超导唯象解释——伦敦方程

                     

贡献者: 水铭; addis; jiangnan

预备知识 麦克斯韦方程,库仑规范

   本文为唯象论,不涉及超导本质。考虑超导本质需用量子的角度去解释即 BCS 理论。

1. 伦敦第一方程

   假定超导体中有两种载流电子——正常传到电子与超导电子,对于超导电子有

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\alpha \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s$ 代表超导体中的超导电流密度,$\alpha=n\dfrac {n_se^2}m$,该方程理解,在超导电子运动速度远小于光速 $c$ 的情况下,磁力对超导电子的影响忽略,此时由 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 写在电场中的形式 $m \frac{\partial v}{\partial t} =-e \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 推出。 实验证明与超导体的相关性质吻合。为第二方程引出给出先决条件 $E=0$,否则电子速度会不断上升。

2. 伦敦第二方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}
式 1 取旋度加之 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} E= \frac{\partial B}{\partial t} $ 推得。如果直接取旋度会得到
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s = -\alpha \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}
注意到这个方程存在一支解为 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s = 0$, $B(r,t) = B(r)$。即超导体中应该存在一种不随时间变化的磁场,但这种磁场被证实不存在,因此式 2 作为描述超导体的基本方程。

3. 伦敦规范

   在库仑规范的前提下,矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不唯一,为了使矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 唯一确定,而在超导体表面 $S$ 上引入限定 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的法向分量为 $0$,即

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{e}} _n \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} |_s=0~. \end{equation}

4. 伦敦方程解释超导现象

定理 1 迈斯纳效应

   当材料处于超导态时,随着进入导体内部深度的增加,磁场迅速衰减,磁场主要存在于导体表面一定厚度的薄层内。

   恒定情形时(正常电子所导致的电流为零,超导电流与深度有关。)对于超导体内的磁场和电流满足的麦克斯韦—伦敦方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=0~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}
式 7 取旋度,按照矢量乘积展开,同时代入式 6 式 2
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} =\dfrac{1}{\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}
其中 $\lambda_L= 1/\sqrt{\mu_0\alpha}=\sqrt{\dfrac m {\mu_0n_se^2}}$,由此可以看出磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 随着位置变化迅速变化。方程解亦可能形式为磁场随着位置变化迅速上升或下降,但当考虑现实情况迈斯纳效应时,可以确定真解。

   求解超导电流,通过对式 2 取旋度,及式 7 式 6 的代入得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\dfrac 1 {\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~. \end{equation}
式 10 相同形式,故而可以得到相同的结果,即超导电流分布在超导体表面。

5. 历史背景

   在 1935 年,Firtz 和 Heinz London 注意到超导体不满足 Ohm 定律(稳恒态时电流与电场成正比),所以他们自然地假定电子的加速度与电场成正比。再结合麦克斯韦方程组,会计算得到导体内磁场会被分为两部分,一部分是冻结的磁场,这部分磁场大小与进入超导态前的磁场相关,另一部分是指数衰减的磁场,也即现在我们看到的 Meissner 对应的磁场。由于 Meissner 从实验上给出了冻结磁场的反证,因此他们决定从 London 方程出发,而不是电子加速度与电场关系出发,作为描述超导体方程的出发点。1


1. ^ 《20 世纪物理学》第二卷,A.J.Legget,p251


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