计数原理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 集合的基数

  1本节介绍组合学里两个一般性的原则——加法原则和乘法原则.

   以下假设 $A$ 和 $B$ 是两类不同、互不关联的事件.

1. 加法原则

   加法原则:设事件 $A$ 有 $m$ 种选取方式,事件 $B$ 有 $n$ 种选取方式,则选 $A$ 或 $B$ 共有 $m+n$ 种方式.

   用集合的语言可将加法原则描述成如下定理(定理 4 ):

定理 1 

   设 $A,B$ 为有限集,且 $A\cap B=\emptyset$,则

\begin{equation} \left\lvert A\cup B \right\rvert = \left\lvert A \right\rvert + \left\lvert B \right\rvert \end{equation}

推论 1 

   设 $n$ 个有限集合 $A_1,\cdots,A_n$ 满足

\begin{equation} A_i\cap A_j=\emptyset,1\leq i\neq j\leq n \end{equation}
\begin{equation} \left\lvert \bigcup_{i=1}^n A_i \right\rvert =\sum_{i=1}^n \left\lvert A_i \right\rvert \end{equation}

2. 乘法原则

   乘法原则:设事件 $A$ 有 $m$ 种选取方式,事件 $B$ 有 $n$ 种选取方式,那么选取 $A$ 以后再选取 $B$ 共有 $m\cdot n$ 种方式.

   同样,用集合的语言可将乘法原则描述成如下的定理:

定理 2 

   设 $A,B$ 为有限集,$ \left\lvert A \right\rvert =m, \left\lvert B \right\rvert =n$,则

\begin{equation} \left\lvert A\times B \right\rvert = \left\lvert A \right\rvert \times \left\lvert B \right\rvert =m\cdot n \end{equation}

   证明:若 $m=0$ 或 $n=0$,则式 4 的两边均为 0,故等式成立.

   设 $m > 0,n > 0$,并且记

\begin{equation} A=\{a_1,\cdots,a_m\},\quad B=\{b_1,\cdots,b_n\} \end{equation}
定义映射
\begin{equation} \varphi:(a_i,b_j)\rightarrow (i-1)n+j\quad (1\leq i\leq m,1\leq j\leq n) \end{equation}
则 $\varphi$ 是 $A\times B$ 到集合 $\{1,2\cdots,mn-1,mn\}$ 上的一一映射(试证明),根据集合基数的定义(定义 1 ),式 4 成立.

   证毕!

   注:乘法原则之所以能用定理 2 描述,是因为在乘法原则的描述中,选取 $A$ 以后再选取 $B$,这意味着 $A$ 与 $B$ 是有顺序的,这便使得选取 $A$ 再选取 $B$ 的方式能用笛卡尔积 $A\times B$(子节 2 )来描述(即二者一一对应).比如:选取 $A$ 得到 $a_i$,再选取 $B$ 得到 $b_j$ 这样一种选取,可记为 $(a_i,b_j)$;或将 $(a_i,b_j)$ 理解为选取 $A$ 得到 $a_i$,再选取 $B$ 得到 $b_j$ 这样一种选取.

推论 2 

   设 $A_1,\cdots,A_n$ 为 $n$ 个有限集合,则

\begin{equation} \left\lvert A_1\times A_2\cdots A_n \right\rvert = \left\lvert A_1 \right\rvert \times \left\lvert A_2 \right\rvert \times\cdots\times \left\lvert A_n \right\rvert \end{equation}


1. ^ 许胤龙,孙淑玲.组合数学引论(第二版),中国科学技术大学出版社.2010.


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