波包的延迟（量子力学）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　一维散射（量子），群速度

　　广义情况下，一阶微扰得到的波包是（可能做任何运动，在任何形状的势能中），令 $| k ⟩$ 为精确散射态（无论几维波函数，无论出于什么样的势能函数中）

\begin{matrix} (1) & | ψ (t) ⟩ = \int C (E) | E ⟩ e^{- i E t} d k . \end{matrix}

其中

E = k^{2} / 2

。那么该波包

Δ t

时间之前的样子就精确是

\begin{matrix} (2) & | ψ (t - Δ t) ⟩ = \int C^{'} (E) | E ⟩ e^{- i E t} d k . \end{matrix}

其中

C^{'} (E) = C (E) e^{i E Δ t}

。可见，给系数添加一个关于能量的相位

E Δ t

就会使波包精确落后

Δ t

，也添加相位后的波函数要再演化

Δ t

才能达到添加相位以前的状态。以上的一切都是精确的。

一维自由粒子

　　首先，对于 $V (x) = 0$ 的自由粒子，若

\begin{matrix} (3) & ψ (x, t) = \int A (k) e^{i (k x - E t)} d k . \end{matrix}

其中

E = k^{2} / 2

。如果

A (k)

是以

k_{0}

为中心的偶函数且实函数，那么根据傅里叶变换的定理 1 和平移性质（式 15 ），

ψ (x, 0)

就是一个偶函数且实函数乘以

e^{i k_{0} x}

。根据 Ehrenfest 定理的式 17 ，无论初始形状的具体形状如何

⟨ x ⟩ = k_{0} t

都是精确成立的。但对任意单调的

V (x)

，

⟨ x ⟩

的轨迹并不精确等于经典粒子，因为

⟨ ψ | V (x) | ψ ⟩ \approx V (⟨ ψ | x | ψ ⟩)

通常只是近似成立（势能曲线改变越缓慢，越精确）。

未完成：当

t > 0

时是否波包的形状也像高斯波包那样关于

x_{c}

对称的呢（虽然肯定有 chirp）？

\begin{matrix} (4) & ψ (x, t) = \int A (k) \exp i [k (x - k t / 2)] d k . \end{matrix}

空间频率越高越右移

　　根据以上结论，在此基础上若令 $C (k) = A (k) e^{i E Δ t}$ ，那么此直线运动的轨迹就是 $x_{c} = k_{0} (t - Δ t)$ 。而

\begin{matrix} (5) & Δ t = \frac{\partial}{\partial E} \arg C (k) . \end{matrix}

　　如果基底不是平面波而是一个类似库仑平面波（相位甚至随位置变化，可能导致频率随位置变化），那么只需要把基底中的额外相位都并入到 $C (k)$ 中一起做能量偏导即可。

未完成：但时间延迟是相对于哪条直线呢？尤其是在并不太远的距离处。

一维散射

　　一个一维自由波包用傅里叶变换表示为

\begin{matrix} (6) & ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} A (k) \exp i [k x - ω t + φ (k)] d k, \end{matrix}

其中

A (k)

是一个实值函数。自由粒子满足

ω = k^{2} / (2 m)

。如果经过一个局部的势阱或势垒，不同平面波透射后发生相移

ϕ (k)

，经过后，波包为

\begin{matrix} (7) & ψ^{'} (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} A^{'} (k) \exp i [k x - ω t + φ (k) + ϕ (k)] d k . \end{matrix}

近似假设

A^{'} (k)

和

A (k)

成正比，那么延迟就是

\begin{matrix} (8) & Δ t = \frac{\partial ϕ}{\partial E} . \end{matrix}

注意这样定义的延迟与频率有关。这个延迟被称为 Wigner 延迟或者 EWS（Eisenbud-Wigner-Smith）延迟。

1. 驻相法

　　使用驻相法（stationary phase method）可以分析出波包峰值的近似位置、速度以及时间延迟。驻相法比上面的近似要略微严谨一些，获得的信息也多一些。同样假设波包带宽较窄或者 $A (k)$ 的相位随 $ω$ 线性变化。那么对给定的 $x, t$ ，当且仅当式 6 中的积分在被积函数的总相位不随 $k$ 变化时取得模长最大值。被积函数的总相位等于 $k x - ω t + φ$ ，令其对 $k$ 求导为零，有

\begin{matrix} (9) & x = v_{g} (t - \frac{d φ}{d ω}) . \end{matrix}

其中

v_{g} = d ω / d k = k

是波包的速度，即群速度。确切来说，是波峰移动的速度。该式反应了波峰随时间的变化轨迹。同样，如果给

φ

加上一个相移

ϕ

，可得式 5 。可见，驻相法不仅可以得到相对延迟，还可以得到式 6 的波峰的绝对延迟

\begin{matrix} (10) & Δ t (ω) = \frac{d φ}{d ω} . \end{matrix}

若波包是对称的，那么波峰的位置等于波包的平均位置，若不对称，则二者不相等，绝对延迟是指前者。

2. 短程中心势能散射的延迟

　　原理和上文也几乎一样。无论有限远处的势能是什么样，只要无限远的地方有极限相移，那么就用该相移来计算即可。

3. 库仑势能散射的延迟

　　库仑势能的库仑函数在无穷远处不存在相移的极限。所以这个延迟会是无穷大。

\begin{matrix} (11) & δ_{l} (E) = - \frac{π l}{2} - η \ln (2 k r) + σ_{l} (E), \end{matrix}

而且这个相移和

l

有关。