超导唯象解释——伦敦方程

贡献者：水铭; addis

预备知识　麦克斯韦方程，库仑规范

　　本文为唯象论，不涉及超导本质。考虑超导本质需用量子的角度去解释即 BCS 理论。

1. 伦敦第一方程

　　假定超导体中有两种载流电子——正常传到电子与超导电子，对于超导电子有

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{t}} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\alpha \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _s$ 代表超导体中的超导电流密度，$\alpha=n\dfrac {n_se^2}m$，该方程理解，在超导电子运动速度远小于光速 $c$ 的情况下，磁力对超导电子的影响忽略，此时由 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 写在电场中的形式 $m \frac{\partial v}{\partial t} =-e \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 推出。实验证明与超导体的相关性质吻合。为第二方程引出给出先决条件 $E=0$,否则电子速度会不断上升。

2. 伦敦第二方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}

由式 1 取旋度加之 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} E= \frac{\partial B}{\partial t} $ 推得。

3. 伦敦规范

　　在库仑规范的前提下，矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 并不唯一，为了使矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 唯一确定，而在超导体表面 $S$ 上引入限定 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的法向分量为 $0$,即

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{e}} _n \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} |_s=0~. \end{equation}

4. 伦敦方程解释超导现象

定理 1　迈斯纳效应

　　当材料处于超导态时，随着进入导体内部深度的增加，磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表面一定厚度的薄层内。

　　恒定情形时（正常电子所导致的电流为零，超导电流与深度有关。）对于超导体内的磁场和电流满足的麦克斯韦—伦敦方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=0~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=-\alpha \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}

将式 6 取旋度，按照矢量乘积展开，同时代入式 5 与式 2 得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} =\dfrac{1}{\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}

其中 $\lambda_L= 1/\sqrt{\mu_0\alpha}=\sqrt{\dfrac m {\mu_0n_se^2}}$，由此可以看出磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 随着位置变化迅速变化。方程解亦可能形式为磁场随着位置变化迅速上升或下降，但当考虑现实情况迈斯纳效应时，可以确定真解。

　　求解超导电流，通过对式 2 取旋度，及式 6 和式 5 的代入得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{J}} _s=\dfrac 1 {\lambda_L^2} \boldsymbol{\mathbf{J}} _s~. \end{equation}

同式 9 相同形式，故而可以得到相同的结果，即超导电流分布在超导体表面。