线性引力

贡献者： Jia; addis

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
本文处于草稿阶段。

1. 线性引力理论

　　爱因斯坦场方程¹如下

\begin{matrix} (1) & G_{μ ν} = R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R = 8 π T_{μ ν} . \end{matrix}

　　由于方程采用几何语言描述，十分简洁，但它包含着一系列复杂的非线性微分方程。一方面，寻求严格满足爱因斯坦场方程的解是一个漫长而艰难的过程，许多数学天才也投入其中。另一方面，我们试图简化爱因斯坦场方程，因为在大多数情况中引力场都很微弱，所以我们可以采用近似处理的方式使爱因斯坦场方程线性化，简而言之，就是要对时空进行一阶线性微扰。

2. 广义相对论中的时空微扰

　　对已知的某一背景时空进行微扰的核心观点非常简单，假设我们可以用下列展开来近似描述真实的物理时空：

\begin{matrix} (2) & g_{μ ν} = g_{μ ν}^{(0)} + ϵ g_{μ ν}^{(1)} + \frac{1}{2!} ϵ^{2} g_{μ ν}^{(2)} + \dots \end{matrix}

其中，

ϵ

仅作为计算过程中判断各小量阶数的指标，必要的时候可以令

ϵ = 1

，而

g_{μ ν}^{(0)}

是已知的背景时空，一阶项

g_{μ ν}^{(1)}

是线性微扰项。在本节中我们只讨论到一阶线性微扰部分。

3. 闵氏时空

　　我们先考虑背景时空为平直的闵氏时空，线性微扰项记为 $h_{μ ν}$ (例如，对于太阳系来说， $| h_{μ ν} | \sim 10^{- 6}$ ). 在微扰的情景下，我们约定使用背景时空的度规进行指标升降，因此我们有

\begin{matrix} (3) & g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}, | h_{μ ν} | << 1 \end{matrix}

以及

\begin{matrix} (4) & g^{μ ν} = η^{μ ν} - h^{μ ν}, | h^{μ ν} | << 1 . \end{matrix}

式 4 来自于度规定义需要满足

g g^{- 1} = δ

\begin{matrix} (5) & g_{μ ν} g^{μ ρ} = (η_{μ ν} + h_{μ ν}) (η^{μ ρ} - h^{μ ρ}) = δ_{ν}^{ρ} - O (h^{2}) . \end{matrix}

　　首先计算克里斯托夫符号(Christoffel Symbol，定义 1 )，并保留到一阶项²

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} Γ^{μ}_{α β} & = \frac{1}{2} g^{μ ν} (\partial_{α} g_{ν β} + \partial_{β} g_{α ν} - \partial_{ν} g_{α β}) \\ = \frac{1}{2} (η^{μ ν} - h^{μ ν}) (\partial_{α} h_{ν β} + \partial_{β} h_{α ν} - \partial_{ν} h_{α β}) \\ = \frac{1}{2} η^{μ ν} (\partial_{α} h_{ν β} + \partial_{β} h_{α ν} - \partial_{ν} h_{α β}), \end{aligned} \end{matrix}

再计算黎曼张量

\begin{matrix} (7) & R_{α μ β ν} = \frac{1}{2} (h_{α ν, μ β} + h_{μ β, ν α} - h_{μ ν, α β} - h_{α β, μ ν}), \end{matrix}

以及里奇张量，

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} R_{μ ν} & = Γ^{α}_{μ ν, α} - Γ_{μ α, ν}^{α} \\ = \frac{1}{2} (h^{α}_{μ, ν α} + h_{ν}^{α}_{, μ α} - h_{μ ν, α}^{α} - h_{, μ ν}), \end{aligned} \end{matrix}

其中，

h \equiv h^{μ}_{μ} = η^{μ ν} h_{μ ν}

　　进一步计算里奇标量 $R = g^{μ ν} R_{μ ν} \approx η^{μ ν} R_{μ ν}$ ，将带其入爱因斯坦场方程式 1 ，便可得到线性爱因斯坦场方程。

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} h_{μ α, ν}^{α} & + h_{ν α, μ}^{α} - h_{μ ν, α}^{α} - h_{, μ ν} - η_{μ ν} (h_{α β}^{, α β} - h_{, β}^{β}) = 16 π T_{μ ν} . \end{aligned} \end{matrix}

　　我们可以定义如下变量

\begin{matrix} (10) & {\bar{h}}_{μ ν} \equiv h_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} h \end{matrix}

来化简，并且用横线代表对其它对称张量采取同样的操作，例如

\begin{aligned} (11) & G_{μ ν} & = {\bar{R}}_{μ ν} = R_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} R, \\ (12) & {\bar{\bar{h}}}_{μ ν} & = {\bar{h}}_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} \bar{h} = {\bar{h}}_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} (η^{α β} h_{α β} - \frac{1}{2} η^{α β} η_{α β} h) = h_{μ ν}, \\ (13) & h_{μ ν} & = {\bar{h}}_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} \bar{h} . \end{aligned}

　　因此可以得到线性引力场方程为

\begin{matrix} (14) & - ◻ {\bar{h}}_{μ ν} - η_{μ ν} {\bar{h}}_{α β,}^{α β} + {\bar{h}}^{α}_{μ, α ν} + {\bar{h}}^{α}_{ν, α μ} = 16 π T_{μ ν} . \end{matrix}

其中，第一项为通常我们所熟知的平直时空的达朗贝尔算符（d'Alembrtian）

◻ \equiv \partial^{μ} \partial_{μ} = - \partial_{t}^{2} + \partial_{x}^{2} + \partial_{y}^{2} + \partial_{z}^{2} .

　　剩下的项数仅仅是为了保证方程的规范不变性，进一步我们可以选定不同的规规范条件（gauge conditions），若采用洛伦兹规范（Lorentz gauge）：

\begin{matrix} (15) & {\bar{h}}^{μ α}_{, α} = 0 . \end{matrix}

　　于是场方程最终就变成了

\begin{matrix} (16) & ◻ {\bar{h}}_{μ ν} = - 16 π T_{μ ν} \end{matrix}

与度规

\begin{matrix} (17) & g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν} = η_{μ ν} + {\bar{h}}_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} \bar{h} \end{matrix}

便构成了洛伦兹规范下的线性引力理论的基本方程。

4. 史瓦西时空

　　我们可以将史瓦西时空看作对于平直闵氏时空的微扰。

5. 规范不变性

6. 推广到一般时空

　　背景时空的选择其实是任意的，我们同样可以对其进行线性微扰。

1. ^ 在广义相对论中，常常采用几何单位制，也即是 $c = G = k_{B} = 1$
2. ^ 以下计算同样均保留到一阶项。

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