群速度
贡献者： addis; ACertainUser
- 本文处于草稿阶段。
当波速不随频率变化时，波形整体移动。
波速是频率的函数
\begin{equation}
v_g = \frac{\mathrm{d}{\omega}}{\mathrm{d}{k}} ~.
\end{equation}
1. 形象的推导
\begin{equation}
k, k+\Delta k, \Delta k, v_1 = \omega/k, v_2 = (\omega+\Delta\omega)/(k+\Delta k)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta v = \frac{\Delta \omega}{k} - \frac{\omega}{k^2}\Delta k~,
\end{equation}
\begin{equation}
v_g = v_1 + \frac{\Delta \lambda}{\Delta v} = v_1 - \frac{2\pi\Delta k}{k^2\Delta v}~.
\end{equation}
2. 公式推导
图 1：两束频率、速度略有差异的波的叠加。本人制作的一个动态演示(站外链接)
图 2：其中一个“波包”。本人制作的一个动态演示(站外链接)
两个振幅相同的平面波
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f_1(x,t) = A \cos\left(k_1 x - \omega_1 t + \phi_1\right) ~,\\
&f_2(x,t) = A \cos\left(k_2 x - \omega_2 t + \phi_2\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_1(x,t) + f_2(x,t) &= 2 A \cos \left(\frac{k_2-k_1}{2}x - \frac{\omega_2-\omega_1}{2}t + \frac{\phi_2 - \phi_1}{2} \right) \\
& \times \cos \left(\frac{k_1+k_2}{2}x - \frac{\omega_{2}+\omega_{1}}{2}t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
v_g = \frac{\mathrm{d}{\omega}}{\mathrm{d}{k}} ~,
\end{equation}