入得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\dfrac 1 {\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s \end{equation}
式 9 相同形式,故而可以得到相同的结果,即超导电流分布在超导体表面.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利