矩阵指数

                     

贡献者： JierPeter

1. 定义

　　 实数域上的指数函数 ${\mathrm{e}}^x$ 可以进行 Maclaurin 展开：

　　 展开式使得我们只需要用 $x$ 的幂就可以表示指数 ${\mathrm{e}}^x$。我们把这一点应用到矩阵中，就可以用方阵的幂来定义出矩阵的指数：

　　 矩阵指数在常微分方程中非常常用，是用来解线性齐次方程组的利器。一个矩阵的指数本身还是一个矩阵。

2. 矩阵指数的性质

相似变换的统一

　　 由过渡矩阵可知，如果矩阵 $\mathbf{M}$ 在某基下表示一个线性变换，那么当基按过渡矩阵 $\mathbf{Q}$ 改变时，同一个线性变换的矩阵表示就变为 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{M}\mathbf{Q}$。在原基下，${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}$ 可以表示另一个线性变换，而它在 $\mathbf{Q}$ 下的变换是

　　 也就是说，${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}$ 所表示的变换，在基变换的时候，其矩阵表示的变换相当于给 $\mathbf{M}$ 变换后再取矩阵指数。这意味着我们也可以定义线性变换的指数——也可以反过来说，这是因为我们可以定义线性变换的指数，方式也是使用 Maclaulin 级数。

　　 事实上，如果 ${\mathcal{T}}_i$ 表示若干线性变换，我们可以用映射的复合来定义线性变换的乘法：那么对于任意向量 $\mathbf{v}$，${\mathcal{T}}_i^n(\mathbf{v})={\mathcal{T}}_i({\mathcal{T}}_i^{n-1}(\mathbf{v}))$，其中 ${\mathcal{T}}_i^1={\mathcal{T}}_i$。类似地，也可以定义线性变换的加法：$({\mathcal{T}}_1+{\mathcal{T}}_2)(\mathbf{v})={\mathcal{T}}_1(\mathbf{v})+{\mathcal{T}}_2(\mathbf{v})$。这样，有了乘法和加法，就可以计算线性变换的级数了，而 Maclaulin 级数就可以定义为其指数：

其中 ${\mathcal{T}}^0$ 是恒等变换，对应单位矩阵。

　　 式 3 意味着，如果 $\mathbf{M}$ 是 $\mathcal{T}$ 在某基下的矩阵表示，那么 ${\mathrm{e}}^{\mathcal{T}}$ 在该基下的矩阵表示就是 ${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}$。

运算性质

　　 设 $\mathbf{M},\mathbf{N}\in \mathrm{gl}(n,\mathbb{F})$，$a,b\in \mathbb{F}$，则容易得出以下性质：

　　 如果 $\mathbf{MN}=\mathbf{NM}$，那么我们有 ${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}{\mathrm{e}}^{\mathbf{N}}={\mathrm{e}}^{\mathbf{M}+\mathbf{N}}$。

　　 ${\mathrm{e}}^{({\mathbf{M}}^{\mathrm{T}})}=({\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathrm{e}}^{({\mathbf{M}}^{†})}=({\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}{)}^{†}$。

　　 证明：

　　 我们只需要考虑上三角矩阵 $\mathbf{M}$ 的情况即可，因为任何矩阵总可以通过相似变换变成上三角矩阵。此时，$\mathbf{M}$ 的迹就是主对角元素之和，而 ${\mathbf{M}}^k$ 的第 $i$ 个主对角元素都是 $\mathbf{M}$ 的第 $i$ 个主对角元素的 $k$ 次方。

　　 如果只看主对角元素，那么可以记 $\mathbf{M}$ 为 $(m_1,m_2,\cdots ,m_n)$，其中各 $m_i$ 是 $\mathbf{M}$ 的第 $i$ 个元素。类似地，${\mathbf{M}}^k$ 就可以记为 $(m_1^k,m_2^k,\cdots ,m_n^k)$。代入矩阵指数的定义式，可得 ${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}$ 的对角线元素为 $({\mathrm{e}}_1^m,{\mathrm{e}}_2^m,\cdots ,{\mathrm{e}}_n^m)$。

　　 由于上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵，可知 ${\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}$ 是上三角矩阵，因此 $\left|{\mathrm{e}}^{\mathbf{M}}\right|={\mathrm{e}}_1^m\times {\mathrm{e}}_2^m\times \cdots \times {\mathrm{e}}_n^m={\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}_1^m+{\mathrm{e}}_2^m+\cdots +{\mathrm{e}}_n^m}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}(\mathbf{M})}$。

　　 证毕。

　　 定理 2 的形式和 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{e}}^{at}=a{\mathrm{e}}^{at}$ 是一样的，它们也共享同一个证明，我们留作习题：

3. 对角化计算矩阵指数

　　 最容易计算指数的矩阵，是对角矩阵。由于两个对角矩阵相乘后还是对角矩阵，结果矩阵的第 $i$ 个对角元就是两个矩阵的第 $i$ 个对角元相乘，因此对于任意非负整数 $k$ 有

于是易得

　　 如果矩阵不是对角的，则计算会麻烦很多。但是，如果矩阵能通过相似变换化为对角矩阵，那么根据式 3 即可大大简化计算。对于任意矩阵 $\mathbf{M}$，如果存在可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ 使得 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{MQ}$ 是对角矩阵，那么 ${\mathrm{e}}^{{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{MQ}}$ 非常容易计算，从而容易计算出

利用可逆矩阵得到对角矩阵 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{MQ}$ 的过程，称为矩阵 $\mathbf{M}$ 的对角化。

　　 并不是所有矩阵都能对角化，但复数域上的矩阵一定可以。我们可以利用特征方程来做对角化。求解特征方程

这个方程是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式方程，其中 $n$ 是 $\mathbf{M}$ 的阶数。根据代数学基本定理，此方程一定有 $n$ 个解（计入重数），记为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，它们就是 $\mathbf{M}$ 的特征值。接下来，求解线性方程组（向量的线性方程） 每个这样的方程组一定有非零解（为什么？），这些解即为 $\mathbf{M}$ 的特征向量。每个非零解作为列向量，排成一排，所得的矩阵便是 $\mathbf{Q}$。

　　 由于实数是复数的子集，故实矩阵也可以在复数域上对角化，虽然对角化后的结果可能不再是实矩阵，但依然可以计算其矩阵指数后再做逆相似变换，还原回实矩阵。