映射空间

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　紧致性

1. 紧开拓扑

　　 给定拓扑空间 X 和 Y，YX 表示从 X 到 Y 的所有连续映射的集合。我们在此连续映射集合上定义一个拓扑。

定义 1　紧开拓扑

　　 给定拓扑空间 X 和 Y，在 X 中取一个紧子集 K，在 Y 中取一个开集 U，那么所有使得 K 的像包含在 U 中的连续映射构成的集合 {f∈XY|f(K)⊆U}，定义为 XY 中的一个开集。由于这个开集是由紧子集 K 和开集 U 决定的，我们可以记为 MK,U。全体 MK,U 构成的集合，作为子基生成一个拓扑 T1，那么 T 称为一个紧开拓扑。(XY,T) 称为 X 到 Y 的（连续）映射空间。

　　 紧开拓扑的定义初看并不直观，实际上它和度量空间有紧密的联系。在特定条件下，紧开拓扑和度量拓扑是等价的，因此紧开拓扑可以看成度量拓扑更一般的形式。

定理 1　紧开拓扑与度量拓扑的等价性

　　 设拓扑空间 X 为紧空间，Y 为度量空间，其距离函数记为 d，在 YX 上定义度量 ρ 如下：对于 f,g∈YX，令 ρ(f,g) 等于集合 {d(f(x),g(x))}x∈X 中的上确界。则这个度量导出的拓扑，等价于紧开拓扑。

　　 一般来说，当我们提到映射空间时，总是指连续映射构成的集合，配上紧开拓扑所构成的拓扑空间。

2. 映射空间的性质

定理 2　映射空间的重要性质

　　

  • 若 X 是局部紧空间，令映射 e:YX×X→Y 满足 ∀f∈YX,x∈X，有 e(f,x)=f(x)。则 e 是一个连续映射。
  • 若 f:X×Z→Y 是连续映射，那么令 f~:Z→YX 满足 f~(z)(x)=f(x,z)2，那么 f~ 也是连续映射。如果 X 还是一个局部紧空间，那么可以反过来说，如果 f~ 是连续映射，那么 f 是连续映射。
  • 如果 Z 是 Hausdorff 空间，那么 E:YX×Z→(YX)Z 就是连续映射，其中 E(f)=f~。如果 X 也是 Hausdorff 的，那么 E 是一个同胚映射。

　　 以上三条定理没有简略的严格证明，在此从略；感兴趣的读者请参考拓扑学相关教材。这三条定理的性质是代数拓扑的基础。

1. ^ 注意，这里是子基，而非拓扑基。
2. ^ 注意，这里的 f~(z) 是 YX 的一个元素，也就是 X→Y 的一个映射。


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