映射空间

             

预备知识 紧致性

1. 紧开拓扑

   给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$,$Y^X$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合.我们在此连续映射集合上定义一个拓扑.

定义 1 紧开拓扑

   给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$,在 $X$ 中取一个紧子集 $K$,在 $Y$ 中取一个开集 $U$,那么所有使得 $K$ 的像包含在 $U$ 中的连续映射构成的集合 $\{f\in X^Y|f(K)\subseteq U\}$,定义为 $X^Y$ 中的一个开集.由于这个开集是由紧子集 $K$ 和开集 $U$ 决定的,我们可以记为 $M_{K, U}$.全体 $M_{K, U}$ 构成的集合,作为子基生成一个拓扑 $\mathcal{T}$1,那么 $\mathcal{T}$ 称为一个紧开拓扑.$(X^Y, \mathcal{T})$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的(连续)映射空间

   紧开拓扑的定义初看并不直观,实际上它和度量空间有紧密的联系.在特定条件下,紧开拓扑和度量拓扑是等价的,因此紧开拓扑可以看成度量拓扑更一般的形式.

定理 1 紧开拓扑与度量拓扑的等价性

   设拓扑空间 $X$ 为紧空间,$Y$ 为度量空间,其距离函数记为 $ \operatorname {d}$,在 $Y^X$ 上定义度量 $ \operatorname {\rho}$ 如下:对于 $f, g\in Y^X$,令 $ \operatorname {\rho}(f, g)$ 等于集合 $\{ \operatorname {d}(f(x), g(x))\}_{x\in X}$ 中的上确界.则这个度量导出的拓扑,等价于紧开拓扑.

   一般来说,当我们提到映射空间时,总是指连续映射构成的集合,配上紧开拓扑所构成的拓扑空间.

2. 映射空间的性质

定理 2 映射空间的重要性质

  

  • 若 $X$ 是局部紧空间,令映射 $e:Y^X\times X\rightarrow Y$ 满足 $\forall f\in Y^X, x\in X$,有 $e(f, x)=f(x)$.则 $e$ 是一个连续映射.
  • 若 $f:X\times Z\rightarrow Y$ 是连续映射,那么令 $\tilde{f}:Z\rightarrow Y^X$ 满足 $\tilde{f}(z)(x)=f(x, z)$2,那么 $\tilde{f}$ 也是连续映射.如果 $X$ 还是一个局部紧空间,那么可以反过来说,如果 $\tilde{f}$ 是连续映射,那么 $f$ 是连续映射.
  • 如果 $Z$ 是 Hausdorff 空间,那么 $E:Y^{X\times Z}\rightarrow(Y^X)^Z$ 就是连续映射,其中 $E(f)=\tilde{f}$.如果 $X$ 也是 Hausdorff 的,那么 $E$ 是一个同胚映射.

   以上三条定理没有简略的严格证明,在此从略;感兴趣的读者请参考拓扑学相关教材.这三条定理的性质是代数拓扑的基础.


1. ^ 注意,这里是子基,而非拓扑基.
2. ^ 注意,这里的 $\tilde{f}(z)$ 是 $Y^X$ 的一个元素,也就是 $X\rightarrow Y$ 的一个映射.

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