贡献者： Siegfried; 叶月2_
对于给定的量子态，有意义的观测量主要为力学量本征值、本征值概率分布以及平均值。由于态矢随时间演化，平均值自然也有其运动方程。
定理 1 平均值的演化
设 $\hat A$ 为任意算符，$\left\langle\right\rangle$ 表示平均值，则有：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left\langle \hat A \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} =\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\langle[\hat H, \hat A]\rangle~.
\end{equation}
证明：
设 $t$ 时刻态矢为 $ \left\lvert a \right\rangle $，$\left\langle \hat A\right\rangle$ 为 $ \left\langle a \right\rvert \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle $ 的简写，则运动方程为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{\left\langle \hat A \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{ \left\langle a \right\rvert \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle }}{\mathrm{d}{t}} \\
&= \frac{\partial \left\langle a \right\rvert }{\partial t} \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle + \left\langle a \right\rvert \frac{\partial \hat A}{\partial t} \left\lvert a \right\rangle + \left\langle a \right\rvert \hat A \frac{\partial \left\lvert a \right\rangle }{\partial t} \\
&=\left\langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right\rangle+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \left\langle a \right\rvert -\hat H\hat A+\hat A\hat H \left\lvert a \right\rangle \\
&=\left\langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\left\langle [\hat H,\hat A]\right\rangle~,
\end{aligned}
\end{equation}
得证。
如果可观察量 $\hat A$ 不随时间演化。且与哈密顿算符对易：
\begin{equation}
\frac{\partial \hat A}{\partial t}=0,\qquad[\hat H, \hat A]=0~,
\end{equation}
那么 $\hat A$ 的期望值不随时间演化，物理上一个可观测量 $\hat A$，如果满足
\begin{equation}
\frac{\partial\langle \hat A\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
被称为守恒量。
例 1 范数守恒
最简单的算符是单位算符：
\begin{equation}
\hat A\equiv \hat 1~.
\end{equation}
其对应的可观测量是全体概率之和（当然是 1），也是归一化的波函数 $\Psi$ 在希尔伯特空间的范数的平方：
\begin{equation}
\left\lVert \Psi(\boldsymbol{x}, t) \right\rVert ^2 = \langle\hat{1}\rangle=\int d^{3}x \Psi^{*}(\boldsymbol{x}, t) 1 \Psi(\boldsymbol{x}, t)=1~.
\end{equation}
因为单位算符不随时间变化，且和所有的算符对易，所以范数一定是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial\langle \hat 1\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
例 2 能量守恒
我们观察哈密顿算符本身：
\begin{equation}
\hat A\equiv \hat H~.
\end{equation}
哈密顿算符对应的可观测量是系统的能量。由于 $\hat H$ 与 $\hat H$ 自身对易，对于一个系统，如果其哈密顿算符不随时间演化，那么能量就是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial \hat H}{\partial t}=0 \quad\implies\quad \frac{\partial\langle \hat H\rangle}{\partial t}=0~.
\end{equation}
例 3 动量的期望
我们令 $\hat A$ 表示动量算符：
\begin{equation}
\hat A \equiv \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla~.
\end{equation}
计算哈密顿算符和动量算符的对易子：
\begin{equation}
[\hat H, \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]=\left[\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2 m}+V(\boldsymbol{x}), \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\right]=[V(\boldsymbol{x}), \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]=-\frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla V(\boldsymbol{x})~.
\end{equation}
再带入
式 1 ，从而得到动量的期望值：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left \langle \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} =-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle \equiv\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle~,
\end{equation}
上式称为
Ehrenfest 定理。如果力的期望 $\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle=-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle$ 为零，则动量的期望值守恒。
例 4 位置的期望
我们令 $\hat A$ 表示位置算符：
\begin{equation}
\hat A \equiv \boldsymbol{x}~.
\end{equation}
相关的对易子是：
\begin{equation}
[\hat H, \boldsymbol{x}]=\left[\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2 m}, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left[p_k p_k, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left(p_k\left[p_k, \boldsymbol{x}\right]+\left[p_k, \boldsymbol{x}\right] p_k\right)~,
\end{equation}
为了书写简便，这里使用了爱因斯坦求和约定，即对相同指标求和。继续应用动量与位置的对易关系：
\begin{equation}
\left[p_k, x_l\right]=- \mathrm{i} \hbar \delta_{k l}~,
\end{equation}
最终得到：
\begin{equation}
[\hat H, \boldsymbol{x}]=\frac{1}{m} \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }~.
\end{equation}
带入 Ehrenfest 定理，从而得到位置的期望值：
\begin{equation}
\frac{\partial\langle\boldsymbol{x}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{m}\langle\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle ~.
\end{equation}
在 Griffiths 的量子力学概论
[1] 中，多次用到
式 17 。
注意：式 12 与 式 17 和经典运动方程非常相似。但这并不表示，相关的期望值 $\langle\boldsymbol{x}\rangle$ 与 $\langle\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle$ 服从经典力学的运动方程。因为位置的期望的力，通常不等于位置的力的期望：
\begin{equation}
\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle \ne \boldsymbol{F}(\langle\boldsymbol{x}\rangle)~.
\end{equation}
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed