双线性型

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　线性映射

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $V$ ，若函数 $f : V \times V \to F$ 对于两个自变量都满足线性性（称为 “双线性性”），则称 $f$ 为一个双线性函数（bilinear function）、线性 $2$ -函数（linear $2$ -function）或者双线性形式（bilinear form），也译作双线性型。

　　所谓双线性性，即对于任意 $u_{i}, v_{j} \in V$ 和 $a_{i}, b_{j} \in F$ ，都有

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f (a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2}, b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2}) \\ = & a_{1} b_{1} f (u_{1}, v_{1}) + a_{2} b_{1} f (u_{2}, v_{1}) + a_{1} b_{2} f (u_{1}, v_{2}) + a_{2} b_{2} f (u_{2}, v_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果固定两个自变量中的一个，如固定第二个自变量 $v$ ，则 $f$ 可以看成是 $V \to F$ 的单自变量函数，显然对于这个自变量， $f$ 满足线性性：

\begin{matrix} (2) & f (a_{1} u_{1} + b_{1} u_{2}, v) = a_{1} f (u_{1}, v) + a_{2} f (u_{2}, v) . \end{matrix}

　　双线性形式是一种张量，具体来说是 $(0, 2)$ 型张量。内积是一种双线性形式，具体来说是正定的双线性形式。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。