ADM 形式

                     

贡献者： 零穹; addis

　　 将 4 维时空分解成 1 维的时间和 3 维的空间称之为时空的3+1 分解，用数学的语言来描述就是：若 $W$ 是 4 维时空（可看成 4 维矢量空间），$T$ 是 1 维的时间（1 维矢量空间），$V$ 是 3 维空间（3 维矢量空间），那么 $W=T\oplus V$ (定义 1 ) 就是时空 $W$ 的 $3+1$ 分解。在一般的框架下对时空进行 $3+1$ 的分解称之为ADM 形式（ADM formalism）。ADM 形式来源于 Arnowitt, Deser and Misner 1962 年的工作，并以三人的首字母命名。

1. 时空 3+1 分解

　　 考虑 4 维时空中的空间超曲面 $X^{\mu }$（$n$ 维空间的超曲面指其 $n-1$ 维的子空间，所以空间超曲面就是我们所处的 3 维空间，上标是抽象指标，暗示着它的每一元素都与某一矢量相对应），其由 3 个坐标 $x^i,i=1,2,3$ 所定义，即

在超曲面中的任一点处，都有一基底 $\{{\mathrm{e}}_i^{\mu }\}$ 与之对应。其中 ${\mathrm{e}}_i^{\mu }$ 方向的坐标轴当然只有对应坐标 $x^i$ 变化，由偏导数的定义，上式的几何图像很直白。

　　 而垂直于超曲面的单位法矢量 $n^{\mu }$ 满足（采用爱因斯坦求和约定）

其中 $e_i^{\mu },n^{\nu }$ 分别是四矢量 $e_i,n$ 对应 $\mu ,\nu$ 坐标轴的坐标分量，而 $g_{\mu \nu }$ 为时空的度规（亦即度量，时空的度量显然是闵可夫斯基度量（定义 3 ））。式 3 中，第一式表明 $n^{\mu }$ 垂直于超曲面，第二式表明 $n^{\mu }$ 是单位矢。

　　 现在，以一连续的方式定义超曲面，从而获得一族超曲面

定义时间演化 4 矢量 $N^{\mu }$ 由定义，这一矢量连接着相邻超曲面上具有统一坐标 $x^i$ 的点。将 $N^{\mu }$ 在基底 $\{n^{\mu },{\mathrm{e}}_i^{\mu }\}$ 下 进行展开，其对应分量定义如下 其中 $N$ 称为时移函数（lapse function），$N^i$ 称为位移函数（shift function）。其几何解释如图 1 ：$N\mathrm{d}t$ 是相邻两超曲面的间的固有时，$N^i\mathrm{d}t$ 是上超曲面 $X^{\mu }(x^i,t+\mathrm{d}t)$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点，到上超曲面对应于下超曲面 $X^{\mu }(x^i,t)$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点在法矢量方向上的对应点的距离。

　　 现在，跟随着任一场的运动，可以将场投影到垂直和平行超曲面的方向，包括令人感兴趣的度规场。但是由于度规定义了所谓的 “垂直”，所以它的两个投影是不重要的，这两个投影是：

重要的仅仅是 它定义了由超曲面诱导的 3 维度规 ${\gamma }_{ij}$。

2. 度规的 ADM 分解

　　 度规的 ADM 分解是在基底 $\{N^{\mu },{\mathrm{e}}_i^{\mu }\}$ 下进行的（由于 $N^{\mu }$ 是时间轴）：

上式的证明只需将式 6 代入，并注意 式 8 和 $n^{\mu }$ 与 ${\mathrm{e}}_i^{\mu }$ 垂直。

　　 所以时空间隔 $\mathrm{d}{s}^2$ 为

最后一式用到了指标升降公式 $N_i=g_{ij}{N}^j={\gamma }_{ij}{N}^j$。

　　 而体积元为

　　 注意，在上面的过程中并未假设爱因斯坦场方程成立，它仅仅是一个纯粹的几何过程，因此对任意度规都是有效的。