线性引力

                     

贡献者: Jia; addis

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  • 本词条处于草稿阶段.

1. 线性引力理论

   爱因斯坦场方程1如下

\begin{equation} G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi T_{\mu\nu} \end{equation}

   由于方程采用几何语言描述,十分简洁,但它包含着一系列复杂的非线性微分方程.一方面,寻求严格满足爱因斯坦场方程的解是一个漫长而艰难的过程,许多数学天才也投入其中.另一方面,我们试图简化爱因斯坦场方程,因为在大多数情况中引力场都很微弱,所以我们可以采用近似处理的方式使爱因斯坦场方程线性化,简而言之,就是要对时空进行一阶线性微扰.

2. 广义相对论中的时空微扰

   对已知的某一背景时空进行微扰的核心观点非常简单,假设我们可以用下列展开来近似描述真实的物理时空:

\begin{equation} g_{\mu\nu}=g^{(0)}_{\mu\nu} + \epsilon g^{(1)}_{\mu\nu} + \frac{1}{2!}\epsilon^2 g^{(2)}_{\mu\nu}+\cdots \end{equation}

   其中,$\epsilon $ 仅作为计算过程中判断各小量阶数的指标,必要的时候可以令 $\epsilon = 1 $,而 $g^{(0)}_{\mu\nu} $ 是已知的背景时空,一阶项 $g^{(1)}_{\mu\nu}$ 是线性微扰项.在本节中我们只讨论到一阶线性微扰部分.

3. 闵氏时空

   我们先考虑背景时空为平直的闵氏时空,线性微扰项记为 $h_{\mu\nu}$ (例如,对于太阳系来说,$ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \sim 10^{-6}$). 在微扰的情景下,我们约定使用背景时空的度规进行指标升降,因此我们有

\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \quad \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert < < 1 \end{equation}

   以及

\begin{equation} g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu} , \quad \left\lvert h^{\mu\nu} \right\rvert < < 1 \end{equation}

   式 4 来自于度规定义需要满足 $gg^{-1}=\delta$:

\begin{equation} g_{\mu\nu}g^{\mu\rho} = (\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu})(\eta^{\mu\rho} - h^{\mu\rho}) = \delta^{\rho}_{\nu} - \mathcal{O}(h^2) \end{equation}

   首先计算克里斯托夫符号(Christoffel Symbol,定义 1 ),并保留到一阶项2

\begin{equation} \begin{aligned} \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\alpha\nu} - \partial_\nu g_{\alpha\beta})\\ &=\frac{1}{2}(\eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu})(\partial_\alpha h_{\nu\beta} + \partial_\beta h_{\alpha\nu} - \partial_\nu h_{\alpha\beta})\\ &=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu} (\partial_\alpha h_{\nu\beta} + \partial_\beta h_{\alpha\nu} - \partial_\nu h_{\alpha\beta}) \end{aligned} \end{equation}

   再计算黎曼张量

\begin{equation} R_{\alpha \mu \beta \nu}=\frac{1}{2}\left(h_{\alpha \nu, \mu \beta}+h_{\mu \beta, \nu \alpha}-h_{\mu \nu, \alpha \beta}-h_{\alpha \beta, \mu \nu}\right) \end{equation}

   以及里奇张量,

\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu\nu} &= \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu,\alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha,\nu}\\ &=\frac{1}{2}\left(h^{\alpha}{}_{\mu, \nu \alpha} + h_{\nu}{ }^{\alpha}{ }_{, \mu \alpha}-h_{\mu \nu, \alpha}{ }^{\alpha}-h_{, \mu \nu}\right) \end{aligned} \end{equation}

   其中,$h\equiv h^{\mu}{}_{\mu}=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$.

   进一步计算里奇标量 $R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\approx \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$,将带其入爱因斯坦场方程式 1 ,便可得到线性爱因斯坦场方程.

\begin{equation} \begin{aligned} h_{\mu \alpha, \nu}{ }^{\alpha} &+h_{\nu \alpha, \mu}{ }^{\alpha}-h_{\mu \nu, \alpha}{ }^{\alpha}-h_{, \mu \nu} -\eta_{\mu \nu}\left(h_{\alpha \beta}{ }^{, \alpha \beta}-h_{, \beta}{ }^{\beta}\right)= 16 \pi T_{\mu \nu} . \end{aligned} \end{equation}

   我们可以定义如下变量

\begin{equation} \bar{h}_{\mu\nu} \equiv h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h. \end{equation}

   来化简,并且用横线代表对其它对称张量采取同样的操作,例如

\begin{align} G_{\mu\nu} &= \bar{R}_{\mu\nu} = R_{\mu\nu}- \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R\\ \bar{\bar{h}}_{\mu\nu} &= \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h} = \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} (\eta^{\alpha\beta}h_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\eta_{\alpha\beta}h)= h_{\mu\nu}\\ h_{\mu\nu} &= \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} \bar{h} \end{align}

   因此可以得到线性引力场方程

\begin{equation} -\Box{\bar{h}_{\mu \nu}}-\eta_{\mu \nu} \bar{h}_{\alpha \beta,}{ }^{\alpha \beta} + \bar{h}^{\alpha}{ }_{\mu,\alpha\nu} + \bar{h}^{\alpha}{ }_{\nu,\alpha\mu}=16 \pi T_{\mu \nu} \end{equation}

   其中,第一项为通常我们所熟知的平直时空的达朗贝尔算符(d'Alembrtian) $$ \Box \equiv \partial^\mu\partial_\mu = - \partial_t^2 + \partial_x^2 +\partial_y^2 + \partial_z^2 $$

   剩下的项数仅仅是为了保证方程的规范不变性,进一步我们可以选定不同的规规范条件(gauge conditions),若采用洛伦兹规范(Lorentz gauge):

\begin{equation} \bar{h}^{\mu\alpha}{ }_{,\alpha}=0. \end{equation}

   于是场方程最终就变成了

\begin{equation} \Box\bar{h}_{\mu\nu} = -16\pi T_{\mu\nu} \end{equation}

   与度规

\begin{equation} g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu} + \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} \bar{h} \end{equation}

   便构成了洛伦兹规范下的线性引力理论的基本方程.

4. 史瓦西时空

   我们可以将史瓦西时空看作对于平直闵氏时空的微扰.

5. 规范不变性

6. 推广到一般时空

   背景时空的选择其实是任意的,我们同样可以对其进行线性微扰.


1. ^ 在广义相对论中,常常采用几何单位制,也即是 $c=G=k_B=1$
2. ^ 以下计算同样均保留到一阶项.


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