双线性型

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 线性映射

   给定域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$,若函数 $f:V\times V\to \mathbb{F}$ 对于两个自变量都满足线性性(称为 “双线性性”),则称 $f$ 为一个双线性函数(bilinear function)线性 $2$-函数(linear $2$-function)或者双线性形式(bilinear form),也译作双线性型

   所谓双线性性,即对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _i, \boldsymbol{\mathbf{v}} _j\in V$ 和 $a_i, b_j\in\mathbb{F}$,都有

\begin{equation} \begin{aligned} &f(a_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+a_2 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, b_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+b_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)\\ ={}& a_1b_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)+a_2b_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)+a_1b_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)+a_2b_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)~. \end{aligned} \end{equation}

   如果固定两个自变量中的一个,如固定第二个自变量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则 $f$ 可以看成是 $V\to \mathbb{F}$ 的单自变量函数,显然对于这个自变量,$f$ 满足线性性:

\begin{equation} f(a_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+b_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} )=a_1f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} )+a_2f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} )~. \end{equation}

   双线性形式是一种张量,具体来说是 $(0, 2)$ 型张量。内积是一种双线性形式,具体来说是正定的双线性形式。


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