贡献者： 水铭; addis; jiangnan
本文为唯象论，不涉及超导本质。考虑超导本质需用量子的角度去解释即 BCS 理论。
1. 伦敦第一方程
假定超导体中有两种载流电子——正常传到电子与超导电子，对于超导电子有
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\alpha \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s$ 代表超导体中的超导电流密度，$\alpha=n\dfrac {n_se^2}m$，该方程理解，在超导电子运动速度远小于光速 $c$ 的情况下，磁力对超导电子的影响忽略，此时由 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 写在电场中的形式 $m \frac{\partial v}{\partial t} =-e \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 推出。
实验证明与超导体的相关性质吻合。为第二方程引出给出先决条件 $E=0$,否则电子速度会不断上升。
2. 伦敦第二方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
由
式 1 取旋度加之 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} E= \frac{\partial B}{\partial t} $ 推得。如果直接取旋度会得到
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s = -\alpha \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
注意到这个方程存在一支解为 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s = 0$, $B(r,t) = B(r)$。即超导体中应该存在一种不随时间变化的磁场，但这种磁场被证实不存在，因此
式 2 作为描述超导体的基本方程。
3. 伦敦规范
在库仑规范的前提下，矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不唯一，为了使矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 唯一确定，而在超导体表面 $S$ 上引入限定 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的法向分量为 $0$,即
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{e}} _n \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} |_s=0~.
\end{equation}
4. 伦敦方程解释超导现象
定理 1 迈斯纳效应
当材料处于超导态时，随着进入导体内部深度的增加，磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表面一定厚度的薄层内。
恒定情形时（正常电子所导致的电流为零，超导电流与深度有关。）对于超导体内的磁场和电流满足的麦克斯韦—伦敦方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
将
式 7 取旋度，按照矢量乘积展开，同时代入
式 6 与
式 2 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} =\dfrac{1}{\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
其中 $\lambda_L= 1/\sqrt{\mu_0\alpha}=\sqrt{\dfrac m {\mu_0n_se^2}}$，由此可以看出磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 随着位置变化迅速变化。方程解亦可能形式为磁场随着位置变化迅速上升或下降，但当考虑现实情况迈斯纳效应时，可以确定真解。
求解超导电流，通过对式 2 取旋度，及式 7 和式 6 的代入得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\dfrac 1 {\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~.
\end{equation}
同
式 10 相同形式，故而可以得到相同的结果，即超导电流分布在超导体表面。
5. 历史背景
在 1935 年，Firtz 和 Heinz London 注意到超导体不满足 Ohm 定律（稳恒态时电流与电场成正比），所以他们自然地假定电子的加速度与电场成正比。再结合麦克斯韦方程组，会计算得到导体内磁场会被分为两部分，一部分是冻结的磁场，这部分磁场大小与进入超导态前的磁场相关，另一部分是指数衰减的磁场，也即现在我们看到的 Meissner 对应的磁场。由于 Meissner 从实验上给出了冻结磁场的反证，因此他们决定从 London 方程出发，而不是电子加速度与电场关系出发，作为描述超导体方程的出发点。1
1. ^ 《20 世纪物理学》第二卷，A.J.Legget,p251
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