二体问题（分析力学）
贡献者： _Eden_; addis
1. 二体问题的运动方程
二体问题研究的对象是两个可以看成质点的物体，质量分别为 $m_1,m_2$，位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$。它们之间的相互作用势是 $V(r)=V(| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1- \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|)$，也就是说只和两者的距离有关。开普勒问题、卢瑟福散射 都属于二体问题。
在这篇文章中我们将用分析力学的方法来解决二体问题。设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 为质心位置，设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为它们的相对位置，那么有
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c &=\frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1+ m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{m_1+m_2}~,\\
\boldsymbol{\mathbf{r}} \ &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _2- \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
T&=\frac{1}{2}m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1^2+\frac{1}{2}m_2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2^2\\
&=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c^2+\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2\\
&=\frac{1}{2}M \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c^2+\frac{1}{2}\mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2
\end{aligned}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&M=m_1+m_2\\
&\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&L=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2-V(\rho)~,\\
&H=T+V=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2+V(\rho)~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\rho}=\frac{\partial L}{\partial \rho}\\&\Rightarrow \mu\ddot\rho-\mu\rho\dot\phi^2+\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\rho} }=0~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\\&
\Rightarrow \frac{ \,\mathrm{d}{p} _\phi}{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }(\mu \rho^2\dot\phi)=0
\\&
\Rightarrow p_\phi=\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}=\mu\rho^2\dot\phi ={\rm const}=J ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\left\{
\begin{aligned}
&\frac{1}{2}\mu \left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2 \right) +V(\rho)=E\\
&\mu\rho^2\dot\phi=J
\end{aligned}
\right.\\
&\Rightarrow \frac{1}{2}\mu \dot\rho^2=E-V(\rho)-\frac{J^2}{2\mu\rho^2}=E-V_{\rm{eff}}(\rho)~.
\end{aligned}
\end{equation}
图 1：有效势能（图中蓝线）的函数图像
以 图 1 为例，对于相互作用势为 $-k/r$ 的二体系统，有效势能 $V_{\rm{eff}}(r)$ 的函数图象如蓝线所示。如果系统的能量 $E$ 恰好等于有效势能极小值（蓝线的最低处），那么系统将作圆周运动；如果 $E<0$，体系处于束缚态，轨道形状为椭圆；如果 $E=0$，那么体系处于散射态，轨道形状为抛物线；如果 $E>0$，那么体系处于散射态，轨道形状为双曲线。轨道形状是二次曲线的原因，与相互作用势 $V=-k/r$ 有关。
从上面的运动方程式 7 可以求解出 $\rho$ 关于 $t$ 的函数；然而具体要解出轨道形状，还需要知道 $\phi$ 关于 $t$ 的函数，这就又需要借助角动量守恒方程。为了快速求出轨道形状，我们通常令 $u=1/\rho$ 对上面的式 7 进行化简。注意到 $\dot u=-\dot \rho/\rho^2=\mu\dot \phi\dot \rho/J$，所以 $\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }=\dot u/\dot \phi=\mu\dot \rho/J$。式 7 式就可以改写为 $u$ 与 $\phi$ 的方程：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{J^2}{2\mu} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=E-V(1/u)-\frac{J^2}{2\mu} u^2~,\\
& \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=\frac{2\mu}{J^2} \left(E-V(1/u) \right) )-u^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }+\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }u&=\frac{\mu}{J^2}\frac{- \,\mathrm{d}{V} \left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }\frac{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}{u} }\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }
\\
\Rightarrow
\frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}+u&=-\frac{\mu}{J^2u^2}F(1/u)~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 开普勒问题
在开普勒问题中，相互作用势为 $V(\rho)=-Gm_1m_2/\rho=-k/\rho$。那么式 8 变为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left|\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right|&=\sqrt{-u^2+\frac{2\mu k}{J^2}u+\frac{2\mu E}{J^2}}\\
&=\sqrt{- \left(u-\frac{\mu k}{J^2} \right) ^2+\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
u-\frac{\mu k}{J^2}=\alpha \cos\left(\phi-\beta\right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\alpha=\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}}~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&p=\frac{J^2}{\mu k}\\
&e=\frac{J^2}{\mu k}\alpha=\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~,
\end{aligned}
\end{equation}
开普勒问题的轨道运动方程还可以用龙格—楞次矢量求解。
3. 卢瑟福散射问题
卢瑟福通过用 $\alpha$ 粒子轰击金箔，否定了汤姆孙的葡萄干面包模型。卢瑟福惊讶地发现，每 20000 个粒子中，有 1 个 $\alpha$ 粒子会被反弹回去，这是汤姆孙的理论无法解释的。根据卢瑟福的设想，原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷，而负电荷则围绕着它在转，这使得 $\alpha$ 粒子轰击金箔这个二体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用。卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型，为原子结构的研究作出巨大贡献，于 1908 年获得诺贝尔化学奖。
在卢瑟福散射问题中，设粒子 1 质量 $m_1$，带电荷 $q_1$；粒子 2 质量 $m_2$，带电荷 $q_2$。两个粒子都是带正电荷的粒子，那么它们之间就有排斥力，相互作用势为
\begin{equation}
V(\rho)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\rho}=-\frac{k}{\rho}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&p=-\frac{J^2}{\mu |k|}\\
&e=-\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }=\frac{J^2/\mu |k|}{\sqrt{1+2J^2E/\mu k^2} \cos\left(\phi-\beta\right) -1}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\left(\phi-\beta\right) >\frac{1}{|e|}
\Rightarrow \phi \in (\phi_1,\phi_2)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\cot\frac{\theta}{2}=\tan\frac{|\phi_1-\phi_2|}{2} =\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~.
\end{equation}
（在随粒子 1 平动的参考系中）设粒子 2 从无穷远的距离以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0$ 的速度靠近粒子 1，开始运动所在直线与粒子 2 的距离为 $b$（称为碰撞距离），那么角动量为 $J=\mu bv_0$，能量为 $E=\mu v_0^2/2$。因此可以得到散射角 $\theta$ 与 $b,v_0$ 的关系式：
\begin{equation}
\cot \frac{\theta}{2}=\frac{\mu bv_0^2}{k}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }=\frac{b}{\sin \theta}\left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|~.
\end{equation}
\begin{equation}
-\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} /2}{\sin^2(\theta/2)}=\mu v_0^2 \,\mathrm{d}{b} /k\Rightarrow \left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|=\frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }&=\frac{ \cot\left(\theta/2\right) |k|/(\mu v_0^2)}{\sin\theta}\cdot \frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)}=\frac{k^2}{4\mu ^2v_0^4\sin^4(\theta/2)}
\\
&=\frac{k^2}{16E^2\sin^4(\theta/2)}~,
\end{aligned}
\end{equation}