Ehrenfest 定理
贡献者： Siegfried
定理 1 Ehrenfest 定理
\begin{equation}
\frac{\partial\langle A\rangle}{\partial t}=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\langle[H, A]\rangle~.
\end{equation}
如果可观察量 $A$ 不随时间演化。且与哈密顿算符对易：
\begin{equation}
\frac{\partial A}{\partial t}=0,\qquad[H, A]=0~,
\end{equation}
那么 $A$ 的期望值不随时间演化，物理上一个可观测量 $A$，如果满足
\begin{equation}
\frac{\partial\langle A\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
被称为守恒量。
例 1 范数守恒
最简单的算符是单位算符：
\begin{equation}
A\equiv \hat 1~.
\end{equation}
其对应的可观测量是全体概率之和（当然是 1），也是归一化的波函数 $\Psi$ 在希尔伯特空间的范数的平方：
\begin{equation}
\left\lVert \Psi(\boldsymbol{x}, t) \right\rVert ^2 = \langle\hat{1}\rangle=\int d^{3}x \Psi^{*}(\boldsymbol{x}, t) 1 \Psi(\boldsymbol{x}, t)=1~.
\end{equation}
因为单位算符不随时间变化，且和所有的算符对易，所以范数一定是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial\langle \hat 1\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
例 2 能量守恒
我们观察哈密顿算符本身：
\begin{equation}
A\equiv H~.
\end{equation}
哈密顿算符对应的可观测量是系统的能量。由于 $H$ 与 $H$ 自身对易，对于一个系统，如果其哈密顿算符不随时间演化，那么能量就是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial t}=0 \quad\implies\quad \frac{\partial\langle H\rangle}{\partial t}=0~.
\end{equation}
例 3 动量的期望
我们令 $A$ 表示动量算符：
\begin{equation}
A \equiv \boldsymbol{p} = \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla~.
\end{equation}
计算哈密顿算符和动量算符的对易子：
\begin{equation}
[H, \boldsymbol{p}]=\left[\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}+V(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{p}\right]=[V(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{p}]=-\frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla V(\boldsymbol{x})~.
\end{equation}
再带入 Ehrenfest 定理，从而得到动量的期望值：
\begin{equation}
\frac{\partial\langle\boldsymbol{p}\rangle}{\partial t}=-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle \equiv\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle~.
\end{equation}
如果力的期望 $\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle=-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle$ 为零，则动量的期望值守恒。
例 4 位置的期望
我们令 $A$ 表示位置算符：
\begin{equation}
A \equiv \boldsymbol{x}~.
\end{equation}
相关的对易子是：
\begin{equation}
[H, \boldsymbol{x}]=\left[\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left[p_k p_k, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left(p_k\left[p_k, \boldsymbol{x}\right]+\left[p_k, \boldsymbol{x}\right] p_k\right)~,
\end{equation}
为了书写简便，这里使用了爱因斯坦求和约定，即对相同指标求和。继续应用动量与位置的对易关系：
\begin{equation}
\left[p_k, x_l\right]=- \mathrm{i} \hbar \delta_{k l}~,
\end{equation}
最终得到：
\begin{equation}
[H, \boldsymbol{x}]=\frac{1}{m} \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \boldsymbol{p}~.
\end{equation}
带入 Ehrenfest 定理，从而得到位置的期望值：
\begin{equation}
\frac{\partial\langle\boldsymbol{x}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{m}\langle\boldsymbol{p}\rangle ~.
\end{equation}
在 Griffiths 的量子力学概论
[1] 中，多次用到
式 16 。
注意：式 11 与 式 16 和经典运动方程非常相似。但这并不表示，相关的期望值 $\langle\boldsymbol{x}\rangle$ 与 $\langle\boldsymbol{p}\rangle$ 服从经典力学的运动方程。因为位置的期望的力，通常不等于位置的力的期望：
\begin{equation}
\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle \ne \boldsymbol{F}(\langle\boldsymbol{x}\rangle)~.
\end{equation}
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed