映射空间
贡献者： JierPeter; addis
1. 紧开拓扑
给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，$Y^X$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合。我们在此连续映射集合上定义一个拓扑。
定义 1 紧开拓扑
给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，在 $X$ 中取一个紧子集 $K$，在 $Y$ 中取一个开集 $U$，那么所有使得 $K$ 的像包含在 $U$ 中的连续映射构成的集合 $\{f\in X^Y|f(K)\subseteq U\}$，定义为 $X^Y$ 中的一个开集。由于这个开集是由紧子集 $K$ 和开集 $U$ 决定的，我们可以记为 $M_{K, U}$。全体 $M_{K, U}$ 构成的集合，作为子基生成一个拓扑 $\mathcal{T}$1，那么 $\mathcal{T}$ 称为一个紧开拓扑。$(X^Y, \mathcal{T})$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的（连续）映射空间。
紧开拓扑的定义初看并不直观，实际上它和度量空间有紧密的联系。在特定条件下，紧开拓扑和度量拓扑是等价的，因此紧开拓扑可以看成度量拓扑更一般的形式。
定理 1 紧开拓扑与度量拓扑的等价性
设拓扑空间 $X$ 为紧空间，$Y$ 为度量空间，其距离函数记为 $ \operatorname {d}$，在 $Y^X$ 上定义度量 $ \operatorname {\rho}$ 如下：对于 $f, g\in Y^X$，令 $ \operatorname {\rho}(f, g)$ 等于集合 $\{ \operatorname {d}(f(x), g(x))\}_{x\in X}$ 中的上确界。则这个度量导出的拓扑，等价于紧开拓扑。
一般来说，当我们提到映射空间时，总是指连续映射构成的集合，配上紧开拓扑所构成的拓扑空间。
2. 映射空间的性质
定理 2 映射空间的重要性质
- 若 $X$ 是局部紧空间，令映射 $e:Y^X\times X\rightarrow Y$ 满足 $\forall f\in Y^X, x\in X$，有 $e(f, x)=f(x)$。则 $e$ 是一个连续映射。
- 若 $f:X\times Z\rightarrow Y$ 是连续映射，那么令 $\tilde{f}:Z\rightarrow Y^X$ 满足 $\tilde{f}(z)(x)=f(x, z)$2，那么 $\tilde{f}$ 也是连续映射。如果 $X$ 还是一个局部紧空间，那么可以反过来说，如果 $\tilde{f}$ 是连续映射，那么 $f$ 是连续映射。
- 如果 $Z$ 是 Hausdorff 空间，那么 $E:Y^{X\times Z}\rightarrow(Y^X)^Z$ 就是连续映射，其中 $E(f)=\tilde{f}$。如果 $X$ 也是 Hausdorff 的，那么 $E$ 是一个同胚映射。
以上三条定理没有简略的严格证明，在此从略；感兴趣的读者请参考拓扑学相关教材。这三条定理的性质是代数拓扑的基础。
1. ^ 注意，这里是子基，而非拓扑基。
2. ^ 注意，这里的 $\tilde{f}(z)$ 是 $Y^X$ 的一个元素，也就是 $X\rightarrow Y$ 的一个映射。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。