贡献者： 零穹; addis
将 4 维时空分解成 1 维的时间和 3 维的空间称之为时空的3+1 分解，用数学的语言来描述就是：若 $W$ 是 4 维时空（可看成 4 维矢量空间），$T$ 是 1 维的时间（1 维矢量空间），$V$ 是 3 维空间（3 维矢量空间），那么 $W=T\oplus V$ (定义 1 ) 就是时空 $W$ 的 $3+1$ 分解。在一般的框架下对时空进行 $3+1$ 的分解称之为ADM 形式（ADM formalism）。ADM 形式来源于 Arnowitt, Deser and Misner 1962 年的工作，并以三人的首字母命名。
1. 时空 3+1 分解
考虑 4 维时空中的空间超曲面 $X^\mu$（$n$ 维空间的超曲面指其 $n-1$ 维的子空间，所以空间超曲面就是我们所处的 3 维空间，上标是抽象指标，暗示着它的每一元素都与某一矢量相对应），其由 3 个坐标 $x^i,i=1,2,3$ 所定义，即
\begin{equation}
X^\mu=X^\mu(x^i)~.
\end{equation}
在超曲面中的任一点处，都有一基底 $\{ \mathrm{e} ^\mu_i\}$ 与之对应。其中
\begin{equation}
\mathrm{e} ^\mu_i=\partial_i X^\mu= \frac{\partial X^\mu}{\partial x^i} ~.
\end{equation}
$ \mathrm{e} ^\mu_i$ 方向的坐标轴当然只有对应坐标 $x^i$ 变化，由
偏导数的定义，上式的几何图像很直白。
而垂直于超曲面的单位法矢量 $n^\mu$ 满足（采用爱因斯坦求和约定）
\begin{equation}
g_{\mu\nu} e_i^\mu n^\nu=0,\quad g_{\mu\nu}n^\mu n^\nu=-1~.
\end{equation}
其中 $e_i^\mu,n^\nu$ 分别是四矢量 $ e_i,n$ 对应 $\mu,\nu$ 坐标轴的坐标分量，而 $g_{\mu\nu}$ 为时空的度规（亦即度量，时空的度量显然是闵可夫斯基度量（
定义 3 ））。
式 3 中，第一式表明 $n^\mu$ 垂直于超曲面，第二式表明 $n^\mu$ 是单位矢。
现在，以一连续的方式定义超曲面，从而获得一族超曲面
\begin{equation}
\{{X^\mu}= X^\mu(x^i,t)|t\in\mathbb R\}~.
\end{equation}
定义时间演化 4 矢量 $N^\mu$
\begin{equation}
N^\mu:=\dot{X}^\mu=\partial_t X^\mu(x^i,t)~.
\end{equation}
由定义，这一矢量连接着相邻超曲面上具有统一坐标 $x^i$ 的点。将 $N^\mu$ 在基底 $\{n^\mu, \mathrm{e} ^\mu_i\}$ 下 进行展开，其对应分量定义如下
\begin{equation}
N^\mu:=Nn^\mu+N^i \mathrm{e} ^\mu_i~.
\end{equation}
其中 $N$ 称为
时移函数（
lapse function），$N^i$ 称为
位移函数（
shift function）。其几何解释如
图 1 ：$N \,\mathrm{d}{t} $ 是相邻两超曲面的间的固有时，$N^i \,\mathrm{d}{t} $ 是上超曲面 $X^\mu(x^i,t+ \,\mathrm{d}{t} )$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点，到上超曲面对应于下超曲面 $X^\mu(x^i,t)$ 上空间坐标为 $x^i$ 的点在法矢量方向上的对应点的距离。
图 1：$N^\mu$ 的几何解释
现在，跟随着任一场的运动，可以将场投影到垂直和平行超曲面的方向，包括令人感兴趣的度规场。但是由于度规定义了所谓的 “垂直”，所以它的两个投影是不重要的，这两个投影是：
\begin{equation}
g_{\perp\perp}:=g_{\mu\nu}n^{\mu}n^{\nu},\quad g_{\perp i}:=g_{\mu\nu}n^{\mu} \mathrm{e} ^{\nu}_i~.
\end{equation}
重要的仅仅是
\begin{equation}
g_{ij}:=\gamma_{ij}=g_{\mu\nu} \mathrm{e} ^{\mu}_i \mathrm{e} ^{\nu}_j~,
\end{equation}
它定义了由超曲面诱导的 3 维度规 $\gamma_{ij}$。
2. 度规的 ADM 分解
度规的 ADM 分解是在基底 $\{N^{\mu}, \mathrm{e} ^{\mu}_i\}$ 下进行的（由于 $N^{\mu}$ 是时间轴）：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&g_{00}:=g_{\mu\nu}N^{\mu}N^{\nu}=\gamma_{ij}N^iN^j-N^2\\
&g_{0i}:=g_{\mu\nu}N^{\nu} \mathrm{e} ^{\nu}_i=N_i\\
&g_{ij}:=g_{\mu\nu} \mathrm{e} ^{\mu}_i \mathrm{e} ^{\nu}_i=\gamma_{ij}
\end{aligned}\right.~.
\end{equation}
上式的证明只需将
式 6 代入，并注意
式 8 和 $n^\mu$ 与 $ \mathrm{e} ^{\mu}_i$ 垂直。
所以时空间隔 $ \,\mathrm{d}{s} ^2$ 为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{s} ^2&=g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{X} ^\mu \,\mathrm{d}{X} ^\nu=g_{\mu\nu} \left( \frac{\partial X^\mu}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} + \frac{\partial X^\mu}{\partial x^i} \,\mathrm{d}{x} ^i \right) \left( \frac{\partial X^\nu}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} + \frac{\partial X^\nu}{\partial x^j} \,\mathrm{d}{x} ^j \right) \\
&=g_{\mu\nu} \left(N^\mu N^\nu \,\mathrm{d}{t} ^2+N^\mu \mathrm{e} ^\nu_j \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^j+ \mathrm{e} ^\mu_iN^\nu \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i+ \mathrm{e} ^{\mu}_i \mathrm{e} ^{\nu}_j \,\mathrm{d}{x^i} \,\mathrm{d}{x} ^j \right) \\
&=g_{00}dt^2+N_j \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^j+N_i \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i+\gamma_{ij} \,\mathrm{d}{x} ^i \,\mathrm{d}{x} ^j\\
&=-N^2 \,\mathrm{d}{t} ^2+\gamma_{ij}( \,\mathrm{d}{x} ^i+N^i \,\mathrm{d}{t} )( \,\mathrm{d}{x} ^j+N^j \,\mathrm{d}{t} )~,
\end{aligned}
\end{equation}
最后一式用到了指标升降公式 $N_i=g_{ij}N^j=\gamma_{ij}N^j$。
而体积元为
\begin{equation}
\sqrt{-g}{ \,\mathrm{d}{}} ^4 x=N\sqrt{\gamma}{ \,\mathrm{d}{}} ^4x~.
\end{equation}
未完成：证明
注意，在上面的过程中并未假设爱因斯坦场方程成立，它仅仅是一个纯粹的几何过程，因此对任意度规都是有效的。
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