范德蒙恒等式

                     

贡献者: addis

预备知识 二项式定理

  1范德蒙恒等式(Vandermonde's identity)是指

\begin{equation} C_{a + b}^n = \sum_i C_a^i C_b^{n-i} = \sum\limits_i C_a^{n-i}C_b^i \end{equation}
其中求和是对所有使得表达式有意义的非负整数 $i$ 进行的,即
\begin{equation} \max \left\{0,\, n-b \right\} \leqslant i \leqslant \min \left\{a,\, n \right\} \end{equation}
当 $a, b \geqslant n$ 时化简为
\begin{equation} 0 \leqslant i \leqslant n \end{equation}

1. 证明 1

   假设有编了号的 $a+b$ 个小球.不分顺序抓取 $n$ 个,求总共有几种情况(用 $N$ 表示).

   方法 1:根据定义,有 $N = C_{a+b}^n$ 种情况.

   方法 2:先把球分成 $A$, $B$ 两组,分别有 $a$ 个和 $b$ 个.如果在 $A$ 组中抽取 $i$ 个球(有 $C_a^i$ 种情况),在 $B$ 组中只能抽取 $n - i$ 个(有 $C_b^{n-i}$ 种情况),所以一个 $i$ 对应 $C_a^i C_b^{n-i}$ 种情况.所有可能的 $i$ 一共有 $N = \sum_i C_a^i C_b^{n-i}$ 种情况.

   由于这个问题只有一个答案,所以有 $C_{a+b}^n = \sum_i C_a^i C_b^{n-i}$.

   但 $i$ 的范围具体从多少取到多少,由 $a$, $b$ 是否大于 $n$ 来决定.当 $a,b$ 都大于 $n$ 时,$i$ 可以从 0 取到 $n$, 如果其中至少有一个小于 $n$, 那么 $i$ 的取值不能使 $C$ 的上标大于下标.

   证毕.

2. 证明 2

   我们也可以通过二项式定理来证明

\begin{equation} \begin{aligned} (1 + x)^{a+b} &= \sum_{n=0}^{a+b} C_{a+b}^n x^n\\ &=(1+x)^a (1+x)^b\\ &=\sum_{i=0}^a C_a^i x^i \sum_{j=0}^b C_b^j x^j\\ &=\sum_{n=0}^{a+b} \sum_{i} C_a^i C_b^{n-i} x^n \end{aligned} \end{equation}
最后两部可以看作对一个表格求和,第 $i$ 行第 $j$ 列的值为 $C_a^i C_b^j x^{i+j}$,求和的方式有两种,一种是每行每列求和,另一种是延斜线求和,每条斜线 $n = i+j$ 的值相同.注意每条斜线中 $i$ 的范围未必相同,满足式 2

   由于多项式中每项的系数必须相同,就有式 1 ,证毕.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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