ADM形式

                     

贡献者: 零穹

预备知识 爱因斯坦求和约定

   将 4 维时空分解成 1 维的时间和 3 维的空间称之为时空的3+1 分解,用数学的语言来描述就是:若 $W$ 是 4 维时空(可看成 4 维矢量空间),$T$ 是 1 维的时间(1 维矢量空间),$V$ 是 3 维空间(3 维矢量空间),那么 $W=T\oplus V$ (定义 1 ) 就是时空 $W$ 的 $3+1$ 分解.在一般的框架下对时空进行 $3+1$ 的分解称之为ADM 形式ADM formalism).ADM 形式来源于 Arnowitt, Deser and Misner 1962 年的工作,并以三人的首字母命名.

1. 时空 3+1 分解

   考虑 4 维时空中的空间超曲面 $X^\mu$($n$ 维空间的超曲面指其 $n-1$ 维的子空间,所以空间超曲面就是我们所处的 3 维空间,上标是抽象指标,暗示着它的每一元素都与某一矢量相对应),其由 3 个坐标 $x^i,i=1,2,3$ 所定义,即

\begin{equation} X^\mu=X^\mu(x^i) \end{equation}
在超曲面中的任一点处,都有一基底 $\{e^\mu_i\}$ 与之对应.其中
\begin{equation} e^\mu_i=\partial_i X^\mu= \frac{\partial X^\mu}{\partial x^i} \end{equation}
$e^\mu_i$ 方向的坐标轴当然只有对应坐标 $x^i$ 变化,由偏导数的定义,上式的几何图像很直白.

   而垂直于超曲面的单位法矢量 $n^\mu$ 满足(采用爱因斯坦求和约定

\begin{equation} g_{\mu\nu} e_i^\mu n^\nu=0,\quad g_{\mu\nu}n^\mu n^\nu=-1 \end{equation}
其中 $e_i^\mu,n^\nu$ 分别是四矢量 $ e_i,n$ 对应 $\mu,\nu$ 坐标轴的坐标分量,而 $g_{\mu\nu}$ 为时空的度规(亦即度量,时空的度量显然是闵可夫斯基度量(定义 3 )).式 3 中,第一式表明 $n^\mu$ 垂直于超曲面,第二式表明 $n^\mu$ 是单位矢.

   现在,以一连续的方式定义超曲面,从而获得一族超曲面

\begin{equation} \{{X^\mu}= X^\mu(x^i,t)|t\in\mathbb R\} \end{equation}
定义时间演化 4 矢量 $N^\mu$
\begin{equation} N^\mu:=\dot{X}^\mu=\partial_t X^\mu(x^i,t) \end{equation}

   由定义,这一矢量连接着相邻超曲面上具有统一坐标 $x^i$ 的点.将 $N^\mu$ 在基底 $\{n^\mu,e^\mu_i\}$ 下 进行展开,其对应分量定义如下

\begin{equation} N^\mu:=Nn^\mu+N^ie^\mu_i \end{equation}
其中 $N$ 称为时移函数lapse function),$N^i$ 称为位移函数shift function).其几何解释如图 1 :$N \,\mathrm{d}{t} $ 是相邻两超曲面的间的固有时,$N^i \,\mathrm{d}{t} $ 是上超曲面 $X^\mu(x^i,t+ \,\mathrm{d}{t} )$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点,到上超曲面对应于下超曲面 $X^\mu(x^i,t)$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点在法矢量方向上的对应点的距离.

图
图 1:$N^\mu$ 的几何解释

   现在,跟随着任一场的运动,可以将场投影到垂直和平行超曲面的方向,包括令人感兴趣的度规场.但是由于度规定义了所谓的 “垂直”,所以它的两个投影是不重要的,这两个投影是:

\begin{equation} g_{\perp\perp}:=g_{\mu\nu}n^{\mu}n^{\nu},\quad g_{\perp i}:=g_{\mu\nu}n^{\mu}e^{\nu}_i \end{equation}
重要的仅仅是
\begin{equation} g_{ij}:=\gamma_{ij}=g_{\mu\nu}e^{\mu}_ie^{\nu}_j \end{equation}
它定义了由超曲面诱导的 3 维度规 $\gamma_{ij}$.

2. 度规的 ADM 分解

   度规的 ADM 分解是在基底 $\{N^{\mu},e^{\mu}_i\}$ 下进行的(由于 $N^{\mu}$ 是时间轴):

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &g_{00}:=g_{\mu\nu}N^{\mu}N^{\nu}=\gamma_{ij}N^iN^j-N^2\\ &g_{0i}:=g_{\mu\nu}N^{\nu}e^{\nu}_i=N_i\\ &g_{ij}:=g_{\mu\nu}e^{\mu}_ie^{\nu}_i=\gamma_{ij} \end{aligned}\right. \end{equation}
上式的证明只需将式 6 带入,并注意 式 8 和 $n^\mu$ 与 $e^{\mu}_i$ 垂直.

   所以时空间隔 $ \,\mathrm{d}{s} ^2$ 为

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{s} ^2&=g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{X} ^\mu \,\mathrm{d}{X} ^\nu=g_{\mu\nu} \left( \frac{\partial X^\mu}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} + \frac{\partial X^\mu}{\partial x^i} \,\mathrm{d}{x} ^i \right) \left( \frac{\partial X^\nu}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} + \frac{\partial X^\nu}{\partial x^j} \,\mathrm{d}{x} ^j \right) \\ &=g_{\mu\nu} \left(N^\mu N^\nu \,\mathrm{d}{t} ^2+N^\mu e^\nu_j \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^j+e^\mu_iN^\nu \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i+e^{\mu}_ie^{\nu}_j \,\mathrm{d}{x^i} \,\mathrm{d}{x} ^j \right) \\ &=g_{00}dt^2+N_j \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^j+N_i \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i+\gamma_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i \,\mathrm{d}{x} ^j\\ &=-N^2 \,\mathrm{d}{t} ^2+\gamma_{ij}( \,\mathrm{d}{x} ^i+N^i \,\mathrm{d}{t} )( \,\mathrm{d}{x} ^j+N^j \,\mathrm{d}{t} ) \end{aligned} \end{equation}
最后一式用到了指标升降公式 $N_i=g_{ij}N^j=\gamma_{ij}N^j$.

   而体积元为

\begin{equation} \sqrt{-g}{ \,\mathrm{d}{}} ^4 x=N\sqrt{\gamma}{ \,\mathrm{d}{}} ^4x \end{equation}

   注意,在上面的过程中并未假设爱因斯坦场方程成立,它仅仅是一个纯粹的几何过程,因此对任意度规都是有效的.


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