群速度

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　拍频

　　当波速不随频率变化时，波形整体移动。

　　波速是频率的函数

\begin{matrix} (1) & v_{g} = \frac{d ω}{d k} . \end{matrix}

1. 形象的推导

\begin{matrix} (2) & k, k + Δ k, Δ k, v_{1} = ω / k, v_{2} = (ω + Δ ω) / (k + Δ k), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & Δ v = \frac{Δ ω}{k} - \frac{ω}{k^{2}} Δ k, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & v_{g} = v_{1} + \frac{Δ λ}{Δ v} = v_{1} - \frac{2 π Δ k}{k^{2} Δ v} . \end{matrix}

图 1：两束频率、速度略有差异的波的叠加。本人制作的一个动态演示(站外链接)

图 2：其中一个“波包”。本人制作的一个动态演示(站外链接)

　　两个振幅相同的平面波

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f_{1} (x, t) = A \cos (k_{1} x - ω_{1} t + ϕ_{1}), \\ f_{2} (x, t) = A \cos (k_{2} x - ω_{2} t + ϕ_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

根据和差化积（式 17 ）

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} f_{1} (x, t) + f_{2} (x, t) & = 2 A \cos (\frac{k_{2} - k_{1}}{2} x - \frac{ω_{2} - ω_{1}}{2} t + \frac{ϕ_{2} - ϕ_{1}}{2}) \\ \times \cos (\frac{k_{1} + k_{2}}{2} x - \frac{ω_{2} + ω_{1}}{2} t + \frac{ϕ_{1} + ϕ_{2}}{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

第一个

\cos

是波包，第二个

\cos

是载波。当频率很接近时，从第一项可知波包的速度为

\begin{matrix} (7) & v_{g} = \frac{d ω}{d k}, \end{matrix}

注意波包的速度与各 “组成波” 的速度可以是不同的（有时也可以是相同的）。例如图 1 中波包的速度就慢于其组成波的速度。