线性无关判别法

                     

贡献者: 零穹

  • 缺例题
预备知识 对偶空间

   在矢量空间中,找出线性无关的向量往往是一个基本的任务,这可以从基底张成矢量空间看出(定义 1 ).再有了对偶空间 $V^*$ 的知识后,可以便洁的给出矢量空间 $V$ 中矢量线性无关性的各种判别法.

引理 1 

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$ 是 $V$ 中线性相关的向量,而 $f_1,\cdots,f_m$ 是 $V$ 上任意的线性函数定义 1 ,那么

\begin{equation} \det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))=0,\quad 1\leq i,j\leq m \end{equation}
($i$ 是行指标,$j$ 是列指标)1

   证明:由于 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$ 线性相关,必有一个矢量是其余矢量的线性组合,不失一般性,设这个矢量就是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$,则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _m=\sum_{i\neq m}\alpha_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i \end{equation}
在行列式 $\det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))$ 中,从最后一列减去第一列乘 $\alpha_1$,$\cdots$,第 $m-1$ 列乘 $\alpha_{m-1}$,于是最后一列变为
\begin{equation} \begin{aligned} &f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _m)-\sum_{j\neq m}\alpha_j f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)=f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _m-\sum_{j\neq m}\alpha_{j} \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)\\ &=f_i( \boldsymbol{\mathbf{0}} )=0,\quad i=1,\cdots ,m \end{aligned} \end{equation}
所以行列式为 0.

   证毕!

引理 2 

   如果 $(f_1,\cdots,f_n)$ 是矢量空间 $V$ 的 对偶空间 $V^*$ 的一个基底,那么,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\in V$ 线性无关的充要条件为

\begin{equation} \det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))\neq 0 \end{equation}

   证明:

  1. 充分性:引理 1 直接得证!
  2. 必要性:矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\in V$ 线性无关,意味着 $V=\langle \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\rangle$(定义 1 ).用 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 代表 $V$ 的对偶于 $(f_1,\cdots,f_n)$ 的基底(子节 3 ),而用 $\alpha_{1j},\cdots,\alpha_{nj}$ 代表矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _j$ 在这个基底下的坐标.那么
    \begin{equation} \begin{pmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn} \end{pmatrix} \end{equation}
    就是由基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 到基底 $( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n)$ 的过渡矩阵.由例 1 ,它是可逆的,从而 $\det(\alpha_{ij}))\neq0$.但 $\alpha_{ij}=f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)$,故而式 4 成立. 证毕!

定理 1 

   设 $(f_1,\cdots,f_n)$ 是对偶于 $V$ 的空间 $V^*$ 的一个基底.那么,矢量组 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k\in V$ 的秩等于所有形如

\begin{equation} \det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)),\quad 1\leq i=i_1,\cdots ,i_m\leq n;\;1\leq j=j_1,\cdots,j_m\leq k \end{equation}
的非零行列式的最大阶数.

   证明:用 $r$ 代表矢量组 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k$ 的秩.任意 $m > r$,$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{j1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{jm}$ 必线性相关.据引理 1 ,阶数 $m > r$ 的形如式 6 的行列式必为 0.

   现在只需证明,存在一个形如式 6 的非零行列式,其秩为 $r$.用 $\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}$ 代表线性函数 $f_1,\cdots,f_n$ 在子空间 $U=\langle \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k\rangle$ 上的限制. 现要证明

\begin{equation} \langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle=U^* \end{equation}

   事实上,显然 $\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle \in U^*$.齐次,设 $\tilde f$ 是 $U^*$ 的任一矢量,$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r)$ 的基底,而 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r; \boldsymbol{\mathbf{e}} _{r+1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是它在 $V$ 中的扩展基底.

   对这样的线性函数 $f\in V^*$,其中

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\tilde f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i),\;i=1,\cdots ,r;\, f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=0,i=r+1,\cdots,n \end{equation}
因为 $V^*=\langle f_1,\cdots,f_n\rangle$,故 $f$ 可写成
\begin{equation} f=\sum \beta_if_i \end{equation}
把 $f$ 限制在 $U$ 上,显然 $\overline f=f|_U=\tilde f$,于是
\begin{equation} \tilde f=\overline f=\sum \beta_i \overline f_i \end{equation}
即 $\tilde f\in\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle$,故 $U^*\subset\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle$,于是证得式 7

   最后,在 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k$ 中选择 $r$ 个线性无关的矢量(设为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{j1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{jr} $),在 $\overline f_1,\cdots ,\overline f_n$ 中选择 $r$ 个线性无关的矢量(设为 $\overline f_{i1},\cdots,\overline f_{ir}$),它们分别构成 $U,U^*$ 的基底,由引理 2

\begin{equation} \det(\overline f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))\neq0,\quad i=i_1,\cdots ,i_r;\; j=j_1,\cdots,j_r \end{equation}
剩下只需注意 $\overline f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)=f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)$.

   证毕!


1. ^ 矩阵的指标往往遵从 “左行右列,上行下列” 的原则,因为人们习惯 “从上到下,从左到右”.在一维情形,“上” 和 “左”,“下” 和 “右” 并无区别,只是表明某种方向性.


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