线性无关判别法

贡献者： 零穹; Giacomo

　　 在向量空间中，找出线性无关的向量往往是一个基本的任务，这可以从基底张成向量空间看出（定义 1 ）。再有了对偶空间$V^{\ast }$ 的知识后，可以便洁的给出向量空间 $V$ 中向量线性无关性的各种判别法。

　　 证明：由于 ${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$ 线性相关，必有一个向量是其余向量的线性组合，不失一般性，设这个向量就是 ${\mathbf{a}}_m$，则

　　 证毕！

　　 证明：

1. 充分性：由引理 1 直接得证！
2. 必要性：向量 ${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\in V$ 线性无关，意味着 $V=⟨{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n⟩$（定义 1 ）.用 $({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$ 代表 $V$ 的对偶于 $(f_1,\cdots ,f_n)$ 的基底（子节 3 ），而用 ${\alpha }_{1j},\cdots ,{\alpha }_{nj}$ 代表向量 ${\mathbf{a}}_j$ 在这个基底下的坐标。那么
   $$\begin{array}{}\text{(5)}& \left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_{11}& \cdots & {\alpha }_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ {\alpha }_{n1}& \cdots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right)\end{array}$$
   就是由基底 $({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$ 到基底 $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_n)$ 的过渡矩阵。由例 1 ，它是可逆的，从而 $det({\alpha }_{ij}))\ne 0$。但 ${\alpha }_{ij}=f_i({\mathbf{a}}_j)$，故而式 4 成立。 证毕！

　　 证明：用 $r$ 代表向量组 ${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_k$ 的秩。任意 $m>r$，${\mathbf{a}}_{j1},\cdots ,{\mathbf{a}}_{jm}$ 必线性相关。据引理 1 ，阶数 $m>r$ 的形如式 6 的行列式必为 0。

　　 现在只需证明，存在一个形如式 6 的非零行列式，其秩为 $r$。用 $\overline{f_1},\cdots ,\overline{f_n}$ 代表线性函数 $f_1,\cdots ,f_n$ 在子空间 $U=⟨{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_k⟩$ 上的限制。 现要证明

　　 事实上，显然 $⟨\overline{f_1},\cdots ,\overline{f_n}⟩\in U^{\ast }$。齐次，设 $\tilde{f}$ 是 $U^{\ast }$ 的任一向量，$({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r)$ 的基底，而 $({\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r;{\mathbf{e}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{e}}_n)$ 是它在 $V$ 中的扩展基底。

　　 对这样的线性函数 $f\in V^{\ast }$，其中

　　 最后，在 ${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_k$ 中选择 $r$ 个线性无关的向量（设为 ${\mathbf{a}}_{j1},\cdots ,{\mathbf{a}}_{jr}$），在 ${\bar{f}}_1,\cdots ,{\bar{f}}_n$ 中选择 $r$ 个线性无关的向量（设为 ${\bar{f}}_{i1},\cdots ,{\bar{f}}_{ir}$），它们分别构成 $U,U^{\ast }$ 的基底，由引理 2

　　 证毕！

1. ^ 矩阵的指标往往遵从 “左行右列，上行下列” 的原则，因为人们习惯 “从上到下，从左到右”。在一维情形，“上” 和 “左”，“下” 和 “右” 并无区别，只是表明某种方向性。