贡献者： JierPeter; addis
勒让德变换的定义很多，有的定义虽然严谨却不易理解。本节采用其最方便理解的方式来定义。
1. 定义
单自变量勒让德变换
定义 1
给定一个实单自变量函数 $f(t)$，假设它是一个凸函数，即其导函数 $f'(t)$ 严格单调。将 $f'(t)$ 重命名为一个新的实变量 $s$，如果存在一个实函数 $g(s)$，使得 $g'(s)=t$，那么称 $g(s)$ 是 $f(t)$ 的勒让德变换（Legendre transformation）。
简单来说，勒让德变换就是有两个函数，$f(t)$ 和 $g(s)$，它们使用不同的自变量，但是各自求导以后却能得到对方的自变量：$f'(t)=s$，$g'(s)=t$。这个关系是对称的，因此 $f(t)$ 也是 $g(s)$ 的勒让德变换。使用勒让德变换，可以把凸函数 $f(t)$ 所表示的某些性质改用 $g(s)$ 来表示，相当于用新自变量描述同样的信息。
如何求 $f(t)$ 勒让德变换呢？如果已知 $f(t)$ 的表达式，那么就可以计算出 $f'(t)=s$，由定义，$f'(t)$ 是一个单调函数，因此存在反函数 $F(s)=t$。由于 $g'(s)=t=F(s)$，我们就可以写出：
\begin{equation}
g(s)=\int t \,\mathrm{d}{s} =\int F(s) \,\mathrm{d}{s} ~.
\end{equation}
许多情形下，我们并不知道 $f(t)$ 的显式表达，这个方法就可能并不适用。多亏了分部积分的结果，我们可以有以下简单的方式来得到一个函数的勒让德变换。
与分部积分的关系
假设 $f(t)$ 和 $g(s)$ 互为彼此的勒让德变换。由分部积分可得，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{ts} &=s \,\mathrm{d}{t} +t \,\mathrm{d}{s} \\&=f'(t) \,\mathrm{d}{t} +g'(s) \,\mathrm{d}{s} \quad\text{（这一步由勒让德变换得）}\\&= \,\mathrm{d}{f} + \,\mathrm{d}{g} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
这个结果说明，$ \,\mathrm{d}{g} = \,\mathrm{d}{ts} - \,\mathrm{d}{f} $，由此得
\begin{equation}
g=ts-f~.
\end{equation}
简单总结一下，把 $f(t)$ 变换成 $g(s)$ 的过程，就是用相互交换的两个元素 $t$ 和 $s$ 作乘积，再减去 $f$。注意 $t$ 和 $s$ 的关系是：$f'(t)=s$，$g'(s)=t$。
多自变量勒让德变换
把微分拓展到偏微分，我们可以自然地推广出多自变量的勒让德变换。
定义 2
给定一个实函数 $f(t_1, t_2, \cdots, t_n)$，假设对于任意 $i=1, 2, \cdots, n$，都有 $ \frac{\partial}{\partial{t_i}} f$ 是关于 $t_i$ 的凸函数。将 $ \frac{\partial}{\partial{t_i}} f$ 重命名为 $s_i$，如果存在 $g(s_1, s_2, \cdots, s_k, t_{k+1},\cdots, t_n)$，使得对于任意 $i=1,2,\cdots k$，都有 $ \frac{\partial}{\partial{s_i}} g=t_i$，那么称 $g$ 是 $f$ 替换了自变量 $t_1, \cdots, t_k$ 后的勒让德变换。
同样地，多自变量勒让德变换也可以用分部积分来求得。如果 $g$ 是定义 2 中所说的替换了前 $k$ 个 $t_i$ 的 $f$ 的勒让德变换，那么有：
\begin{equation}
g=\sum\limits_{i=1,2,\cdots, k}t_is_i-f~.
\end{equation}
2. 勒让德变换的性质
以下描述中，假设 $f_i(t)$ 的勒让德变换是 $g_i(t)$。
习题 1 标度性质
证明：
- 如果 $f_2(t)=af_1(t)$，那么 $g_2(s)=ag_1(s/a)$，
- 如果 $f_2(t)=f_1(at)$，那么 $g_2(s)=g_1(s/a)$。
推论 1 标度性质的推论
如果 $f_1(t)$ 是一个 $m$ 次齐次函数，那么 $g_1(s)$ 就是一个 $n$ 齐次函数，其中 $1/m+1/n=1$。
习题 2 平移性质
证明：
- $f_2(t)=f_1(t)+c\Rightarrow g_2(s)=g_1(s)-c$，其中 $c$ 是任意常数，下同；
- $f_2(t)=f_1(t+c)\Rightarrow g_2(s)=g_1(s)-cs~.$
习题 3 反函数性质
证明：
$f_2(t)=f_1^{-1}(t)\Rightarrow g_2(s)=-sg_1(1/p)~.$